F:=f*g differenzierbar

28.07.2006, 17:47

Differenzierer

F:=f*g differenzierbar

Ich stehe gerade ein bischen auf dem Schlauch:
Es ist $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ eine Nullumgebung. Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g: U \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind gegeben und es gilt: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist im Ursprung diffbar, $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist im Nullpunkt stetig.
Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} F:=f \cdot g \end{eqnarray*}$ ist im Nullpunkt diffbar. Bestimmen Sie auch $\begin{eqnarray*} grad F(0) \end{eqnarray*}$ .

Kann mir jemand beim Ansatz behilflich sein?
Ich komme nicht sehr weit:

Da f im Ursprung diffbar und f(0)=0 existieren ja Funktionen $\begin{eqnarray*} \Delta_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = f(0) + \sum_{k=1}^n \Delta_k(x) \cdot (x_k - 0) \end{eqnarray*}$
Sollte man diese Idee verfolgen oder geht das über stetige partielle Diffbarkeit?

28.07.2006, 18:14

Differenzierer

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Meine Idee etwas weiter gedacht:

Es gibt also eine stetige Funktion Delta mit $\begin{eqnarray*} f(x) = <\Delta(x),x> \end{eqnarray*}$ (ist so übersichtlicher)

Dann gilt, da g im Nullpunkt stetig:

$\begin{eqnarray*} F(x) - F(0) = f(x)g(x) - 0 \cdot g(x) = <\Delta(x),x> \cdot g(x) = <\Delta(x) \cdot g(x), x> = <\Delta'(x),x>, \quad \Delta' \end{eqnarray*}$ stetig.

Also gibt es auch ein in 0 stetiges $\begin{eqnarray*} \Delta' \end{eqnarray*}$ für F. Damit ist auch F im Nullpunkt diffbar.

Stimmt das soweit?

29.07.2006, 13:01

Abakus

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Zitat:

Original von Differenzierer
Meine Idee etwas weiter gedacht:

Es gibt also eine stetige Funktion Delta mit $\begin{eqnarray*} f(x) = <\Delta(x),x> \end{eqnarray*}$ (ist so übersichtlicher)

Hier fehlt noch ein $\begin{eqnarray*} ...~+ o(||x||) \end{eqnarray*}$ am Ende.

Betrachte besser den folgenden Grenzwert (und denke an die Herleitung der Produktregel):

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(0 + h) - F(0)}{||h||} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

29.07.2006, 14:01

WebFritzi

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Zitat:

Original von Abakus

Zitat:

Original von Differenzierer
Meine Idee etwas weiter gedacht:

Es gibt also eine stetige Funktion Delta mit $\begin{eqnarray*} f(x) = <\Delta(x),x> \end{eqnarray*}$ (ist so übersichtlicher)

Hier fehlt noch ein $\begin{eqnarray*} ...~+ o(||x||) \end{eqnarray*}$ am Ende.

Nein. Da gab's neulich gerade einen Thread zu. Es gilt nämlich der Satz:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ ist genau dann differenzierbar in $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , wenn es eine in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{m \times n} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(x) - f(x_0) = A(x)(x - x_0) \end{eqnarray*}$ gilt. Gegebenenfalls ist $\begin{eqnarray*} A(x_0) = {\text D}f(x_0). \end{eqnarray*}$

Verstehe nicht, warum das nicht angezeigt wird...

edit (Abakus): jetzt geht die Anzeige

29.07.2006, 21:21

Abakus

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Zitat:

Original von Abakus

Zitat:

Original von Differenzierer
Meine Idee etwas weiter gedacht:

Es gibt also eine stetige Funktion Delta mit $\begin{eqnarray*} f(x) = <\Delta(x),x> \end{eqnarray*}$ (ist so übersichtlicher)

Hier fehlt noch ein $\begin{eqnarray*} ...~+ o(||x||) \end{eqnarray*}$ am Ende.

OK, dann war das in Ordnung (also kein $\begin{eqnarray*} ...~+ o(||x||) \end{eqnarray*}$ nötig). Ich hatte hier ein lineares $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ im Kopf, was es aber nicht ist.

Dann lässt sich elegant $\begin{eqnarray*} D F(0) = g(0) \cdot f'(0) \end{eqnarray*}$ ablesen, worauf man mit dem Grenzwert letztendlich auch kommt.

Grüße Abakus smile

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