Beweis von Ungleichungen, die von 3 Parametern abhängen

01.08.2006, 16:44

Peter 9090

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Beweis von Ungleichungen, die von 3 Parametern abhängen

Hallo,

ich möchte mehrere Ungleichungen beweisen, die jeweils von den 3 Parametern a, b und c abhängen. Ein Beispiel für eine solche UG ist:

$\begin{eqnarray*} 12a^{4}+(28b^{2}c^{2}+20b^{2}c)a^{2}+(4b^{3}+2b^{3}c)a-(12b+32bc)a^{3}-a^{2}b^{2}-(8b^{3}c^{3}+8b^{3}c^{2})a-b^{4}-2b^{4}c-2b^{4}c^{2}>0 \end{eqnarray*}$

Dabei gilt:
a>0
und für b und c jeweils:
b,c>0
b,c>0 und b,c<=min{a;0,5}

Ich komme dabei nicht weiter, da alle Methoden, die mir bis jetzt eingefallen sind nicht zum Ziel führen:
- Einfaches Umstellen zu Teilthermen, die jeweils auf den ersten Blick als positiv zu erkennen sind ist nicht möglich
-Über Monotonie kann nicht argumentiert werden, da weder a noch b und c im relevanten Bereich monoton fallen oder steigen.
-Die Ermittlung von Nullstellen ist zu komplex

Fällt jemandem hier noch ein anderer Weg ein??

Vielen Dank für Eure Hilfe
Gruß Peter

01.08.2006, 17:15

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Solche Ungleichungen fallen ja selten vom Himmel, also kannst du genauer sagen, wieso du sowas nachweisen musst, d.h., woher diese Strukturen kommen?

Es kann nämlich sein, dass du da irgendwas ausmultipliziert hast und man in der ursprünglichen Struktur wesentlich besser erkennt, warum diese Ungleichung gelten soll - wenn sie denn überhaupt gilt (bin mir da noch nicht so sicher).

01.08.2006, 17:18

Abakus

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RE: Beweis von Ungleichungen, die von 3 Parametern abhängen

Zitat:

Original von Peter 9090
Hallo,

ich möchte mehrere Ungleichungen beweisen, die jeweils von den 3 Parametern a, b und c abhängen. Ein Beispiel für eine solche UG ist:

$\begin{eqnarray*} 12a^{4}+(28b^{2}c^{2}+20b^{2}c)a^{2}+(4b^{3}+2b^{3}c)a-(12b+32bc)a^{3}-a^{2}b^{2}-(8b^{3}c^{3}+8b^{3}c^{2})a-b^{4}-2b^{4}c-2b^{4}c^{2}>0 \end{eqnarray*}$

Dabei gilt:
a>0
und für b und c jeweils:
b,c>0
b,c>0 und b,c<=min{a;0,5}

a = b = c = 0.5 ist eine zulässige Belegung, die linke Seite wird mit -0.03125 aber negativ.

Grüße Abakus smile

smile

PS: Hab ich mich verrechnet ?

01.08.2006, 17:23

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RE: Beweis von Ungleichungen, die von 3 Parametern abhängen

Zitat:

Original von Abakus
a = b = c = 0.5 ist eine zulässige Belegung, die linke Seite wird mit -0.03125 aber negativ.

Grüße Abakus smile

smile

PS: Hab ich mich verrechnet ?

Nö.

smile

Da waren also meine im letzten Satz angemeldeten Zweifel berechtigt.

01.08.2006, 17:31

Peter 9090

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Ich bin gerade dabei, ein mathematisches (wirtschaftswissenschaftliches) Modell zu lösen. Die verschiedenen Ergebnisse beinhalten teilweise Faktoren, um die es eigentlich geht. Frage ist dabei, ob diese z.B. >0 oder >1 sind.
Die Ungleichung, die ich hier als Beispiel genommen habe ist z.B. der Nenner eines solchen Faktors (die Faktoren sind immer Brüche).
Das die Ungleichung sehr wahrscheinlich gilt, folgt einerseits aus der Logik des Modells, andererseits habe ich mir das ganze auch graphisch (in 3D) angeschaut.
Insofern glaube ich, dass es leider nicht einfacher (bzw. überhaupt möglich) sein wird, in einem vorhergehenden Schritt der Analyse auf die Lösung dieser Ungleichung zu schließen.

Viele Grüße

Peter

01.08.2006, 17:36

Peter 9090

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Bei dem Stellen der Frage ist mir ein Fehler unterlaufen, sorry!!
Es muss gelten:

a>0
und für b und c jeweils:
b,c>0 und b,c<=min{1/2*a;0,5}

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01.08.2006, 17:39

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Zitat:

Original von Peter 9090
Das die Ungleichung sehr wahrscheinlich gilt, folgt einerseits aus der Logik des Modells

Und warum das? Genau darauf zielte meine Frage ab!

