Ungleichungen

22.10.2008, 22:59

Dorika

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Ungleichungen

Guten Abend,

angenommen ich hab eine Ungleichung, zB. $\begin{eqnarray*} \mid \frac{x-1}{x+1} \mid >5 \end{eqnarray*}$
dann hab ich die 4 Fälle aufgedröselt.
sprich $\begin{eqnarray*} x-1>5x+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x+1>5x+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x+1>-5x-5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-1>-5x-5 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich jetzt auf Anhieb ausschließen, welche xWerte (nachdem ich sie berechnet hab) nicht relevant sind? Ich hab das nämlich sehr unschön über Probieren versucht.

$\begin{eqnarray*} L=(x\mid -\frac{3}{2}<x< -\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$

22.10.2008, 23:06

Zizou66

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Also die vier Fälle sind schon mal richtig. Jetzt bestimmst du für jede dieser vier Gleichungen die Lösungsmenge. Die Lösungsmenge der eigentlichen Aufgabe ist dann die Schnittmenge der Lösungsmengen.
Das ist auch relativ einleuchtend, denn wenn z.B. aus Fall (1) folgt, dass x<2 die Gleichung löst und bei (2) x>2 die Gleichung löst (ACHTUNG: Nur willkürliche Beispiele) so kann weder -1 eine Lösung sein, da (2) nicht erfüllt ist und 3 keine Lösung sein, weil (1) nicht erfüllt ist. Verstanden?

22.10.2008, 23:13

Dorika

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Nicht ganz. Du legst praktisch duch die Umformungen schon einen Defintionsbereich für x fest und guckst dann, ob dein errechneter wert darin liegt?

22.10.2008, 23:17

Zizou66

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Ist auch im ersten Moment nicht ganz einfach nur durch Text zu verstehen, man lernt es besser durchs Machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie sind denn die Lösungsmengen der Ungleichungen (1)-(4) ?
Und was weißt du über Schnittmengen?

22.10.2008, 23:33

tigerbine

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RE: Ungleichungen
Wenn du schon auf die Fälle kommt, warum hast du dir dann nicht die Bedingungen notiert?

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{x-1}{x+1} \mid >5 \end{eqnarray*}$

Rechenregeln sagen

$\begin{eqnarray*} \frac{|x-1|}{|x+1 |} >5 \end{eqnarray*}$

Nun sehen wir die entscheidenden Werte für x sofort. Stellen also mal schnell eine Tabelle auf.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10:	x <-1 -1 < x < 1 1 < x (x-1) - - + (x+1) - + + ================================================================================ + - +

Damit ergeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x-1|}{|x+1 |} = \begin{cases} \frac{x-1}{x+1} & x < -1 \\ \frac{-(x-1)}{x+1} & -1 \leq x < 1 \\ \frac{x-1}{x+1} & 1\leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$

Bleiben für die Ungleichung nun 3 Fälle zu untersuchen

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x+1} >5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1 < 5x+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x > -6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > -1.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L_1=]-1.5,-1[ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-(x-1)}{x+1} >5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x+1 > 5x+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4 > 6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x < -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L_2=[-1, -\frac{2}{3}[ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x+1} >5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1 > 5x+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x < -6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x < -1.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L_3=\emptyset \end{eqnarray*}$

Wieso ist nun die Lösungsmenge die Schnittmenge? Ich würde meinen es ist die Vereinigungsmenge?

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = ]-1.5,-\frac{2}{3}[ \end{eqnarray*}$

Grüße Wink

Wink

22.10.2008, 23:47

Zizou66

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Zitat:

Original von Tigerbine
Wieso ist nun die Lösungsmenge die Schnittmenge? Ich würde meinen es ist die Vereinigungsmenge?

Oh man

Finger1

Ja das ist natürlich richtig, was du sagst und das, was ich gesagt habe ist ebenso Blödsinn. Tut mir Leid.

Müsste deine Lösungsmenge aber dann nicht auch anders aussehen, denn

$\begin{eqnarray*} L_1 \cup L_2 =]-1.5,-1[ \end{eqnarray*}$

Edit: Und wie mir gerade auffällt ist das wiederrum $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ selbst. Meine Frage bleibt aber die gleiche Wink

Wink

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22.10.2008, 23:49

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \mathbb L_1=]-1.5,-1[ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L_2=[-1, -\frac{2}{3}[ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L_1 \cup \mathbb L_2 = ]-1.5,-\frac{2}{3}[ \end{eqnarray*}$

Also, nein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2008, 23:52

Dorika

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Danke für deinen Post, Tigerbine, der war sehr hilfreich.
Ich hab die gleichen Ergebnisse.

soweit ist mir das auch klar. Kannst du mir bitte erklären, wie du von $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x+1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ bzw die anderen bedigungen kommst?

22.10.2008, 23:54

tigerbine

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Was meinst du genau?Zitier mal die Stelle. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2008, 23:54

Zizou66

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Wie peinlich unglücklich

unglücklich

Habe nicht bemerkt, oder daran gedacht, dass $\begin{eqnarray*} -1<-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ist.

