Teilbarkeit

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Teiler Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit
Wie kann ich folgendes zeigen:



Es folgt ja eigentlich direkt aus den Definitionen. Aber wie kann ich das wirklich beweisen? Habe schon ewig versucht, das per Definition der Teilbarkeit zu zeigen, aber ich schaffe es nicht ohne die Aussage, die ich beweisen soll, vorausszusetzen.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Frisch mal meine Erinnerung auf , was genau bedeutet. Bedeutet das also "p teilt a", oder "a teilt p"? Sind p und a ganze Zahlen?
 
 
Teiler Auf diesen Beitrag antworten »

Achja, sorry, soll prim sein und , bedeutet, dass ein Teiler von ist, d.h. es gilt mit .
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du mit Hilfe folgender Überlegung zum Ziel kommen:

Teiler Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe nicht wie mir das hier hilft bzw. wie ich von diesem Umschreiben der Voraussetzung auf die Behauptung schließen kann.

Das hab ich gerade dazu gefunden: Euclid's lemma. Das ist doch genau das, was ich hier zeigen soll? Aber der dort erwähnte Beweis ist hier wohl nicht gemeint.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

OK ... ich sehe ein, dass mein obiger Hinweis nicht sehr hilfreich war. Ich bin zwar kein Zahlentheoretiker, aber was spricht gegen folgende Argumentation:

Sei die Primfaktorzerlegung von , und die Primfaktorzerlegung von . Es ist also







Dann folgt aus , dass für wenigstens ein ist. Ist nun so gilt , andernfalls .


Mag sein, dass ich was übersehe - ich wüsste im Moment aber nicht an welcher Stelle.


Edit: (Danke tmo.)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Sei die Primfaktorzerlegung von , und die Primfaktorzerlegung von . Es ist also


Du wolltest natürlich schreiben Augenzwinkern
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Korrigiert. Thx. smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Dann folgt aus , dass für wenigstens ein ist.


Was noch zu beweisen wäre. Augenzwinkern
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von Dual Space
Dann folgt aus , dass für wenigstens ein ist.


Was noch zu beweisen wäre. Augenzwinkern

Grml ... deshalb mag ich die Zahlentheorie nicht sonderlich. verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist trivial, wenn man weiß, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich war die Aussage so trivial, dass ich nicht mal daran dachte sie zu beweisen. Big Laugh

Aber auf diese Kleinigkeit bin ich dann doch nicht gekommen. Hammer
Teiler Auf diesen Beitrag antworten »

Ein spätes danke. Augenzwinkern Eines ist mir noch aufgefallen: die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist doch eine unmittelbare Folge des zu beweisenden Satzes (ohne den zu beweisenden Satz kann die Eindeutigkeit nich festgelegt werden). Aber dann darf ich die Eindeutigkeit nicht für den Beweis des Satzes voraussetzen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab grade mal den Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nachgeblättert, da findet die Aussage

Zitat:
Es seien positive ganze Zahlen mit und , außerdem sei der kleinste echte Teiler von . Man zeige, dass dann gilt.

Verwendung. Das ist fast dieselbe Behauptung wie die vom Fragesteller, nur abgeschwächt, weil es nur für den kleinste Teiler (der dann Primteiler sein muss) von beweisen werden soll, nicht für alle Primteiler. Bewiesen wird das dort übrigens durch Vollständige Induktion über .

Insgesamt muss man hier - gerade weil es sehr elementar ist - aufpassen, dass sich nicht die Katze in den Schwanz beißt. Augenzwinkern
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