Zahlentheoretisches Problem

28.07.2006, 22:47	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheoretisches Problem Ich bin bei einer Gleichung auf ein Problem gestoßen. Früher habe ich einmal eine kleine Denkaufgabe mit der Gleichung $\begin{eqnarray} x^{y}=y^{x} \end{eqnarray}$ gestellt. Nun bin ich auf eine Frage gestoßen: Wie kann ich beweisen, dass $\begin{eqnarray} x=2 ; y=4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=4 ; y=2 \end{eqnarray}$ die einzigen rationalen Lösungen dieser Gleichung sind, sprich: dass bei jeder anderen Lösung die Abszisse oder die Ordinate des Lösungspunktes irrational ist? Hab schon alles Mögliche versucht. Einer meiner Ansätze war, dass das Problem möglicherweise mit elliptischen Kurven lösbar wäre, allerdings kann ich noch überhaupt nicht den Teilen arbeiten... Gibt es da möglicherweise eine einfachere Lösung?
28.07.2006, 22:57	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hoffentlich kannst du das gar nicht zeigen - mit x=y fallen mir sehr sehr sehr .... sehr sehr viele rationale Lösungspaare ein.
28.07.2006, 23:09	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich habe vergessen hinzuzufügen, dass ich damit die nichttrivialen Zahlenpaare meinte, für die gilt $\begin{eqnarray} x \neq y \end{eqnarray}$ . Gibt es nun hierfür einen Beweis?
28.07.2006, 23:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab da noch nicht drüber nachgedacht, aber warum gehst du nicht ganz konventionell ran: Ansatz $\begin{eqnarray} x=\frac{p}{q} \end{eqnarray}$ mit teilerfremden $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} y=\frac{r}{s} \end{eqnarray}$ mit teilerfremden $\begin{eqnarray} r,s \end{eqnarray}$ . Dann kannst du $\begin{eqnarray} \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{r}{s}} = \left( \frac{r}{s} \right)^{\frac{p}{q}} \end{eqnarray}$ zunächst äquivalent zu $\begin{eqnarray} p^{rq} \cdot s^{ps} = r^{ps} \cdot q^{rq} \end{eqnarray}$ umformen. Und jetzt kannst du dank der Teilerfremdheit einiges folgern.
28.07.2006, 23:57	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp, ich habe das Problem, dass ich meistens alles von einem viel zu komplizierten Hintergrund aus zu lösen versuche...
29.07.2006, 00:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe inzwischen weitere rationale Lösungen gefunden: $\begin{eqnarray} x = \left( \frac{m+1}{m} \right)^m, y = \left( \frac{m+1}{m} \right)^{m+1} \end{eqnarray}$ für alle natürlichen $\begin{eqnarray} m\geq 1 \end{eqnarray}$ EDIT: Es sind nachweislich die einzigen positiven rationalen Lösungen mit $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ der Gleichung $\begin{eqnarray} x^y = y^x \end{eqnarray}$ .
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