Vektorräume

23.10.2008, 21:41

Simon.g

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Vektorräume

Guten Abend,

Habe folgende Aufgabe zu lösen:

Überprüfen Sie für folgende Mengen ob es sich um Vektorräume handelt.

Alle Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+ & c+ & 1 \\ b+ & d+ & 1 \end{pmatrix} und . K * \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka \\ kb \end{pmatrix}, k \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Das man zuerst schauen muss ob alle Vektoren des R² eine kommutative Gruppe bzgl. der Addition bilden und ob diese kommutative Gruppe bzgl. der Multiplikation mit einem Körper hier die Rellen Zahlen die Axiome M1 - M4 erfüllt ist mir noch klar.

Was mich verwirrt ist folgendes: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+ & c+ & 1 \\ b+ & d+ & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wo kommt die +1 her ?

Die Vektoraddition im R² erfolgt mit der Addition der einzelnen Komponenten der Vektoren.

Muss der Summenvektor nicht so aussehen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+ & c \\ b+ & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ was bedeutet die 1 im Summenvektor der Aufgabe hier ?

Bitte helft mir

23.10.2008, 21:46

tmo

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RE: Vektorräume

Zitat:

Original von Simon.g

Was mich verwirrt ist folgendes: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+ & c+ & 1 \\ b+ & d+ & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wo kommt die +1 her ?

Das wird einfach so definiert.

Du sollst ja dann prüfen ob die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit diesen Verknüpfungen einen Vektorraum bildet.

23.10.2008, 23:14

Sion.g

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RE: Vektorräume
Hallo,

jetzt bin ich ganz verwirrt !!!!

Stimmt folgendes:

1. die Menge sind alle Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ der Form: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ d.h. Vektoren mit zwei Komponenten die reelle Zahlen sind ?
2. Die Verknüpfung bzgl. der Menge ist die Addition ( Addition zweier Vektoren ) ?

So nun zur Feststellung ob es eine kommutative Gruppe bzgl. der Addition ist.

A0 Abgeschlossenheit, ja da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+ & c+ & 1 \\ b+ & d+ & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der Summenvektor hat ja wieder zwei Komponenten,
da a und b reelle Zahlen sind und die 1 auch reell ist, kann ich jeweils die erste und zweite Zeile zusammenfassen.

A1 Kommutativität, ja da die Vektoraddition im eukl. Raum kommutativ ist.

A2 Assoziativität ja da die Vektoraddition im eukl. Raum assoziativ ist.

A3 Nullelement, ja der $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist in der Menge enthalten.

A4 inverses Element, ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -a \\ -b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit wäre die Menge aller Vektoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ eine komm.Gruppe bzgl.der Addition

wofür ist die 1 relevant ? hab sie bis jetzt nicht verwendet.

23.10.2008, 23:25

tigerbine

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Was tmo schon sagte.
Was ist denn hier gegeben? Man soll den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ betrachten. Auf dieser Menge definiert man nun eine Addition und eine Skalarpmultplikation mit IR wie folgt:

$\begin{eqnarray*} +:~ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c+1 \\ b+ d+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdot:~k \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k\cdot a \\ k\cdot b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun ist die Frage, ob $\begin{eqnarray*} (\mathbb R^2,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist. Dazu muss $\begin{eqnarray*} (\mathbb R^2,+) \end{eqnarray*}$ schon einmal eine abelsche Gruppe sein. Eine entscheidende Frage ist hierbei dass neutrale Element ("Nullvektor"). Wie lautet der denn hier?

24.10.2008, 00:20

simon.g

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Re
also ich versuchs mal

Neutrales Element sieht so aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+ & (-1)+ & 1 \\ b+ &(-1)+ & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.10.2008, 00:28

tigerbine

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RE: Re
Sehr gut, nun hast du dich korrigiert. Wie sieht nun das additiv inverse Element zu einem (a,b)^T aus?

