rationale und irrationale Zahlen

22.10.2008, 21:25	Shanice	Auf diesen Beitrag antworten »
rationale und irrationale Zahlen Hallo, irgendwie habe ich immer noch nicht verstanden was rationale und was irrationale Zahlen sind. Das wird in unserem Schulbuch nicht so gut erklärt. Ist eine irrationale Zahl, eine Zahl, die kein Ende findet ?! Die unendlich viele Zahlen hinter dem Komma hat ? Oder hab ich das total falsch verstanden ? Helft mir bitte :P
22.10.2008, 21:29	42	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, rationale Zahlen sind alle Zahlen, die man als Bruch schreiben kann, z.B. 1/3 oder 4,25 wäre beispielsweise 425/100. Dann gibt es Zahlen, die man nicht als Bruch schreiben kann, z.B. $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ . Solche Zahlen werden irrational bezeichnet. Jede irrationale Zahl hat unendlich viele Nachkommastellen, dieses Argument reicht aber nicht aus, da ja z.B. 1/3 = 0,33333.. wäre, aber 0,333...=1/3 ist rational. Wenn man also über die Nachkommastellen argumentiert, müsste man sagen, dass eine irrationale Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat und sich diese nicht periodisch wiederhohlen.
22.10.2008, 21:39	Shanice	Auf diesen Beitrag antworten »
=) Danke, das hat mir total weiter geholfen Allerdings habe ich jetzt noch ein weiteres Problem zu diesem Thema. Ich habe eine Aufgabe, mit der ich einfach nicht zurecht komme. (ich weiß allerdings nicht wie man das Wurzelzeichen schreibt, deswegen schreibe ich "Wurzel" davor) - a)Zeige, dass Wurzel 3 nicht rational ist. Übertrage dazu die Beweisidee von Euklid. - b) Zeige für eine beliebige Primzahl p, dass Wurzel p nicht rational ist. Das verstehe ich nicht, obwohl ich jetzt weiß, was rational und was nicht rationale Zahlen sind...
22.10.2008, 21:45	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) Jede rationale Zahl kann man eindeutig schreiben als $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ mit p und q teilerfremd. den Beweis von Euklid findest du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Euklids_Bew...4t_von_Wurzel_2 zu b) eigentlich im Prinzip wie a ;-)
23.10.2008, 22:48	42	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie Dunkit es aufzeigte, ist es der ursprüngliche Beweis, den auch ein Schüler nachvollziehen kann aber komplizierter ist. Leichter ist: Man konstruiert das Polynom: $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 - p \end{eqnarray}$ , p eine Primzahl. Nach dem Eisensteinkriterium ist dieses Polynom über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ irreduzibel, d.h., ich kann es nicht in zwei Polynome der Form $\begin{eqnarray} x^2 - p = (x+a)(x+b) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ zerlegen. Man weiß, dass f(x) die Nullstelle $\begin{eqnarray} \sqrt{p} \end{eqnarray}$ hat. Wäre $\begin{eqnarray} \sqrt{p} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ , also wäre $\begin{eqnarray} \sqrt{p} \end{eqnarray}$ rational, dann wäre das Polynom nicht irreduzibel und man könnte es in Linearfaktoren (x+a bzw. x+b) zerlegen (einfach eine Polynomdivision mit $\begin{eqnarray} x - \sqrt{p} \end{eqnarray}$ machen).
24.10.2008, 10:10	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
eisenstein geht über $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ da du keine hauptideale in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ hast (weil, jede zahl z aus $\begin{eqnarray} z \in \mathbb Q ^ \end{eqnarray}$ lässt sich schreiben als 2z/2 mit z ungleich z/2) dann musstest du eigentlich noch zeigen dass jedes polynom, dass über z irreduzibel ist auch über q irreduziebel is (is iirc auch so) die argumentation über euklid ist hier wesentlich anschaulicher
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