Taylor

23.10.2008, 17:34

laurin

Taylor

Hallo!

Ich hab wirklich ein Problem, weil ich diese taylorentwicklung überhaupt nicht verstehe, hab schon jede menge bücher durchgewälzt und verstehen tu ich trotzdem nichts!
wie muss ich denn sowas machen!
Meine Aufgabe:
Berechnen sie mit Hilfe einer Taylorentwicklung die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=ae^{\frac{x}{b}} \end{eqnarray*}$
für x_0=0

Was muss ich jetzt hier machen?

23.10.2008, 17:38

tigerbine

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RE: Taylor
Wie würden denn die ersten Taylorpolynome aussehen? Augenzwinkern

23.10.2008, 17:49

laurin

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ich hab das irgendwie versucht mit dieser Formel hinzukriegen, obwohl mir die Formel nicht gerade viel sagt! ich hoffe das ich wenigstens das jetzt so kapiert hab

$\begin{eqnarray*} f(x)=a+x*\frac{a}{b}+\frac{x^2}{2}*\frac{a}{b^2}+ \frac{x^3}{6}* \frac{a}{b^3}.... \end{eqnarray*}$

muss ich das jetzt irgendwie auf eine allgemeine Form bringen?
wie mach ich das dann!

23.10.2008, 18:03

tigerbine

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Ok, mal etwas "systematischer", damit man die Formel gleich erkennt. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot e^{\frac{x}{b}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{a}{b}\cdot e^{\frac{x}{b}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=\frac{a}{b^n}\cdot e^{\frac{x}{b}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0)=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0)=\frac{a}{b^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_n(f) && = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} \cdot (x-0) + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot (x-0)^n \\ && =a + \frac{a}{1! \cdot b} \cdot x + ... + \frac{a}{n! \cdot b^n} \cdot x^n \\&& = \sum_{j=0}^{n}~\frac{a}{j! \cdot b^j}\cdot x^j \end{eqnarray*}$

http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

$\begin{eqnarray*} T_{\infty} (f) && =\sum_{j=0}^{\infty}~\frac{a}{j! \cdot b^j}\cdot x^j \end{eqnarray*}$ (*)

Was sollst du nun tun. Zeigen dass die Funktion f die Reihendarstellung (*) besitzt? So ganz komme ich nicht hinter den Sinn von

Zitat:

Berechnen sie mit Hilfe einer Taylorentwicklung die Funktion

23.10.2008, 18:14

laurin

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naja ich weiß ja eben selbst nicht was ich hier machen soll!
Meine Aufgabenstellung steht ja schon da oben! Deswegen tu ich mich ja irgendwie so schwer weil ich gar nicht richtig versteh was ich da berechnen soll
wir haben auch noch die Taylor-formel wenn man x-x_0 durch h substituiert aber das verwirrt mich irgendwie noch mehr!
wär das dann alles mit dieser Summenformel?

23.10.2008, 18:19

tigerbine

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Also es ist ja so, dass man eine Funktion f durch ein Taylorpolynom annähern kann. Warum macht man das? Weil Polynome im Allgemein schön zu "handeln" sind.

Nun kann man sich auch Fragen, ob es auch Funktionen gibt, die sich durch eine Taylorreihe darstellen lassen. Sollte dies der Fall sein, können wir schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=T_\infty(f) \end{eqnarray*}$

Die Exponentialfunktion ist so eine Funktion. Ich weiß aber nun nicht, welche Mittel ihr kennt um das zu beweisen.

23.10.2008, 18:29

Zizou66

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Zitat:

Original von tigerbine

$\begin{eqnarray*} T_{\infty} (f) && =\sum_{j=0}^{\infty}~\frac{a}{n! \cdot b^n}\cdot x^j \end{eqnarray*}$

Ist es nicht besser es mit dem Grenzwert mit $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ zu schreiben. Also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}& T_{n} (f) =\lim_{n\to \infty} \sum_{j=0}^{n}~\frac{a}{n! \cdot b^n}\cdot x^j \end{eqnarray*}$

Oder ist das nur kleinkariert? Ich weiß es wirklich nicht und es ist einfach nur eine formale Frage.

23.10.2008, 18:33

tigerbine

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Also imho ist die Taylorreihe so definiert, f ist hier auch genügend oft differenzierbar.

Das "unendlich" im Index habe ich hier nur geschrieben, um konform mit den anderen Summen (bis n) zu bleiben.

23.10.2008, 18:36

Zizou66

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Also darf man es so schreiben. Augenzwinkern

Gut danke, war mir da nicht sicher und wollte es mal nachfragen.

Meine Irritation trat nur auf, weil das n gar nicht mehr vorkam, außer im Bruch.

Entschuldige die Störung, ich bin dann mal wieder raus hier Wink

23.10.2008, 18:38

tigerbine

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Danke, ich habe nämlich beim kopieren das n nicht durch j ersetzt. Nun geschehen. Freude

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