ein paar fragen zu lambertW

30.07.2006, 16:58

system-agent

ein paar fragen zu lambertW

hi zusammen,

ich hab mir hier mal die threads im forum zu lambertW zu gemüte geführt und da sind bei mir zwei fragen aufgetaucht:
1.
bei der definition steht:
$\begin{eqnarray*} x\cdot \exp(x)=y \Leftrightarrow W(y)=x \end{eqnarray*}$

konsequenterweise müsste man doch auch schreiben können:
$\begin{eqnarray*} W(y)=W(x\cdot\exp(x))=x \end{eqnarray*}$ und bei wikipedia steht:
$\begin{eqnarray*} x=W(x)\cdot\exp(W(x)) \end{eqnarray*}$

wie kommt man dann von $\begin{eqnarray*} W(x\cdot\exp(x)) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} W(x)\cdot\exp(W(x)) \end{eqnarray*}$ ?

2.
im thread zum exponentialturm wird eine geschlossene form für denselben gegeben:
$\begin{eqnarray*} x^{x^{x^{x^{x...}}}}=y=-\frac{W(-\ln(x))}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$

ich hab da auch mal ein bischen dran herumgerechnet und bin darauf gekommen:
$\begin{eqnarray*} y=\exp(-W(-\ln(x))) \end{eqnarray*}$
lässt sich das irgendwie ineinander überführen oder hab ich mir da einen bockmist zurechtgerechnet?

danke schonmal

30.07.2006, 17:18

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Zitat:

Original von system-agent
bei der definition steht:
$\begin{eqnarray*} x\cdot \exp(x)=y \Leftrightarrow W(y)=x \end{eqnarray*}$

Da würde ich vorsichtig sein, das gilt so ohne weiteres nur für $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y=-\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{e}<y<0 \end{eqnarray*}$ gibt es zwei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Lösungen, demzufolge stimmt dort höchstens

$\begin{eqnarray*} x\cdot \exp(x)=y \quad\Leftarrow\quad W(y)=x \end{eqnarray*}$

30.07.2006, 17:23

system-agent

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stimmt, du hast da mal was von einem weiteren zweig der funktion geschrieben....

aber selbst mit dieser einschränkung bleibt die frage im grunde ja bestehen...

30.07.2006, 17:28

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Also gut:

1.) Durch Einsetzen der rechten in die linke Seite von

$\begin{eqnarray*} x\cdot \exp(x)=y \quad\Leftarrow\quad W(y)=x \end{eqnarray*}$

folgt $\begin{eqnarray*} W(y)\cdot \exp(W(y)) = y \end{eqnarray*}$ für alle y des Definitionsbereichs der LambertW-Funktion, also $\begin{eqnarray*} y\geq -\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ .

2.) Mit den genannten Einschränkungen von meinem letzten Beitrag, also sagen wir $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ , gilt auch

$\begin{eqnarray*} x\cdot \exp(x)=y \quad\Rightarrow\quad W(y)=x \end{eqnarray*}$

woraus durch Einsetzen der linken in die rechte Seite dann $\begin{eqnarray*} W(x\cdot \exp(x))=x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ folgt.

31.07.2006, 20:03

system-agent

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hat noch jemand was tippmäßiges zu meiner zweiten frage?
verwirrt

31.07.2006, 20:14

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} W(y)\cdot \exp(W(y)) = y \end{eqnarray*}$ für alle y des Definitionsbereichs der LambertW-Funktion, also $\begin{eqnarray*} y\geq -\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt setze hier mal $\begin{eqnarray*} y=-\ln(x) \end{eqnarray*}$ ein, dann folgt die Gleichheit beider Terme bei 2.

31.07.2006, 20:30

system-agent

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vielen dank, jetzt hab ichs!! und ja, das nächste mal werd ich mal weiter überlegen bevor ich frage Augenzwinkern

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