Beweis - trotz Hinweis ratlos

23.10.2008, 18:05

frank1987

Beweis - trotz Hinweis ratlos

Hallo Mathe-Board User!

Wir haben ein Problem: Wir sollen folgende Aufgabestellung lösen. Waren zwar heute mittag an der Uni zu fünft drangesessen, haben aber trotz hinweisen vom Arbeitsblatt nach 1,5 Stunden tüfteln und überlegen nichts rausbekommen.

A6 Zum Widerspruchsbeweis
Zeigen Sie die folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mid a+b \mid }{1 + \mid a + b \mid } \leq \frac{a}{1 + \mid a \mid } + \frac{b}{1 + \mid b \mid } \end{eqnarray*}$

Hinweis: Konstruieren Sie einen Widerspruch zur Dreiecksungleichung!

Dreiecksungleichung ist uns bekannt:
$\begin{eqnarray*} \mid a+b \mid \leq \mid a \mid + \mid b \mid \end{eqnarray*}$

Nun haben wir vergeblich versucht die obere Ungleichung in irgend eine Form zu bringen, von der wir auf die Dreiecksungleichung kommen. Hauptnenner, Binomische Formeln, wasweissichnichtalles ... kein Ergebnis!

Hätte jemand von euch eine Idee, wie wir das anpacken sollten?

mfg,
Frank

23.10.2008, 18:14

Zizou66

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Habt ihr auch mal versucht die Aussage aus der Anfangsgleichung herzuleiten? Also mit

$\begin{eqnarray*} \frac{\mid a+b \mid }{1 + \mid a + b \mid } \end{eqnarray*}$ anzufagen und dann so lange umzuformen bis dort das steht was hinkommt.

Nutz doch aus,dass $\begin{eqnarray*} \mid a+b\mid \leq \mid a\mid + \mid b\mid \end{eqnarray*}$ Dann kannst du den Bruch auseinanderziehen. Wie würdest du weitermachen?

23.10.2008, 18:21

frank1987

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Wie sollen wir den ersten Bruch denn auseinanderziehen? Daran haben wir auch schon gedacht aber es ist ja eine Summe im Nenner.

23.10.2008, 18:23

Zizou66

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Mal ein allgemeines Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c+d}=\frac{a}{c+d} +\frac{b}{c+d} \end{eqnarray*}$

Das meine ich mit Bruch auseinanderziehen.

23.10.2008, 18:58

Leopold

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RE: Beweis - trotz Hinweis ratlos

Zitat:

Original von frank1987
$\begin{eqnarray*} \frac{\mid a+b \mid }{1 + \mid a + b \mid } \leq \frac{a}{1 + \mid a \mid } + \frac{b}{1 + \mid b \mid } \end{eqnarray*}$

Wie soll das gehen? Sind a,b negativ, so ist das offenbar auch die rechte Seite der Ungleichung. Die linke Seite ist dagegen stets nichtnegativ. verwirrt

23.10.2008, 19:05

frank1987

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RE: Beweis - trotz Hinweis ratlos
OHJE! Da hat sich der riesen-Fehlerteufel eingeschlichen!

Auf der rechten Seite steht natürlich im Zähler jeweils a und b im Betrag!

$\begin{eqnarray*} \frac{\mid a+b \mid }{1 + \mid a+b \mid } \leq \frac{\mid a \mid }{1 +\mid a \mid } + \frac{\mid b \mid }{\mid 1 + b \mid } \end{eqnarray*}$

BTW:

Darf ich den Betrag $\begin{eqnarray*} \mid a+b \mid \end{eqnarray*}$ im Nenner auf der linken Seite einfach so "aufsplitten"? Ist doch was anderes als $\begin{eqnarray*} \mid a \mid + \mid b \mid \end{eqnarray*}$ verwirrt

23.10.2008, 19:12

Zizou66

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Und das besagt gerade die Dreiecksungleichung. Mit der du aber sofort die Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mid a+b \mid }{1 + \mid a + b \mid }\leq \frac{\mid a\mid +\mid b\mid}{1+\mid a+b\mid} \end{eqnarray*}$ machen kannst.

Hilft das?

23.10.2008, 19:17

Mona988

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Hm... ich versteh das trotzdem nich so ganz. Wenn ich den Bruch doch auseinanderziehe (was ich ja eigentlich nicht darf, da $\begin{eqnarray*} \mid a \mid \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \mid b \mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid a+b \mid \end{eqnarray*}$ ) dann muss ich ja sagen, dass:
1. der "neue Bruch" $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ dem alten ist(da der neue Zähler $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ dem alten Zähler) und
2. $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ dem unveränderten auf der rechten Seite (da der Nenner größer als auf der rechten Seite ist).

