Integrationsaufgabe VI

01.08.2006, 23:37

Marleen

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Integrationsaufgabe VI

Ich habe wieder ein Integral, bei dem ich nicht weiter komme: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(1-x^2)*\sqrt{1+x^2}}~dx \end{eqnarray*}$

Ich dachte mir ich komme mit trigonometrischer Substitution weiter:
$\begin{eqnarray*} x = \tan(b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx=\sec(b)^2 db \end{eqnarray*}$
Dann habe ich alles eingesetzt bis ich auf $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\cos(b) - \tan(b) \sin(b)}~db \end{eqnarray*}$ kam......

02.08.2006, 09:37

klarsoweit

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RE: Integrationsaufgabe VI
Erweitere mit cos(b) und substituiere $\begin{eqnarray*} z=\tan\frac{b}{2} \end{eqnarray*}$ .

Alternativ geht auch am Anfang die Substitution $\begin{eqnarray*} x = 0,5 \cdot (u - \frac{1}{u}) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.08.2006, 20:31

Marleen

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Ok, ich bin dann bis
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{cos(b)}{\cos(b)^2 -\sin(b)^2}~db \end{eqnarray*}$
z=tan(b/2)
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{2(1-z^2)}{1-2z^2+z^4-2z}~dz \end{eqnarray*}$ gekommen unglücklich

unglücklich

Und wie kann man das angehen?

03.08.2006, 08:17

klarsoweit

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Solch ein Integral kann man mit Partialbruchzerlegung angehen.

EDIT: ich komme bei der Substitution auf den Nenner z^4 - 6z² + 1. Wenn man das faktorisiert, kommt man im 1. Schritt auf
$\begin{eqnarray*} z^4 - 6z² + 1 = (z^2 - 3 - \sqrt{8}) \cdot (z^2 - 3 + \sqrt{8}) \end{eqnarray*}$
Und das ist für die Partialbruchzerlegung schon etwas übel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es geht aber auch einfacher:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{cos(b)}{\cos(b)^2 -\sin(b)^2}~db = \int_{}^{}~\frac{cos(b)}{1 - 2 \cdot \sin(b)^2}~db \end{eqnarray*}$

Und jetzt geht die Substitution $\begin{eqnarray*} u = \sqrt{2} \cdot sin(b) \end{eqnarray*}$

03.08.2006, 23:22

Marleen

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Ich habe mich für den einfacherein Weg entschieden:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{\cos(b)}{1-2\sin(b)^2}~db \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{2} \sin(b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} du=\sqrt{2} \cos(b) db \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } \int_{}^{}~\frac{1}{1-2u^2}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{2^3} } \frac{1}{2 \frac{1}{2} } ln( \frac{\frac{1}{ \sqrt{2} } +u }{\frac{1}{\sqrt{2} } -u} +C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}^3} ln(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} +\sqrt{2} \sin{b} }{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \sin{b} }) +C \end{eqnarray*}$

Liegt bis hierher ein Fehler vor? Wenn nicht, werde ich den Rest aufschreiben, Danke! smile

smile

04.08.2006, 08:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Marleen
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } \int_{}^{}~\frac{1}{1-2u^2}~du \end{eqnarray*}$

Hier hast du sin(b) nicht richtig substituiert. Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } \int_{}^{}~\frac{1}{1-u^2}~du \end{eqnarray*}$

Deswegen hatte ich die Wurzel(2) als Streckfaktor in die Substitution eingebaut.
Mit der Zerlegung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-u^2} = \frac{0,5}{1+u} + \frac{0,5}{1-u} \end{eqnarray*}$ ist der Rest eigentlich einfach.

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04.08.2006, 11:13

Marleen

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Ja, jetzt seh ich meinen Fehler.

Von da aus weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{}^{}~\frac{1}{1-u^2}~du \end{eqnarray*}$

Das Grundintegral heißt ja:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{a^2-x^2}~dx = \frac{1}{2a} ln(\frac{a+x}{a-x}) + C \end{eqnarray*}$

Übertragen auf mein Integral:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2^3} } ln(\frac{1+u}{1-u}) + C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2^3} } ln(\frac{1+\sqrt{2} \sin{b} }{1-\sqrt{2} \sin{b} }) + C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2^3} } ln(\frac{1+\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{1+x^2} } }{1-\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{1+x^2} } }) + C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2^3} } ln(\frac{ \sqrt{1+x^2}+\sqrt{2} x }{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{2} x }) + C \end{eqnarray*}$

Heraus kommen soll aber laut Lehrer: $\begin{eqnarray*} \frac{ \sqrt{2} }{4} ln(\frac{2x+\sqrt{2(1+x^2)} }{2x-\sqrt{2(1+x^2)} } +C \end{eqnarray*}$

04.08.2006, 11:15

Marleen

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Ich glaub ich hab's. Ich muss mein Bruch in Logarithmus noch mit Wurzel(2) erweitern, richtig?

