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30.07.2006, 12:15

venora

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Z*n:=\{ 1,2...,n-1\} und . n die Modolu-n- Multiplikation.

1) Beweise oder widerlege: (Z*6,. 6) ist eine abelsche Gruppe

2) (Z*5,. 5) zu welcher Gruppe ist diese isomorph??

3) Beweise oder widerlege: (Z,o) mit aob:= a+b+4 ist eine abelsche Gruppe.

30.07.2006, 12:23

JochenX

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hmmm, sehr schwer lesbar.
Du musst alles in Latextags setzen:

code:
1:	[latex]..........[/latex]

dann wird der Code umgewandelt.

Soll $\begin{eqnarray*} Z*n=\mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ also die zyklische Gruppe mit n Elementen sein?

Deine Aufgaben lösen wird hier keiner, eigene Ideen? Wo hängst du? usf.
Frage 2) finde ich komisch.

30.07.2006, 12:35

venora

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$\begin{eqnarray*} Z*n:=\{ 1,2...,n-1\} und \cdot n die Modolu-n- Multiplikation. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (Z*6,\cdot 6) \end{eqnarray*}$ ist die Menge der ganzen Zahlen ohne Null , also (1,2,3,4,5). Wie kann ich anhand der Verknüpfungstafel zeigen, dass das keine Gruppe ist?

Und zur zweiten Aufgabe: Die Gruppe hat die Ordnung 4, zu welcher Gruppe kann sie mit Hilfe der Verknüpfungstafel isomorph sein??

30.07.2006, 12:40

JochenX

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Ah, das ist eine sehr ungewöhnliche Definition; algebraisch gesagt betrachtest du das multiplikative Monoid von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ OHNE die Null.
Tipp: das ist genau dann eine Gruppe, wenn dein Z/nZ ein Körper ist (falls ihr da schon was hattet), dann ist es nämlich gerade die sogenannte Einheitengruppe vom Ring Z/6Z.
Wenn dir der Tipp allerdings noch nichts bringt....:
Am einfachsten für den ersten Fall ist es, einfach ein Nullteilerpaar des Monoids (Z/6Z,*) anzugeben, denn dann ist deine Struktur nicht abgeschlossen bzgl. *.
Finde also x,y aus deiner Struktur, für die x*y nicht drin liegt.

30.07.2006, 12:55

venora

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Hilft mir nicht wirklich weiter, aber wenn ich sage, dass $\begin{eqnarray*} 2\cdot 3= 0, aber 0 nicht \in Z*6, dann ist es doch nicht abgeschlossen? \end{eqnarray*}$

So besitzt die 2 auch mehr als ein neutrales Element $\begin{eqnarray*} 2\cdot 1= 2= 2\cdot 4 \end{eqnarray*}$

Zu 2) Jede Gruppe der Ordnung 4 ist doch entweder zu Z4 oder zu V4 isomorph??

30.07.2006, 13:03

JochenX

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richtig, 2*3 geht aus deiner Struktur raus, also keine Gruppe; das insbesondere 2 kein Inverses hat ist auch richtig, aber mit der Nichtabgeschlossenheit bist du schon fertig

wenn ich Z4 und V4 richtig deute, dann ist deine zweite Aussage auch richtig.
Du solltest also zeigen:
deine Struktur ist eine Gruppe
danach prüfst du, ob du eine zyklische Gruppe hast (prüfe einfach die 4 möglichen Erzeuger)

Bei 3) wirst du entweder alle Gruppenaxiome nachrechnen müssen, oder eine verletzte finden.
Fang am besten mal vorne an, Abgeschlossenheit usf.

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