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24.10.2008, 00:49

simon.g

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RE: Re
Ok kann ja nur schief gehen

inverse Element: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-a -2 \\ -b-2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} -\begin{pmatrix}a +2 \\ b+2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das gleiche?

24.10.2008, 01:02

tigerbine

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RE: Re
"Ja", würde ich aber nicht raus ziehen.

Kommutativität folgt aus den Eigenschaften für reelle Zahlen. Assoziativität kann man imho auch so zeigen. Beides musst du aber ausformulieren.

24.10.2008, 01:28

simon.g

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Puh!! mit etwas nachdenken und Hilfe geht es doch geht es doch

So bezüglich der Skalarmultiplikation sind alle 4 Axiome erfüllt geht aus der Definition in der Aufgabe hervor da jede Komponente mit k multipliziert wird und man das somit wieder auf die reellen Zahlen zurückführen kann.

somit ist R² ein Vektorraum bezüglich der Addition und Skalarmultiplikation.

richtig ?

24.10.2008, 01:59

WebFritzi

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RE: Re

Zitat:

Original von simon.g
inverse Element: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-a -2 \\ -b-2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} -\begin{pmatrix}a +2 \\ b+2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das gleiche?

Ja, und zwar infolge der Definition der Skalarmultiplikation aus dem ersten Beitrag.

24.10.2008, 07:21

tmo

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Zitat:

Original von simon.g
somit ist R² ein Vektorraum bezüglich der Addition und Skalarmultiplikation.

richtig ?

Du hast ein Axiom vergessen. Nämlich das Distributivgesetz.

24.10.2008, 09:43

simon.g

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so wenn ich das richtig interpretiere gibt es bei den Axiomen für die Skalarmultiplikation einen Widerspruch

a und b Elemente der Menge

$\begin{eqnarray*} k*(a+b) \neq k*a+k*b \end{eqnarray*}$ somit ist es kein Vektorraum

ist es das was du gemeint hast ?

Ergänze den Beitrag später noch muss weg.

24.10.2008, 11:55

Simon.g

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edit

Zitat:

so wenn ich das richtig interpretiere gibt es bei den Axiomen für die Skalarmultiplikation einen Widerspruch

a und b Elemente der Menge

$\begin{eqnarray*} k*(a+b) \neq k*a+k*b \end{eqnarray*}$ somit ist es kein Vektorraum

ist es das was du gemeint hast ?

Ergänze den Beitrag später noch muss weg.

$\begin{eqnarray*} k*(a+b) \neq k*a+k*b \end{eqnarray*}$ sieht so aus

$\begin{eqnarray*} k*\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{pmatrix}= k* \begin{pmatrix} a +& c + & 1 \\ b + & d + & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} k*(a+c+1) \\ k*(b+d+1) \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} ka+kc+1\\ kb+kd+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} ka \\ kb \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}kc \\kd \end{pmatrix} \end{pmatrix}=k*\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}+ k* \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit hätte ich doch gezeigt, dass dieses Axiom nicht gilt und es kein Vektorraum ist ?

24.10.2008, 12:43

tmo

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Das ist korrekt.

Einfacher wäre es durch ein simples Gegenbeispiel gewesen:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot \binom{-1}{-1} + 1 \cdot \binom{-1}{-1} = \binom{-1}{-1} \neq \binom{-2}{-2} = 2 \cdot \binom{-1}{-1} \end{eqnarray*}$

24.10.2008, 13:40

simon.g

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Erstmal Danke Gott

Gott

wollte zeigen, dass ich auch ohne Zahlen zum Ziel komme wie man es macht es ist halt nie richtig, so dass alle zufrieden sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2008, 13:48

tmo

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Zitat:

Original von simon.g
wollte zeigen, dass ich auch ohne Zahlen zum Ziel komme

Gerade bei Gegenbeispielen, ist es aber ratsam sich einfach mal ein einziges Beispiel zu überlegen. Oft hilft da irgendwie die 0. Hier ja auch.

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