04.08.2006, 11:36

Lazarus

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ja, und des grausige $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2^3}} \end{eqnarray*}$ kannst du dann auch gleich umwandeln zu $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray*}$ .

Neunte Klasse: Nenner Rational machen !

04.08.2006, 11:56

therisen

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Zitat:

Original von Lazarus
Neunte Klasse: Nenner Rational machen !

Soweit ich weiß, beruht diese "Konvention" auf früheren, nicht mehr existenten technischen Beschränkungen. Folglich ist es (selbst in der Oberstufe) keine Pflicht mehr, den Nenner rational zu machen - insbesondere nicht bei so einer ekligen Integrationsaufgabe.

Gruß, therisen

04.08.2006, 12:01

Marleen

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Und wenn ich beides (meine Lösung und die vom Lehrer) in meinen graphischen Taschenrechner eintippe, sind das nicht dieselben Graphen, kann mir jemand das erklären? smile

smile

04.08.2006, 12:02

therisen

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Eine Stammfunktion ist nicht eindeutig. Unterscheiden die Graphen sich vielleicht um eine Konstante Augenzwinkern

Augenzwinkern

?

04.08.2006, 12:11

Marleen

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Nein, leider liegt zwischen den Werten keine Konstante.

04.08.2006, 12:19

klarsoweit

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Dann hast du falsch eingetippt. In jedem Fall gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2^3} } ln(\frac{ \sqrt{1+x^2}+\sqrt{2} x }{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{2} x }) = \frac{ \sqrt{2} }{4} ln(\frac{2x+\sqrt{2(1+x^2)} }{2x-\sqrt{2(1+x^2)} } \end{eqnarray*}$

EDIT: ach herrje, die Nenner unterscheiden sich um den Faktor -1. Ich lasse es jetzt aber mal falsch so stehen. Vielleicht hat sich ja der Lehrer vertan. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.08.2006, 12:47

Lazarus

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Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von Lazarus
Neunte Klasse: Nenner Rational machen !

Soweit ich weiß, beruht diese "Konvention" auf früheren, nicht mehr existenten technischen Beschränkungen. Folglich ist es (selbst in der Oberstufe) keine Pflicht mehr, den Nenner rational zu machen - insbesondere nicht bei so einer ekligen Integrationsaufgabe.

Gruß, therisen

Mir persönlich isses egal, aber die Lehrer stehen nunmal drauf.
Und irgendwo siehts, find ich, auch besser aus, ist vermutlich jedoch Gewöhnung.

04.08.2006, 18:43

Marleen

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Ich hab mal versucht die zwei Gleichungen in den Plotter einzugeben, ich glaub euch schon, dass es dasselbe ist smile

smile

Ich muss beim Eintippen irgendwas falsch machen. Meine Gleichung ist anscheinend nur an der X-Stelle 0 definiert. Die Gleichung des Lehrers ist nicht zwischen -1 und 1 definiert, so spuckt es beim Taschenrechner aus. Der Plotter kann anscheinend schlecht feine Graphen zeichnen. unglücklich

unglücklich

,

04.08.2006, 18:53

JochenX

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,
entspricht das eher deinen Wünschen?
Aus irgendwelchen Ganzzahlumwandelgründen solltest du Brüche der Form 1./2. schreiben statt 1/2.

Das ist mal dein erster Plot, den Rest habe ich gelassen, wie du es hattest.
Bei dir wars ja je dauerhaft die Nullfunktion.

04.08.2006, 20:05

Marleen

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,

ok jetzt habe ich richtig geplotet, nur wo ist der Fehler verwirrt

verwirrt

?

04.08.2006, 23:37

Ben Sisko

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OK, erstmal schauen, ob du auch das geplottet hast, was du wolltest.

Das erste ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}\cdot \log \left(\frac{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{2}}\cdot x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2}}\cdot x}\right) \end{eqnarray*}$

Das zweite:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{\frac{1}{2}}}{4} \cdot \log \left( \frac{ 2x + (2(1+x^2))^{\frac{1}{2}}}{2x-(2(1+x^2))^{\frac{1}{2}}}\right) \end{eqnarray*}$

Sollte es das sein?

Edit: Wenn man das erste mit dem Zweiten vergleicht, so ist der Bruch im log mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ erweitert, das ist soweit ok. Dann ist in den Nenner ein Faktor (-1) reingerutscht, dadurch unterscheiden sich die beiden schonmal. Aber selbst wenn man den hinzufügt, sieht das Ganze noch unterschiedlich aus:
,

Ich seh auch nicht so recht, warum das zweite so geplottet wird, z.B. nicht durch den Nullpunkt geht verwirrt

verwirrt

Edit 2: Plot oben korrigiert, es unterschied sich doch nur um den Faktor -1 ich hab vergessen, eine Klammer darum zu machen.

05.08.2006, 11:05

Marleen

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//gelöscht

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