Messbare Mengen - Aufgabe

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Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
Messbare Mengen - Aufgabe
Guten Tag,

es geht mir um folgende nicht gerade leichte Aufgabe:

Seien metrische Räume, eine beliebige Abbildung und die Menge der Unstetigkeitsstellen. Man zeige:

Hinweis: Man zeige zunächst, dass für die Menge

wobei offen ist und konstruiere dann aus solchen Mengen.

Hat jemand eine Idee?

EDIT: Habe zwei kleine Fehler in der aufgabe ausgebessert. Danke an WebFritzi
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbare Mengen - Aufgabe
Versuche erstmal den Hinweis zu zeigen. Zur Offenheit wäre zB zu zeigen, dass mit einem Punkt auch gleich eine geeignete Kugel darum in der Menge enthalten ist.

Grüße Abakus smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Aufgabe wirklich exakt so gestellt? Im Hinweis befinden sich nämlich zwei Fehler. Erstens ist bereits definiert, und zweitens ist eh klar.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es ausgebessert, danke.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »



Jetzt noch die Abzählbarkeit ins Spiel bringen.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

@Abakus

Wie du schon gesagt hast möchten wir also zeigen, dass für jedes eine offene Kugel in dieser Menge existiert und damit wären wir schon fertig. Aber meiner Meinung nach ist doch diese Menge gerade so definiert, für jedes finde ich doch eine Menge von Punkten um x so das diese offene Kugel wieder in der Menge enthalten ist. Kann man das noch konkreter machen bzw. zeigen?

@WebFritzi
Kann man hier hergehen und durch Folgen ersetzen?
 
 
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner mehr eine Idee?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht du? Und wenn nicht, dann solltest du schon sagen, wo genau deine Probleme liegen. So langsam müsstest du das eigentlich wissen.

Deine mir zuletzt gestellte Frage ist natürlich zu bejahen. Hättest du dir auch selbst beantworten können...
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut, ich habe mittlerweile mit Hilfe von offenen Kugeln zeigen können das die Menge offen ist.
Der letzte Schritt wird dann einfach der sein, dass die abzählbare Vereinigung und abzählbare Schnittbildung dieser einfach wieder messbar sind.

Aber dazu müsste ich jetzt noch wissen, wie man das für eine solche Menge zeigt.

Hat da jemand eine Idee?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Aber dazu müsste ich jetzt noch wissen, wie man das für eine solche Menge zeigt.


Was zeigt?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Das diese schon Borelmessbar ist
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sind offene Mengen Borel-messbar?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Das versuche ich gerade herauszufinden. Ich weiß das ne Borelmenge von der Gesamtheit offener Mengen erzeugt wird.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Ich weiß das ne Borelmenge von der Gesamtheit offener Mengen erzeugt wird.


So ein Unfug. unglücklich

Was wird von der Gesamtheit der offenen Mengen erzeugt?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Sei (X,G) ein topologischer Raum, dann heißt Borel-Sigma-Algebra. Also wird die Borel-Sigma-Algebra von der Gesamtheit offener Mengen erzeugt.

Wie bringe ich das jetzt in Verbindung zu diesem ?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Also wird die Borel-Sigma-Algebra von der Gesamtheit offener Mengen erzeugt.


Das ist richtig. Aber was bedeutet denn das "erzeugt"?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »


Also ist das die kleinste Sigma-Algebra welche G enthält, eben die erzeugte Sigma-Algebra von G.

Heißt das in unserem Fall:

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Heißt das in unserem Fall:



Das vergessen wir mal ganz schnell wieder...



Zitat:
Original von Fletcher

Also ist das die kleinste Sigma-Algebra welche G enthält, eben die erzeugte Sigma-Algebra von G.


Genau. Und mit diesem Wissen ist die Antwort auf die folgende Frage eine Trivialität: Sind die offenen Mengen Borel-messbar?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die Antwort ja, weil eine Borel-Sigma-Algebra von diesen offenen Mengen erzeugt wird? Ist dann damit die Brücke geschlagen, dass die Schnittmenge abzählbar vieler solcher Mengen wieder eine Borel-Sigma-Algebra ist und damit auch die Vereinigung. Damit müsste der Beweis zu Ende sein.

Heißt eigentlich Borelmessbar einfach nur, dass die Menge Element einer Borel-Sigma-Algebra ist? Leider habe ich nämlich keine genau Definition über Borel-Meßbarkeit in meinem Skript.

Danke dir. smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
@Abakus

Wie du schon gesagt hast möchten wir also zeigen, dass für jedes eine offene Kugel in dieser Menge existiert und damit wären wir schon fertig. Aber meiner Meinung nach ist doch diese Menge gerade so definiert, für jedes finde ich doch eine Menge von Punkten um x so das diese offene Kugel wieder in der Menge enthalten ist. Kann man das noch konkreter machen bzw. zeigen?


In einem Beweis sollst du alle Schritte/Überlegungen explizit zeigen. Wenn du deinen Beweis soweit konkretisiert hast, solltest du ihn zur Diskussion stellen.

Vielleicht ist es einfach, die gesuchte Kugel hier zu finden; jedenfalls musst du in einem Beweis angeben, wie du sie findest, d.h. hier welchen Radius sie hat und wieso sie mit diesem Radius die verlangten Eigenschaften hat.

Grüße Abakus smile
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

meine Idee war folgende: Wir finden für ein x in der Menge also ein festes u und ein festes v und zwar so dass für den Abstand gilt, dass Nun suchen wir uns in einer Umgebung von x einen Punkt x' und betrachten sodann den Abstand zu u und zu v. Dazu habe ich die Dreiecksungleichung verwendet, so z.b. für
Analog für den Abstand zu v. Wir haben also damit gezeigt, dass um x auch eine kleine offene Kugel mit dem Radius in der Menge liegt. Somit ist diese Menge offen.

Ist das korrekt? Ich hoffe es Augenzwinkern
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Bin ich jetzt fertig, wenn ich noch verwende das diese Mengen borelmessbar sind und damit auch die abzählbaren Schnitte und Vereinigungen?
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