Aber das kann doch kein vollständiger Beweis sein oder? Und vor allem ist es kein Beweis durch konstruktion eines Widerspruches zur Dreiecksungleichung (was ja eigentlich erreicht werden sollte)... *help*

lg mona

23.10.2008, 19:44

frank1987

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Zitat:

Original von Zizou66
Und das besagt gerade die Dreiecksungleichung. Mit der du aber sofort die Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mid a+b \mid }{1 + \mid a + b \mid }\leq \frac{\mid a\mid +\mid b\mid}{1+\mid a+b\mid} \end{eqnarray*}$ machen kannst.

Hilft das?

So, nächsten Tippfehler verbessern und endlich registrieren, da ich wohl die nächsten Monate Dauergast sein werde:

Die Ungleichung muss lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \mid a+b \mid }{1+ \mid a+b \mid }\leq \frac{ \mid a \mid }{1+ \mid a \mid } + \frac{ \mid b \mid}{1+ \mid b \mid } \end{eqnarray*}$

und ich verstehe aber nicht, wie ich durch aufsplitten des Bruches $\begin{eqnarray*} \frac{ \mid a+b \mid }{1+ \mid a+b \mid } \end{eqnarray*}$ eine Verbindung zur Dreiecksungleichung herstellen kann. Wenn ich das aufm Papier mache mache, dann kommt bei mir folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \mid a \mid }{1+ \mid a+b \mid }+\frac{ \mid b \mid }{1+ \mid a+b \mid }\leq \frac{ \mid a \mid }{1+ \mid a \mid } + \frac{\mid b \mid}{1+ \mid b \mid } \end{eqnarray*}$

23.10.2008, 20:11

klarsoweit

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Ich würde erstmal die Ungleichung mit den 3 Nennern der Brüche multiplizieren. Dann den Kram umsortieren und schauen, was rausfällt.

23.10.2008, 20:15

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Zitat:

Original von frank1987
Wenn ich das aufm Papier mache mache, dann kommt bei mir folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \mid a \mid }{1+ \mid a+b \mid }+\frac{ \mid b \mid }{1+ \mid a+b \mid }\leq \frac{ \mid a \mid }{1+ \mid a \mid } + \frac{\mid b \mid}{1+ \mid b \mid } \end{eqnarray*}$

Wenn du meinst, dass diese Ungleichung für alle reellen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ gilt, dann bist du im Irrtum: Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} a=1,b=-1 \end{eqnarray*}$

Zumindest im Fall gleicher Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist sie aber richtig.

23.10.2008, 20:33

Mona988

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Ok, also ich hab das jetzt mal ausprobiert und die Ungleichung dann noch nach 0 aufgelöst. Stimmt soweit auch - da kommt was Wahres raus...
Wie das allerdings mit Hilfe eines Widerspruches zur Dreiecksungleichung funktionieren soll ist mir ein Rätsel...
Ich lass das jetzt glaub ich so...
Danke für eure Hilfe!

lg mona

23.10.2008, 20:42

Mona988

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Obige Umformung ist doch prinzipiell schon deshalb falsch, weil:
$\begin{eqnarray*} \mid a+b \mid \neq \mid a \mid + \mid b \mid \end{eqnarray*}$
?!

24.10.2008, 00:17

Mathespezialschüler

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:[0,\infty)\to[0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{t}{1+t}=1-\frac{1}{t+1} \end{eqnarray*}$

ist streng monoton steigend, also gilt wegen $\begin{eqnarray*} |a+b|\leq |a|+|b| \end{eqnarray*}$ welche Ungleichung? Und danach ist es nur noch ein kleiner Schritt.

29.10.2008, 09:03

klarsoweit

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Und wenn man es mit einem Widerspruch machen will, dann so:

Angenommen, es gelte $\begin{eqnarray*} \frac{|a+b|}{1+|a+b|} > \frac{|a|}{1+|a|} + \frac{|b|}{1+|b|} \end{eqnarray*}$

Es ist dann also $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{1+|a+b|} > \frac{|a|}{1+|a|} + \frac{|b|}{1+|b|} \end{eqnarray*}$

Jetzt denn Bruch von der linken Seite auf die rechte Seite bringen, rechts die Brüche geeignet abschätzen und Dreiecksungleichung anwenden. Fertig.

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