Komplexe Zahlen Beweise

23.10.2008, 15:39

3.1415

Komplexe Zahlen Beweise

Hallo!

Ich habe hier einige Aufgaben...

1.)Zeige, dass in C bzgl. der in der Vorlesung definierten Addition und Multiplikation das Assoziativgesetz für die Multiplikation und das Distributivgesetz gelten.

Assoziativgesetz für Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} (a*b)*c=a*(b*c) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz wäre jetzt folgender:

$\begin{eqnarray*} [(a, b)*(a1, b1)]*(a2, b2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =[a*a1, a*b1)+(a1*b, b*b1)]*(a2, b2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(a*a1, a*b1)*a2+(a1*b, b*b1)*b2 \end{eqnarray*}$

Distributivgesetz:

$\begin{eqnarray*} (a+b)*c=(a*c)+(b*c) \end{eqnarray*}$

Hier würde ich es dann ähnlich machen...aber stimmt der Ansatz bei dem Assoziativgesetz?

2)a) Löse die Gleichung in C:

$\begin{eqnarray*} |z|-z=1+2i \end{eqnarray*}$

Muss man hier "einfach" nach z auflösen?

3) Welche Teilmengen von Q sind Körper bzgl. der üblichen Addition und Multiplikation?

Kann mir jemand sagen, was hier gesucht ist?
Muss ich jetzt Teilmengen aus Q finden, für die die Axiome erfüllt sind?

23.10.2008, 15:48

tigerbine

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1,2
Hallo abgebrochenes Pi. Latex sieht besser aus, wenn du Indizes und \cdots verwendest.

$\begin{eqnarray*} (a\cdot b) \cdot c=a \cdot (b\cdot c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [(a_1+i\cdot b_2)(b_1+i\cdot b_2)] \cdot (c_1+i\cdot c_2) \end{eqnarray*}$

Nun nacheinander die Rechenregeln anwenden. Dann kannst du entweder so umformen, dass man die rechte Seite sieht, oder die Rechte ebenfalls auflösen und die gleichheit von Real und Imaginärteil zeigen. Berufen musst du dich auf die Definition der komplexen Multiplikation und die Rechenregeln für reelle Zahlen,

23.10.2008, 17:44

Nubler

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hint:

die komplexe zahl der form a+bi is äquivalent zu einer 2x2 matrix der form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn du des für die klasse solcher matrizen bewiesen hast, gilt des automatisch für die komplexen zahlen.

würde des argument dass c einfach ne körpererweiterung von r is denn nicht einfach reichen?

23.10.2008, 17:49

WebFritzi

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Zitat:

Original von Nubler
hint:

die komplexe zahl der form a+bi is äquivalent zu einer 2x2 matrix der form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist zwar interessant, hilft hier aber nicht. Rechnen muss man doch eh. Ob nun mit Matrizen oder direkt mit den Zahlen...

Zitat:

Original von Nubler
würde des argument dass c einfach ne körpererweiterung von r is denn nicht einfach reichen?

Argumente sind besonders hübsch, wenn sie noch nicht bewiesen sind.

27.10.2008, 14:33

3.1415

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Re: 1,2

Zitat:

Original von tigerbine
Hallo abgebrochenes Pi. Latex sieht besser aus, wenn du Indizes und \cdots verwendest.

$\begin{eqnarray*} (a\cdot b) \cdot c=a \cdot (b\cdot c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [(a_1+i\cdot b_2)(b_1+i\cdot b_2)] \cdot (c_1+i\cdot c_2) \end{eqnarray*}$

Nun nacheinander die Rechenregeln anwenden. Dann kannst du entweder so umformen, dass man die rechte Seite sieht, oder die Rechte ebenfalls auflösen und die gleichheit von Real und Imaginärteil zeigen. Berufen musst du dich auf die Definition der komplexen Multiplikation und die Rechenregeln für reelle Zahlen,

Hallo!

Danke für die Antwort!

Muss ich also nur ausmultiplizieren?
Wie sollte das Ergebnis denn ungefähr aussehen?
Ich habe jetzt nur einen sehr langen Term...

27.10.2008, 14:43

tigerbine

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Re: 1,2

Zitat:

Original von 3.1415
Ich habe jetzt nur einen sehr langen Term...

So lange er für beide Seiten gleich ist, passt es doch.

27.10.2008, 15:00

3.1415

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$\begin{eqnarray*} [(a_1+i\cdot b_2)(b_1+i\cdot b_2)] \cdot (c_1+i\cdot c_2) \end{eqnarray*}$

Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich das nicht richtig gemacht habe...inwiefern kann ich den hier den imaginären vom reellen Teil trennen?

Also, wenn ich ausmultipliziere, habe ich natürlich immer noch nur eine Seite.

Muss das dann mit

$\begin{eqnarray*} (a\cdot b) \cdot c=a \cdot (b\cdot c) \end{eqnarray*}$

übereinstimmen? bzw. wie mache ich das?

27.10.2008, 15:02

tigerbine

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In dem du nach "hat i" "hat kein i" sortierst.

27.10.2008, 15:09

3.1415

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$\begin{eqnarray*} [(a_1+i\cdot b_2)(b_1+i\cdot b_2)] \cdot (c_1+i\cdot c_2)=(a_1+i\cdot b_2)[(b_1+i\cdot b_2)] \cdot (c_1+i\cdot c_2)] \end{eqnarray*}$

Also so beide Seiten ausmultiplizieren, dann die imaginären Teile auf die eine und die reellen Teile auf die andere?

27.10.2008, 15:10

tigerbine

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nein, auf beiden seiten dann nach real und imaginär sortieren. dann links und rechts vergleichen.

27.10.2008, 15:32

3.1415

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Super, danke.

Bin da irgendwie viel zu kompliziert an die Aufgabe herangegangen.

Also, die beiden Seiten der Gleichung sind identisch.

Jetzt muss dasselbe auch noch für das Distributivgesetz bewiesen werden.

Also:

$\begin{eqnarray*} (a+b) \cdot c=(a \cdot c) + (b \cdot c) \end{eqnarray*}$

Ist diese Schreibweise richtig?

$\begin{eqnarray*} [(a_{1}+ib_{2})+(b_{1}+ib_{2})] \cdot (c_{1}+ic_{2})= ... \end{eqnarray*}$

27.10.2008, 15:40

tigerbine

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Zitat:

Original von 3.1415
$\begin{eqnarray*} [(a_{1}+ib_{2})+(b_{1}+ib_{2})] \cdot (c_{1}+ic_{2})= ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [(a_{1}+ia_{2})+(b_{1}+ib_{2})] \cdot (c_{1}+ic_{2})= ... \end{eqnarray*}$

So wäre es besser. Augenzwinkern

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