Mengensystem

24.10.2008, 13:24

NeedNoNick

Mengensystem

Ich interpretier folgendes falsch, kann mir jemand vielleicht
mit einem Zahlenbeispiel sagen wie das wirklich gemeint ist?

Mengensystemdefinition:

Sei F ein System von Mengen
Vereinigung der Mengen die zu F gehören ist:
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{M \in F} M := \{ x | x \in M \end{eqnarray*}$ für mindestens ein M in F}
Durchschnitt der Mengen die zu F gehören:
$\begin{eqnarray*} \bigcap_{M \in F} M := \{ x | x \in M \end{eqnarray*}$ für alle M in F}
Sei $\begin{eqnarray*} M_a \end{eqnarray*}$ eine Indexmenge: $\begin{eqnarray*} F := \{M_a | a \in A\} = \{ M_a \}_{a \in A} \end{eqnarray*}$

Das Beispiel:

Die Mengenfamilie $\begin{eqnarray*} M_r := \{ z \in \mathbb C \> : \> |z|=r, r \in [0,\infty) \} \end{eqnarray*}$ bildet ein disjunktes System von Mengen.

Es gilt $\begin{eqnarray*} M_r \cap M_r \end{eqnarray*}$ ' für $\begin{eqnarray*} r \neq r \end{eqnarray*}$ ' und $\begin{eqnarray*} \bigcup_{r\in[0,\infty)} M_r = \mathbb C \end{eqnarray*}$

Meine falsche(?) Interpretation:

$\begin{eqnarray*} |z| = r \\ z = 2 + 3i \\ |z| = \sqrt{2²+(-3)²} = \sqrt{13} \\ r = \sqrt{13} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{ 2 + 3i \}_{\sqrt{13}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{ 3 + 3i \}_{\sqrt{18}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{ 4 + 3i \}_{\sqrt{27}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{ 4 + 4i \}_{\sqrt{32}} \end{eqnarray*}$
...

Die Fragen: Warum sollte nun die Indexstelle
die Wurzel einer Zahl sein statt einer natürlichen Zahl?
Und dann hätte jede Menge ja nur eine Zahl?
Und um was gehts überhaupt in diesem Beispiel?

Würde mich sehr auf eine Antwort freuen!!

24.10.2008, 13:39

papahuhn

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Ich versteh die Frage nicht. Setz doch für r eine natürliche Zahl ein, wenn du willst.

24.10.2008, 13:47

Jacques

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RE: Mengensystem
Hallo,

Zitat:

Original von NeedNoNick

Sei $\begin{eqnarray*} M_a \end{eqnarray*}$ eine Indexmenge: $\begin{eqnarray*} F := \{M_a | a \in A\} = \{ M_a \}_{a \in A} \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl eher: Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Indexmenge...

Die Mengen $\begin{eqnarray*} M_a \end{eqnarray*}$ sind Elemente des Mengensystems. Zum Indizieren dieser Mengen benutzt man eine Indexmenge A.

Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} M_r := \{ z \in \mathbb{C}\,|\, |z|=r \} \qquad r \in [0; +\infty[ \end{eqnarray*}$

Man hat also die Indexmenge $\begin{eqnarray*} [0; +\infty[ \end{eqnarray*}$ und definiert eine Menge des Systems folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} M_r \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller komplexen Zahlen z, für die gilt |z| = r.

Also:

$\begin{eqnarray*} M_0 = \{ z \in \mathbb{C}\,|\, |z| = 0 \} \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} M_{\sqrt{2}} = \{ z \in \mathbb{C} \,|\, |z| = \sqrt{2} \} \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} M_{19} = \{ z \in \mathbb{C}\,|\, |z| = 19 \} \end{eqnarray*}$

u. s. w.

Zitat:

Original von NeedNoNick

Die Fragen: Warum sollte nun die Indexstelle
die Wurzel einer Zahl sein statt einer natürlichen Zahl?

Die Indexmenge ist $\begin{eqnarray*} [0; + \infty[ \end{eqnarray*}$

Also treten alle nichtnegativen reellen Zahlen als Index auf: Natürliche Zahlen, (irrationale) Wurzeln u. s. w.