01.08.2006, 17:52

Abakus

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Ich nehme an, dass du da eine Determinante ausgerechnet hast (Gleichungssystem mit Leibnizscher Regel aufgelöst ?). Praktisch wäre es, wenn du diese angeben könntest, dann sehen wir ggf. mehr.

Grüße Abakus smile

smile

01.08.2006, 17:57

Peter 9090

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Re Arthur Dent
Dass ohne weiter auf dass Modell einzugehen wahrscheinlich relativ schwierig zu verstehen. Dass ganze Modell einzubeziehen macht die Sache dagegen unnötig komplex, denke ich.

Aber ich versuche es trotzdem mal in Kurzform:
Das Modell hat eine sogenannte First Best Lösung (FBL) und eine Second Best Lösung (SBL). Wie die Namen schon sagen, muss der Gewinn in der FBL höher ausfallen! Vergleicht man die einzelnen Ergebnisse aus den beiden Lösungen, ist die SBL analog zur FBL, es kommen nur die bereits beschriebenen Faktoren hinzu. Damit die FBL "besser" ist als die SBL, muss die beschriebene UG gelten.

Ich glaube aber wie gesagt nicht, dass das weiterhilft. Die Lösungerhält man durch Optimierung über mehrere Stufen. Ohne den Einsatz von Software kommt man nicht weit. Außerdem ist es für die Interpretation der Ergebnisse wichtig, die Faktoren als solche zu untersuchen.

Viele Grüße
Peter

01.08.2006, 18:10

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Ich glaube, wir reden aneinander vorbei.

01.08.2006, 18:35

Peter 9090

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Zitat Arthur Dent: "Solche Ungleichungen fallen ja selten vom Himmel, also kannst du genauer sagen, wieso du sowas nachweisen musst, d.h., woher diese Strukturen kommen?

Es kann nämlich sein, dass du da irgendwas ausmultipliziert hast und man in der ursprünglichen Struktur wesentlich besser erkennt, warum diese Ungleichung gelten soll - wenn sie denn überhaupt gilt (bin mir da noch nicht so sicher)."

Könntest Du dann eventuell genauer erklären, wie Du das meinst? Was anderes fällt mir dazu sonst nicht ein.

Gruß Peter

01.08.2006, 18:47

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Ok, ein Beispiel:

Nehmen wir mal a,b,c so wie bei dir und betrachten den Term

$\begin{eqnarray*} (a+b-c)^2(a-b-c)(a-2b)+a^2(b-c)^2(1-2c)+a^4 \end{eqnarray*}$

Dann ist an dieser Struktur bei deinen Voraussetzungen ohne weiteres zu erkennen, dass dieser Term immer positiv ist.

Wenn ich ihn aber ausmultipliziere (hab das mal mit MuPad gemacht)

$\begin{eqnarray*} 2a^4 - a^3b - 3a^3c - 2a^2b^2c - 2a^2b^2 + 4a^2bc^2 + 2a^2bc - 2a^2c^3 + 4a^2c^2 + ab^3 + 5ab^2c - 5abc^2 - ac^3 + 2b^4 - 2b^3c - 2b^2c^2 + 2bc^3 \end{eqnarray*}$ ,

dann ist die Positivität nur ungleich schwerer zu erkennen.

Jetzt klar, was ich mit Zerstörung der Struktur meine?

01.08.2006, 19:14

Peter 9090

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Re: Zerstörung der Struktur

Verstanden - aber sollte es eine einfachere Struktur geben, gilt es zunächst einmal, diese zu finden denn sie ergibt sich nicht automatisch aus dem Lösungsweg (s.u.).
Problem dabei ist jedoch, das der gesamte Ausdruck nicht faktorisierbar ist. Mann kann nur ausklammern (ich denke bk ist am sinnvollsten). In meiner Umformung habe ich zudem positive und negative Terme getrennt. Ich denke man sieht schon, dass man (wie schon gesagt) mit einfachem Umstellen und Umformen nicht zum Ergebnis kommt. Ich hab es jedenfalls probiert und bin gescheitert.

Wie gesagt, um die Ergebnisse überhaupt berechnen zu können und aufzulösen, habe ich eine Software zu Hilfe genommen. Anders ist das mit vertretbarem Aufand nicht möglich. Das Ergebnis habe ich dann so umgeformt, dass es sich ökonomisch interpretieren lässt. Dabei ergeben sich die Faktorn. Es macht keinen Sinn, diese mit anderen Bestandteilen des Ergebnisses zusammenzuführen. Eine Auflösung, die den Beweis vereinfachten würde habe ich nicht gefunden.

