Integrationsaufgabe V

01.08.2006, 01:31

Marleen

Integrationsaufgabe V

Ich habe dieses Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(9+x^2)^2}~dx \end{eqnarray*}$

Ich dachte mir, dass das mit einer trigonometrischen Substitution zu lösen wäre:

$\begin{eqnarray*} c^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (9+x^2)^2=9+x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9+x^2=\sqrt{9+x^2} \end{eqnarray*}$

Damit ist dann die Hypotenuse $\begin{eqnarray*} \sqrt{9+x^2} \end{eqnarray*}$ und die Katheten sind 3 und x.

$\begin{eqnarray*} \sin(a)=\frac{x}{\sqrt{9+x^2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos(a) =\frac{3}{\sqrt{9+x^2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan(a) =\frac{x}{3} \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz schon mal richtig? Ich habe die Aufgabe schon tausendmal auf verschiedene Weise durchgerechnet und wollte frage ob mein Ansatz richtig ist?

Lösung soll $\begin{eqnarray*} \frac{1}{54} (\arctan(x/3)+\frac{3x}{9+x^2}) + C \end{eqnarray*}$ sein

01.08.2006, 01:43

mercany

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Hi.

Substituiere $\begin{eqnarray*} x = 3\tan \theta \end{eqnarray*}$ und nutze die Identität $\begin{eqnarray*} 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} dx=a\sec^2(\theta)\,d\theta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \theta = \arctan \frac{x}{3} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

01.08.2006, 02:37

JochenX

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RE: Integrationsaufgabe V

Zitat:

Original von Marleen
$\begin{eqnarray*} (9+x^2)^2=9+x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9+x^2=\sqrt{9+x^2} \end{eqnarray*}$

Diese beiden Aussagen sind auf jeden Fall schlichtweg falsch......

01.08.2006, 02:48

Ben Sisko

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RE: Integrationsaufgabe V

Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von Marleen
$\begin{eqnarray*} (9+x^2)^2=9+x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9+x^2=\sqrt{9+x^2} \end{eqnarray*}$

Diese beiden Aussagen sind auf jeden Fall schlichtweg falsch......

Falsch ist ein hartes Wort. Es gibt bloss keine reellen x, die diese Gleichung erfüllen Augenzwinkern

01.08.2006, 08:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von mercany
Substituiere $\begin{eqnarray*} x = 3\tan \theta \end{eqnarray*}$ und nutze die Identität $\begin{eqnarray*} 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \end{eqnarray*}$ .

Also einen Vorteil, über sec² zu gehen, sehe ich nicht.
Aus der Substitution $\begin{eqnarray*} x = 3\tan \theta \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{d \theta} = 3 \cdot (1 + \tan^2 \theta) \end{eqnarray*}$
Jetzt nach dx umstellen und alles einsetzen, dann kommt man auf ein relativ simples Integral. Augenzwinkern

01.08.2006, 14:48

mercany

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von mercany
Substituiere $\begin{eqnarray*} x = 3\tan \theta \end{eqnarray*}$ und nutze die Identität $\begin{eqnarray*} 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \end{eqnarray*}$ .

Jaja, die Zeit. smile

So ist es natürlich schlicht weg einfacher, klarsoweit.

Gruß, mercany

01.08.2006, 15:25

Marleen

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Ich hab's gelöst bekommen smile

Ich musste mir zum Schluss nochmal das Dreieck aufzeichnen für sin(x) und cos(x). Und es ist in der Tat $\begin{eqnarray*} \sqrt{9+x^2}=9+x^2 \end{eqnarray*}$ Falsch ist es nicht, nur dumm mit zu rechnen. x = a*tan(x) war der Tipp, Danke smile

01.08.2006, 15:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Marleen
Ich musste mir zum Schluss nochmal das Dreieck aufzeichnen für sin(x) und cos(x). Und es ist in der Tat $\begin{eqnarray*} \sqrt{9+x^2}=9+x^2 \end{eqnarray*}$

Vielleicht verrätst du uns doch noch, wie du was mit dieser Gleichung rechnen willst? verwirrt

Wie Ben Sisko schon sagte, gibt es kein reelles x, das diese Gleichung erfüllt. Von daher macht sie einfach keinen Sinn.

01.08.2006, 23:13

Marleen

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Ich will damit gar nichts berechnen smile

Ich übe für die Mathe-Klausur. Die Aufgaben, die ich berechne, stehen alle auf ausgeteilten Zetteln und sollen für die Mathe-Klausur vorbereiten. BTW ich studiere Nautik.

02.08.2006, 10:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Marleen
Ich will damit gar nichts berechnen smile

OK. Dann formuliere ich es anders.
Du schreibst die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{9+x^2}=9+x^2 \end{eqnarray*}$ hin. Das machst du sicherlich mit einer bestimmten Absicht. Und genau diese Absicht interessiert mich. Ebenso hättest du die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 = -1 \end{eqnarray*}$ hinschreiben können. Dummerweise haben beide Gleichungen keine reellen Lösungen. Welchen Sinn sollte es also für die Lösung eines Integrals haben, dies hinzuschreiben?

02.08.2006, 16:32

Marleen

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Bevor ich eine trigonometrische Substitution aufstelle, male ich mir ein rechtwinkliges Dreieck auf. An die Hypotenuse und an die Katheten schreibe ich a, b oder c (von c²=a²+b²). Das wollte ich eigentlich mit der Gleichung.
Die Gleichung habe ich zum Schluss der Rechnung wieder gebraucht um sin(a) und cos(a) zu substituieren.

02.08.2006, 19:01

klarsoweit

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RE: Integrationsaufgabe V
OK. Wenn du geschrieben hättest
$\begin{eqnarray*} c^2=9+x^2 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} c=\sqrt{9+x^2} \end{eqnarray*}$
dann wäre ich damit einverstanden. So, wie du es geschrieben hast, geht es jedoch nicht. Du bist auch mit keinem Wort darauf eingegangen, daß es kein reelles x gibt, für das deine Gleichung gilt. Und das sollte ja wohl der Fall sein. Da kommt auch kein Pythagoras dran vorbei.

02.08.2006, 20:16

Marleen

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Zitat:

Du bist auch mit keinem Wort darauf eingegangen, daß es kein reelles x gibt, für das deine Gleichung gilt

Ja, lass ruhig den Ober-Max heraushängen. Gott

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