Randdichte

23.10.2008, 16:51

ferdi

Randdichte

Hallo!

Hab da mal eine Frage, Randdichten ergeben sich eindeutig aus einer gemeinsamen Verteilung von X und Y.
Umgekehrt ist das aber nicht eindeutig. Kann mir da einer ein Beispiel nennen?

Und wenn ich aber zu der Randdichte f_X(x) noch die bedingte Dichtefunktion habe fY|X (y|x)
ist dann f_X(x) * fY|X (y|x) = f_X,Y(x,y) die gemeinsame Dichte eindeutig?

Viele Grüße!

23.10.2008, 22:11

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Vorab: Wenn du von "eindeutig" sprichst, dann meinst du nur " $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -fast sicher" eindeutig, wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ das der Dichte zugrundeliegende Lebesgue-Maß ist. Schließlich sind z.B. $\begin{eqnarray*} f_1(x) = 1_{[0,1]}(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x) = 1_{(0,1)}(x) \end{eqnarray*}$ beides Dichten der stetigen Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ , also ist diese Dichte im strengen Sinne nicht eindeutig.

Zitat:

Original von ferdi
Und wenn ich aber zu der Randdichte f_X(x) noch die bedingte Dichtefunktion habe fY|X (y|x)
ist dann f_X(x) * fY|X (y|x) = f_X,Y(x,y) die gemeinsame Dichte eindeutig?

Ja, natürlich wiederum im fast-sicheren Sinne.

Zitat:

Original von ferdi
Kann mir da einer ein Beispiel nennen?

Konstruiere dir doch eins: Nimm einmal die Gleichverteilung auf dem Quadrat $\begin{eqnarray*} [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ , und dann ein anderes ma die Gleichverteilung auf der Vereinigung

$\begin{eqnarray*} \left( \left[0,\frac{1}{2}\right] \times \left[0,\frac{1}{2}\right] \right) \cup \left( \left[\frac{1}{2},1\right] \times \left[\frac{1}{2},1\right] \right) \end{eqnarray*}$

Beide besitzen dieselben Randverteilungen, nämlich jeweils die erwähnte Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

24.10.2008, 13:19

ferdi

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Danke schonmal für die Antwort.

Aber ich versteh den Unterschied der gemeinsamen Verteilungen bei deinem Beispiel nicht so ganz.

Die bivariate Dichte der Gleichverteilung auf [0,1]x[0,1] ist doch:
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 1_ {[0,1]}(x)\cdot 1_{[0,1]}(y) \end{eqnarray*}$
Dann ist die Randdichte wie du ja schon meintest
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \int{1_{[0,1]}(x)\cdot 1_{[0,1]}(y)}dy=1_{[0,1]}(x) \end{eqnarray*}$

Wie ist die Dichte f(x, y) der Gleichverteilung auf
([0,1/2] x [1/2, 1]) U ([0,1/2] x [1/2, 1])? Das vereinigt sich doch gerade wieder zu obigem.

24.10.2008, 13:54

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Zitat:

Original von ferdi
Wie ist die Dichte f(x, y) der Gleichverteilung auf
([0,1/2] x [1/2, 1]) U ([0,1/2] x [1/2, 1])? Das vereinigt sich doch gerade wieder zu obigem.

Uninn! Offenbar hast du dir das ganze nicht im Koordinatensystem aufgezeichnet.

Zwei Quadrate der Seitenlänge 1/2 ergeben vereinigt niemals ein Quadrat der Seitenlänge 1, egal wie sie liegen.

24.10.2008, 17:12

ferdi

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Oh ja, sicher. Ich hab das irgendwie nur einzeln vereinigt. Big Laugh

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