22.10.2008, 23:54

tigerbine

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Wie haben alle mal schlechte 5 Minuten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2008, 23:58

Zizou66

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Gut, dann bin ich ja beruhigt und kann jetzt schlafen gehen. Auch weil Dorikas Problem bei dir in guten Händen ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2008, 23:59

tigerbine

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Gute Nacht und bis bald in alter Frische. Wink

Wink

23.10.2008, 06:22

Dorika

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RE: Ungleichungen

Zitat:

Original von tigerbine
Damit ergeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x-1|}{|x+1 |} = \begin{cases} \frac{x-1}{x+1} & x < 1 \\ \frac{-(x-1)}{x+1} & -1 \leq x < 1 \\ \frac{x-1}{x+1} & 1\leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das meinte ich. Damit unterschiedest du einfach nur na den Polstellen, das ist mir klar. Wie ordnest du jetzt diesen Bedingungen die Fälle zu? (die 3, die ich oben schon hingeschrieben hatte)?

liebe Grüße

23.10.2008, 07:26

Airblader

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Dafür hat tigerbine doch eine chice kleine Texttabelle gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beim ersten Fall sind Zähler und Nenner negativ, also würde vor beide ein Minus kommen. Dieses hebt sich aber auf, also bleibt das Minus weg.
Beim zweiten ist nur der Zähler negativ, also setzt man ein Minus, um es wieder positiv zu machen.
Und beim dritten sind beide positiv, also muss man gar nichts machen.

Edit: Allerdings fehlt beim ersten Fall ein Minus. Da ist natürlich "x < -1" gemeint.

air

23.10.2008, 11:58

tigerbine

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hihi, ja war mir zu spät um den latex Befehl zu suchen. Minus in cases Fall wurde ergänzt.

Bei den Ungleichungen musst du dann eben nochmal in die Texttabelle schauen, denn in Fall 1 multipliziert du mit einem Term, der für alle zugelassenen x kleiner als Null ist. Daher dreht sich das Zeichen um.

23.10.2008, 17:21

Dorika

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Ah, danke, jetzt wirds. Ähm kurze Frage: Kann ich auch ein "mögliches Intervall" rausschmeißen, indem ich einen Wert für x einsetzte, der darin liegt? Also praktisch exemplarisch für alle anderen Werte mit der Voraussetzung der Stetigkeit?

23.10.2008, 17:29

tigerbine

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Verstehe deine Idee nicht. Wie soll 1 Wert unendlich viele rausschmeißen?

23.10.2008, 20:13

Dorika

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Hm also, ich setzte einfach meinen wert meines definitionsbereiches in die ungleichung ein und schaue, b eine wahre aussage rauskommt. kann ich dann auf grund der stetigkeit darauf schließen, dass dies auch für den rest des def gilt?
müsste ich doch eigentlich können.
lg

23.10.2008, 20:14

tigerbine

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Ich versteh es immer noch nicht. Mach das mal an der Aufgabe konkret vor.

23.10.2008, 20:33

Dorika

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zb.
$\begin{eqnarray*} \frac{x+8}{x+3}<x \end{eqnarray*}$

dann hab ich nach anwenden der pq in folgende Intervalle unterteilt
1. $\begin{eqnarray*} [- \infty ; -4] \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} [-4;-3[ \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} ]-3;2] \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} [2;\infty] \end{eqnarray*}$

dann hab ich jeweils zahlenwerte eingesetzt und dann betrachtet, ob die aussage, die rauskommt, korrekt ist.
bei 2) und 4) ergibt sich für x=-3,5 bzw x=3 eine wahre aussage

Kann ich von dieser "Annahme" jetzt darauf shcließen, dass
$\begin{eqnarray*} L={x/-4<x<-3;x>2} \end{eqnarray*}$

(Kann ich die Lösungsmenge dann auch so ausdrücken?)

In diesem Fall müsste ich doch keine Fallunterscheidung durchführen, das muss ich nur bei BEträgen vornehmen, oder?
lg

23.10.2008, 20:54

tigerbine

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1. So kannst du die Lösungsmenge nicht ausdrücken

2. Bevor man die Ungleichung umstellt, muss man Fallunterscheidung machen.

$\begin{eqnarray*} \frac{x+8}{x+3}<x = \begin{cases} x+8 > x(x+3) & x < -3 \\ x+8 < x(x+3) & -3 < x \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das kann man dann vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+8}{x+3}<x = \begin{cases} 0 > x^2 + 2x -8 & x < -3 \\ 0 < x^2+2x-8 & -3 < x \end{cases} \end{eqnarray*}$

Mit wissen über Parabeln ergibt sich auf der anderen Seite:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-2\pm \sqrt{4+4\cdot 8}}{2} = -1 \pm 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} x^2+2x-8 < 0 & x \in ]-4,2[ \\ x^2+2x-8 > 0 & ]-\infty,-4[ \cup ]2,\infty[ \end{cases} \end{eqnarray*}$

Somit erhalten wir nach abgleich der Bedingungen als Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} \mathbb L =]-4,-3[ \cup ]2,\infty[ \end{eqnarray*}$

So würde ich das machen. Das mit "Werte testen" ist mir zu riskant und kann ich nicht allgemein als richtig bestätigen.

23.10.2008, 21:24

Airblader

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Die Idee ist doch simpel:

Wenn eine stetige Funktion f bei x1, x2, ... xn Nullstellen hat (also dies alle Nullstellen sind) und z.B. f(a)<0 mit x1 < a < x2 ist, dann ist f(b)<0 für alle b € ]x1;x2[.

Angenommen, so ein a existiert, es ist dann aber f(b)>0 für ein b. Wir haben also f(a)<0 und f(b)>0. Dann existiert wg. der Stetigkeit mind. eine weitere Nullstelle dazwischen.

air

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