Zitat:

Original von NeedNoNick

Und um was gehts überhaupt in diesem Beispiel?

Darum, Dir die Definition an einem Beispiel zu verdeutlichen. Augenzwinkern

24.10.2008, 14:29

NeedNoNick

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@ papahuhn
Naja die Frage war der Sinn nach dem Beispiel

@ Jacques
Danke! ... naja das hab ich jetzt zum ersten mal gesehen,
eine Wurzel als Indexmenge... strange strange smile

Wird den das irgendwo in der Mathematik benötigt?
Also Nachkommazahlen als Index?

24.10.2008, 14:43

Jacques

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Zitat:

Original von NeedNoNick

eine Wurzel als Indexmenge... strange strange smile

Als Index, nicht als Indexmenge. Augenzwinkern

Zitat:

Original von NeedNoNick

Wird den das irgendwo in der Mathematik benötigt?
Also Nachkommazahlen als Index?

Ein praktisches Beispiel weiß ich nicht, aber man kann sich viele Beispiele konstruieren, bei denen eine abzählbare Indexmenge (wie N) nicht mehr ausreicht.

Z. B. wenn man alle Mengen betragsgleichen reellen Zahlen zu einem System zusammenfassen möchte:

$\begin{eqnarray*} M_i = \{i, -i \} \end{eqnarray*}$

Hier bräuchte man als Indexmenge eben auch wieder $\begin{eqnarray*} [0; \infty[ \end{eqnarray*}$ , denn als Betrag tritt ja jede nichtnegative reelle Zahl.

Übrigens:

Was wäre denn

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in [0; \infty[}\!\! M_i \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

24.10.2008, 15:15

NeedNoNick

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Stimt ja, ok jetzt seh ich den Sinn von den Mengensystemen smile

,
also kann man die gut für Kartesische Koordinaten nehmen

"Was wäre denn" ... Naja ich würde sagen:
$\begin{eqnarray*} F := \{ \{0.0, -0.0\} , \{0.1, -0.1\}, \{0.01, -0.01\}, ... , \{\infty - 1, -(\infty -1)\} \} \end{eqnarray*}$
oder?

24.10.2008, 15:29

Jacques

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Zitat:

Original von NeedNoNick

"Was wäre denn" ... Naja ich würde sagen:
$\begin{eqnarray*} F := \{ \{0.0, -0.0\} , \{0.1, -0.1\}, \{0.01, -0.01\}, ... , \{\infty - 1, -(\infty -1)\} \} \end{eqnarray*}$
oder?

Also die Schreibweise ist sicher nicht korrekt. Zum einen wegen des $\begin{eqnarray*} \infty - 1 \end{eqnarray*}$ (was soll das bedeuten?)

Und zum zweiten würde man das Mengensystem wohl fälschlicherweise so interpretieren:

$\begin{eqnarray*} F = \{ \{0 \} \cup \{\tfrac{1}{10^k}, - \tfrac{1}{10^k} \,| \, k \in \mathbb{N}^{\ast} \} \} \end{eqnarray*}$

Denke daran, dass man höchstens abzählbare Mengen in der „Folgenschreibweise“ {a, b, c, ...} angeben kann!

Es ist

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in [0; \infty[}\!\! M_i = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

24.10.2008, 15:50

NeedNoNick

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Hm stimt... Ok danke ... Naja mit unendlich minus 1 meinte ich die Zahl vor unendlich smile

24.10.2008, 15:57

Jacques

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Zitat:

Original von NeedNoNick

Naja mit unendlich minus 1 meinte ich die Zahl vor unendlich smile

Es gibt keine solche Zahl.

$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist schon keine reelle Zahl -- und selbst wenn sie es wäre: In der Menge der reellen Zahl gibt es keine „Vorgänger“ wie bei N. Das heißt es existiert keine Zahl, welche „direkt“ vor einer reellen Zahl liegt.

Denke daran: In R sind die Zahlen nicht mehr wie in einem Raster angeordnet, in dem man Vorgänger und Nachfolger durch -1 bzw. +1 ansteuern kann.

Und das Symbol $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ stellt keine Zahl dar.

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