Kurvendiskussion

24.10.2008, 17:51

SuseH.

Kurvendiskussion

Hi.
Ich hab folgende Aufgabe bekommen und blicke nicht durch:

$\begin{eqnarray*} f_{a}(x)=-e^{2ax}+4e^{ax}+5 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x \in \mathbb R , a\in \mathbb R , a>0) \end{eqnarray*}$
Weise rechnerisch nach, dass die Funktion genau eine Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x_{0}=\frac{\ln 5}{a} \end{eqnarray*}$ besitzt.
Der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{a} \end{eqnarray*}$ besitzt genau einen Extrem- und genau einen Wendepunkt.
Ermitteledie Koordinaten des lokalen Extrempunktes und weise seine Art nach.
Begründe, dass für jedes a der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{a} \end{eqnarray*}$ den gleichen Wendepunkt hat.

Als Nullstelle bekomme ich aber nur $\begin{eqnarray*} x_{0}=\frac{\ln 5}{2a} \end{eqnarray*}$ raus.
Als Ableitungen hab ich:
$\begin{eqnarray*} f'_{a}(x)=-2ae^{2ax}+4ae^{ax} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''_{a}(x)=-4a^{2}e^{2ax}+4a^{2}e^{ax} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''_{a}(x)=-8a^{3}e^{2ax}+4a^{3}e^{ax} \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun die 1. und die 2. Ableitung 0 setzte komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} f'_{a}(x): 0=-4a^{2}x+4a^{2}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''_{a}(x): 0=-8a^{3}x+8a^{3}x \end{eqnarray*}$
Diese würden ja für jedes beliebige x gelten, was nicht sein kann.

Könnte mir mal bitt jemand sagen, ob die Nullstelle doch richtig ist und ob die Ableitungen und Nullsetzungen richtig sind?

24.10.2008, 17:58

Rare676

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Zitat:

Original von SuseH.
Hi.
Ich hab folgende Aufgabe bekommen und blicke nicht durch:

Wenn ich nun die 1. und die 2. Ableitung 0 setzte komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} f'_{a}(x): 0=-4a^{2}x+4a^{2}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''_{a}(x): 0=-8a^{3}x+8a^{3}x \end{eqnarray*}$
Diese würden ja für jedes beliebige x gelten, was nicht sein kann.

Könnte mir mal bitt jemand sagen, ob die Nullstelle doch richtig ist und ob die Ableitungen und Nullsetzungen richtig sind?

was da unten steht stimmt nicht, weil du nicht richtig hinguckst. du schreibst da vieles durcheinander. Der Schlüssel zu dieser Aufgabe liegt in jedem Fall in der Substitution von $\begin{eqnarray*} u=e^{ax} \end{eqnarray*}$ .

Setzt doch einfach mal die Nullstellen ein - dann weißt du ob es stimmt...

24.10.2008, 18:54

SuseH.

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Mit der Substitution komme ich auch nicht weiter.
Weil ich einmal $\begin{eqnarray*} e^{2ax} \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} e^{ax} \end{eqnarray*}$ habe. Wenn ich jetzt substituiere $\begin{eqnarray*} u=e^{2ax} und v=e^{ax} \end{eqnarray*}$ , ergibt es für f':
$\begin{eqnarray*} 0=-2av+4au \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=2u \end{eqnarray*}$
Rücksubstitution
$\begin{eqnarray*} e^{2ax}=2e^{ax} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ln {e^{2ax}}=2\ln{e^{ax}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2ax=2ax \end{eqnarray*}$

bringt mir nix, oder wo liegt da mein Fehler?

Ok, die Nullstelle ist falsch, aber wo ist mein Fehler? Hier mal mein Lösungsweg im kleinklein:
$\begin{eqnarray*} 0=-e^{2ax}+4e^{ax}+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5=-e^{2ax}+4e^{ax} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ln{5}=-2ax+4ax \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\ln{5}}{a}=-2x+4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\ln{5}}{a}=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\ln{5}}{2a}=x \end{eqnarray*}$
was mache ich falsch?

24.10.2008, 19:10

Rare676

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Ich glaube, du hörst mir nicht zu. Du sollst u=e^{ax} substituieren. Sonst nichts!

Es ist $\begin{eqnarray*} e^{2ax}=(e^{{ax})^2} \end{eqnarray*}$

24.10.2008, 19:19

Dual Space

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Zitat:

Original von SuseH.
Ok, die Nullstelle ist falsch, aber wo ist mein Fehler? Hier mal mein Lösungsweg im kleinklein:
$\begin{eqnarray*} 0=-e^{2ax}+4e^{ax}+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5=-e^{2ax}+4e^{ax} \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite muss -5 stehen. Und logarithmieren darfst du nicht summandenweise.

24.10.2008, 22:21

SuseH.

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Argh, ich hab das Potenzgesetz ganz vergessen... tschuldigung... jetzt wirds auch ganz einfach.
$\begin{eqnarray*} u_{1}=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_{2}=0 \end{eqnarray*}$ , wobei 0 als Lösung entfällt da $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ nie 0 ist. Der Punkt ist dann E( $\begin{eqnarray*} \frac{\ln 2}{a} \end{eqnarray*}$ ; 9). Das ist ein Maximum, da $\begin{eqnarray*} f''_{a}(\frac{\ln2}{a})=-8a^{2} \end{eqnarray*}$ .
Der Wendepunkt ist W(0;8) und daher unabhänig von a.

Die Nullstelle hab ich jetzt auch richtig raus.

Danke für eure Hilfe! Blumen

Ich hatte echt 'n Brett vorm Kopf.

mfg

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