Abstand eines Punktes zu einer Geraden

23.10.2008, 18:49

nikscooter

Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Servus,
ich habe hier im Board schon einiges gesucht bin trotz allem nicht fündig geworden, entweder habe ich es nciht verstandes oder der Thread wurde nicht beendet.

Hier ist meine Aufgabe:

Bestimme den Abstand vom Punkt zur Geraden!

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ P(4/1/1)

Es soll mit dem Fälle das Lot Prinzip oder so ähnlich erfolgen, ich habe keine Ahnung wie das funktioniert,

ich bitte hiermit um Hilfe.

Gruß
nik

23.10.2008, 18:53

Leopold

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RE: Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Zitat:

Original von nikscooter
Es soll mit dem Fälle das Lot Prinzip oder so ähnlich erfolgen

Wobei man hier die Lotebene nimmt, also diejenige Ebene, die auf der Geraden g senkrecht steht und durch den Punkt P geht. Eine Skizze hilft.

23.10.2008, 18:55

nikscooter

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Ich will ja nicht unhöflich sein, aber dies hilft mir garnicht weiter, ich habe meine Schullaufbahn ein Jahr pausiert und bin total raus.
Welche ist die Lotebene?

danke

23.10.2008, 19:03

Leopold

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Was ein Lot ist, findest du hier. Und eine Lotebene einer Geraden ist nun eine Ebene, die auf einer Geraden senkrecht steht. Wenn du deinen Bleistift senkrecht auf den Schreibtisch stellst, dann ist die Tischebene eine Lotebene der Bleistiftgeraden. Und jede zur Tischebene parallele Ebene ist dies auch. Du mußt also noch einen Punkt der Ebene angeben, um diese eindeutig festzulegen. Und in der Aufgabe ist das eben der Punkt P. Wie gesagt, ohne Skizze geht hier gar nichts.

23.10.2008, 19:06

nikscooter

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Also ich habe bereits eine Skizze angefertigt! Sieht schonmal ganz gut aus xD
Ich habe einen neuen Punkt auf der Geraden g eingezeichnet Punkt Q nenne ich diesen mal, Punkt P und Q sprich Gerade PQ ist orthoghonal zur Geraden g.

Nur wie ist der nächste Schritt?

23.10.2008, 19:10

Leopold

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Wenn dein Punkt $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ der Schnittpunkt der Geraden und der Lotebene ist, dann ist es richtig. Du mußt also nach Aufstellen der Ebenengleichung die Ebene mit der Geraden schneiden. Hast du $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ erst einmal, brauchst du nur noch die Länge des Vektors $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$ zu ermitteln.

23.10.2008, 19:13

nikscooter

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Q Ist der Schnittpunkt der Geraden und der Ebene. Jetzt wüsste ich sehr gerne wie ich eine Ebenengleichung aufstelle und ich dann die Ebene mit der geraden schneide!, ich weiß ich bin blöd unglücklich

23.10.2008, 19:15

Leopold

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Für die Ebenengleichung (Normalenform) brauchst du einen Normalenvektor und einen Stützvektor. Beide sind aus der Zeichnung unmittelbar ablesbar. Trage alle gegebenen Daten ein.

23.10.2008, 19:20

nikscooter

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Also der Stützvektor nehme ich an ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn nicht wie soll ich diese Vektoren aus der Skizze sehen ?

23.10.2008, 19:22

nikscooter

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Ich erinnere mich wage daran für eine Ebenenglecihung brauche ich 2 Richtungsvektoren! Nehme ich: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

23.10.2008, 19:23

Leopold

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Das stimmt nicht. Der Stützvektor zeigt vom Ursprung auf einen Punkt der Ebene. Der von dir angegebene Vektor tut das nicht.

23.10.2008, 19:25

nikscooter

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Also der Stützvektor müsste dann OQ sein? O=Ursprung

23.10.2008, 19:29

Leopold

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Ja, schon - aber $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ kennst du gerade noch nicht. $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ willst du ja erst mit Hilfe der Ebenengleichung ermitteln.
Was mußt du stattdessen für den Stützvektor nehmen?

23.10.2008, 19:33

nikscooter

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Ursprung zur Geraden? Wenn ja wie stelle ich diesen Vektor auf?

23.10.2008, 19:36

Leopold

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Noch einmal: Du brauchst keinen Stützvektor der Geraden, sondern einen der Ebene. Denn du willst doch die Ebenengleichung aufstellen. Und da kommt doch nur ein Punkt in Frage. (Oder hast du doch die falsche Zeichnung?)

23.10.2008, 19:43

nikscooter

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Tut mir leid das ich nix peile. Ich habe hier im Buch auch eine 3D Grafik als Beispiel aber ich weiß wirklich nicht welchen Stützvektor.

23.10.2008, 19:49

Leopold

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Ich will jetzt kein Bild für dich malen. Das mußt du schon selber tun. Ich will dir aber dabei helfen.

Gegeben ist eine Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und ein Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , der nicht auf der Geraden liegt. Und jetzt denke dir eine Ebene, die senkrecht zur Geraden steht. Dafür gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Dann verschiebe die Ebene wie ein Fahrstuhl an der Geraden auf und ab, bis sie durch $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ geht. Dann hast du die gesuchte Lotebene durch $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ . Und diese Lotebene schneidet $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ .

23.10.2008, 19:50

nikscooter

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Ich werde einen Cut hier machen und werde das Thema diesen Thread morgen wieder aufwühlen, ich danke dir für deine Hilfe Leopold, ich wünsche einen schönen Abend noch!

26.10.2008, 13:45

p5ychia7er

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Abstand eines Punktes zu einer Geraden
Servus,
ich habe das gleiche Problem wie hier schon angesprochen, komme aber auch nicht weiter. Ich kann mir die Aufgabe problemlos vorstellen, weiß aber technisch nicht wie ich vorgehen muss.

Die Aufgabenstellung findet ihr hier:

http://www.abiturloesung.de/abi_pdf/01_gk_geo_a5.pdf

Also Aufgabe 1c).

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ habe ich ja bereits in a) berechnet, Koordinaten von D sind auch gegeben, und ich nenn den Lotfußpunkt auf $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ einfach mal L.

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{LD} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ stehen zueinander senkrecht und die Länge des Vektors LD is mein gesuchter Abstand.

Nur wie bekomme ich die Koordinaten des Punktes L?

Vielen Dank für die Hinweise.

Gruß

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