Viele Grüße

Peter

01.08.2006, 20:26

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Ok, ich multipliziere mal deinen Term mit $\begin{eqnarray*} \frac{32}{a^4} \end{eqnarray*}$ , substituiere dann $\begin{eqnarray*} x=\frac{2b}{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=2c \end{eqnarray*}$ und erhalte dann den Term

$\begin{eqnarray*} 384 - 192x - 8x^2 + 16x^3 - 2x^4 + (-256 + 80x + 4x^2 - 2x^3)xy + (56 - 8x - x^2)x^2y^2 - 4x^3y^3\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt der Nachweis gelingt, dass dieser Term für $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0<y\leq 1 \end{eqnarray*}$ echt positiv ist, sind wir fertig. Und das klappt tatsächlich:

Wegen $\begin{eqnarray*} y\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (56 - 8x - x^2)x^2y^2 - 4x^3y^3 \geq (56 - 8x - x^2)x^2y^2 - 4x^3y^2 = (56 - 12x - x^2)x^2y^2 \geq 43x^2y^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Also ist hinreichend für die Positivität von (*) die Positivität von

$\begin{eqnarray*} 384 - 192x - 8x^2 + 16x^3 - 2x^4 + (-256 + 80x + 4x^2 - 2x^3)xy\qquad (**) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} -256 + 80x + 4x^2 - 2x^3 \leq -256+80+4 < 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 1 \end{eqnarray*}$ , also wird (**) minimal für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 384 - 448x + 72x^2 + 20x^3 - 4x^4 = 24+(1-x)(360-88x-16x^2+4x^3) \qquad (***) \end{eqnarray*}$

Und dass letzterer Ausdruch für alle $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 1 \end{eqnarray*}$ positiv ist, sollte zu sehen sein.

---------------------------------

Zugegeben, ist etwas holprig - das wäre vermutlich nicht nötig gewesen, wenn vorhandene Strukturen nicht zerstört worden wären, ich bleibe dabei!

01.08.2006, 21:09

Peter 9090

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Hallo Arthur,

Vielen Dank für Deine Bemühungen und Deine Lösung!!

Wichtig wäre für mich jetzt noch, ob man soetwas wie eine generelle Lösungstechnik eines solchen Aufgabentypes formulieren kann (wie gesagt, es sind mehrere Faktoren zu untersuchen)? Gibt es dazu mehr zu sagen, als das zu versuchen ist, die Zahl der Variablen durch geeignete Division und anschließendes geschicktes Ersetzen zu verringern?

Viele Grüße

Peter

01.08.2006, 21:26

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Du kannst natürlich (im Gegensatz zu mir oben) auf die Tippeltappeltour vorgehen: Minimumsuche in einem vorgegebenen Gebiet, also

1) Suche nach lokalen Minima im Innern des Gebietes
2) Untersuchung des Randes nach Minima

Wobei sich in Punkt 2) die Anzahl der Variaben (bei eventuell nötiger Reparametrisierung) um eins verringert, und dann ist ggfs. eine weitere Untergliederung nötig 2.1, 2.2 - und dann vielleicht 2.2.1, 2.2.2 ...

Besser ist - ich wiederhole es zum vierten (!) Mal - dir noch mal die Ausgangsterme vor der Ausmultiplikation anzusehen. Deine Bemerkung

Zitat:

Original von Peter 9090
Dass die Ungleichung sehr wahrscheinlich gilt, folgt einerseits aus der Logik des Modells

war verräterisch genug: Da ist bestimmt mehr drin! Ich frage mich, warum du das so beharrlich abstreitest.

01.08.2006, 22:01

Peter 9090

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Hallo Arthur,

Nochmal zum Thema vorhandener Strukturen:
Es mag sein, oder ist wohl warscheinlich, dass sich die Zähler und Nenner der Faktoren oder die Faktoren im ganzen so auflösen lassen, dass die Beweisführung vereinfacht wird. Aber da es aufgrund des Lösungsweges über Software keine "Urform" der Ausdrücke gibt, gilt es wie gesagt, diese Struktur erst zu finden - Es gibt insofern keine "Ausgangsterme vor der Ausmultiplikation"!

Algemein betrachtet handelt es sich bei den Faktoren um eine Verknüpfung verschiedener partieller Ableitungen (z.B. Menge nach Preis). Welche Ableitungen in den Faktoren stecken, und wie sie verknüpft sind ist jedoch wahnsinnig kompliziert herauszufinden und würde auf jeden Fall zu weit führen - glaub mir!!!!!!!!! Der allgemeine Ausdruck (über die verknüpften Ableitungen) ist um einiges komplizierter als die "konkrete" Darstellung!!! Ich kann das beweisen, aber das würde den Rahmen hier sprengen. Falls Du also letzteres meintest - das geht leider nicht.

Viele Grüße und nochmals vielen Dank für die Hilfe!
Peter

01.08.2006, 22:07

AD

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Ich glaube dir nicht, aber ich verstehe jetzt, dass deswegen

Zitat:

Original von Peter 9090
aufgrund des Lösungsweges über Software keine "Urform" der Ausdrücke gibt

diese wertvollen Informationen verloren gehen - schade. Es ist also nicht so, dass es nicht geht, sondern dass deine spezielle Art des Lösungsweges dir letztendlich diese Schwierigkeiten beschert.

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