Ungleichung bestimmen

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MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung bestimmen
Ich muss in nichtmal einer Woche eine Nachprüfung schreiben um in die 10. Klasse zu kommen und dafür muss ich unter anderem auch alles über Intervalle wissen.Habe darüber auch viele Sachen gefunden,aber wenn ich dann zu den Aufgaben komme verstehe ich nix mehr.Köntet ihr mir da bitte versuchen weiterzuhelfen?

mfg,
MasterXXL
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

*verschoben*

Hast du auch schon mal hier geschaut: http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_%28Mathematik%29?
 
 
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Ja,da hab ich auch schon geguckt,bei den Schreibweisen wirds schon etwas komplizierter.Und wenn dann Aufgaben kommen wie

Bestimme die Lösungsmenge

( 3x + 5 )( x - 5 )

oder

2z² -10z + 12 < 0

oder

Zeichne jeweils den Graphen. Markiere die x-Werte, deren Funktionswerte < 0 (>=0) sind.Gib jeweils die Ungleichungen an, welche diese x-Werte als Lösungen hat

y = 2x² - 3x - 14

weiss ich gar nciht mehr was die von mir wollen.Hab auch schon viele Leute gefragt die ich kenne,aber die sagen alle dass sie sowas noch nie gemacht hätten
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir denn keiner helfen?Ist wirklich dringend
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

ja rechne doch mal, soweit du kommst...dann könen wir helfen...

(3x+5)*(x-5) was sollst du damit machen?zusammenfassen?
oder gleich null setzen?

welchen graphen zeichnen?
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Ups,hab da was vergessen.es sollte heissen

( 3x + 5 ) * ( x - 5 ) >= 0

Ich glaube anfangen müsste man so

3x² - 15x + 5x - 25 >= 0

3x² - 10x - 25 >= 0

3x² - 10x >= 25

ab hier werde ich mir dann schon unsicherer

3x² - 10x + 25 >= 25 + 25

3x² - 10x + 25 >= 50

und weiter weiss ich dann nicht mehr.Ich hoffe das ich bis dahin alles richtig gemacht habe

Mit Graphen wird gemeint sein,dass man die Parabel zeichnen und dann da noch etwas einzeichnen soll.Ich habe hier mal ein Beispiel eingescannt und hochgeladen.Um den wichtigen Teil habe ich ein rotes Kästchen gemacht

http://img186.imageshack.us/img186/4337/intervallebd9.jpg

Auch wie man das genau einzeichnen soll weiss ich leider nicht
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterXXL
Ups,hab da was vergessen.es sollte heissen

( 3x + 5 ) * ( x - 5 ) >= 0

Ich glaube anfangen müsste man so

3x² - 15x + 5x - 25 >= 0

3x² - 10x - 25 >= 0

3x² - 10x >= 25

ab hier werde ich mir dann schon unsicherer

3x² - 10x + 25 >= 25 + 25

3x² - 10x + 25 >= 50


Von dem letzen Schritt würde ich mal abraten, den musst du gar nicht machen.




Und jetzt ist es doch gar nicht mehr so schwer. Du suchst dir die Nullstellen heraus, dann hast du schonmal dein "=0". Die Menge der x, die die Gleichung >0 machen, kannst du dann ebenfalls direkt bestimmen. Stichwort ist hier PQ-Formel.



Gruß, mercany
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterXXL
Ups,hab da was vergessen.es sollte heissen

( 3x + 5 ) * ( x - 5 ) >= 0

Ich würde mir die ganze weitere Rechnung schenken. Die grundsätzliche Idee ist, einen quadratischen Term zu faktorisieren, also in die Form
"Klammer mit Ausdruck in x mal Klammer mit Ausdruck in x"
zu bringen. Und das ist hier ja schon der Fall.

Für den nächsten Schritt macht man folgende Überlegung:
Wenn das Produkt von 2 Zahlen >=0 sein soll, dann müssen beide Zahlen >=0 sein oder beide Zahlen <=0 sein.
Entsprechend kannst du obige Ungleichung in diese 2 Fälle aufbröseln.
MasterXL Auf diesen Beitrag antworten »

Und was muss ich machen wenn ich x1 und x2 habe?

ich habe dann x1=5 und x2= - 5 / 3

Zitat:
Entsprechend kannst du obige Ungleichung in diese 2 Fälle aufbröseln.


Den Teil verstehe ich leider nicht,könntest du mir das bitte genauer erklären?
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Also bis zu x1 und x2 bin ich jetzt ja schon gekommen,jetzt muss ich nur noch wissen wie ich das mit der Lösungsmenge machen soll
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Du hast jetzt die Nullstellen der einzelnen Faktoren. Da es aber um eine Ungleichung geht, ist das nur die halbe Miete. Wir hatten:
( 3x + 5 ) * ( x - 5 ) >= 0
Daraus machen wir jetzt 2 Fälle:
1. Fall: 3x+5 >= 0 und x - 5 >=0
2. Fall: 3x+5 <= 0 und x - 5 <=0

Aus dem 1. Fall folgt:
x >= -5/3 und x >= 5 Das kann nur erfüllt werden, wenn x >= 5 ist.

Analog kannst du den 2. Fall behandeln. Aus beiden Fällen kannst du dann die Lösungsmenge zusammenstöpseln.
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Das ging mir jetz etwas zu schnell.Warum 2 Fälle?Und das mit der Folgerungen hab ich auch nciht wirklich verstanden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also gaaaanz langsam. Du hast 2 Zahlen a und b und für die gilt:
a * b >= 0
Wenn man das formal ganz genau betrachtet, gibt es 4 Möglichkeiten:
1. a = 0
2. b = 0
3. beide Zahlen sind > 0
4. beide Zahlen sind < 0.

In diesem Fall haben wir es nicht mit a oder b zu tun, sondern mit 2 Klammerausdrücken. Wenn man den obigen Sachverhalt auf die 2 Klammern überträgt, haben wir also folgende 4 Fälle:

1. Fall: 3x+5 = 0 (hattest du schon gelöst)
2. Fall: x - 5 = 0 (hattest du schon gelöst)
3. Fall: 3x+5 > 0 und x - 5 > 0
4. Fall: 3x+5 < 0 und x - 5 < 0

Jetzt formen wir die beiden Ungleichungen im 3. Fall um. Das ergibt:
3. Fall (fortgesetzt): x > -5/3 und x > 5
Das heißt, in diesem Fall werden x-Werte gesucht, die sowohl > -5/3 als auch > 5 sind. Offensichtlich kann das nur von x-Werten erfüllt werden, für die x > 5 gilt.
Damit lautet das Ergebnis des 3. Falls: x > 5
Wenn man das noch mit dem Ergebnis des 2. Falls zusammenzieht, hat man aus diesen beiden Fällen das Ergebnis x >= 5

Alles klar? Dann mach dich mal an den 4. Fall. Augenzwinkern
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube jetzt bin ich schonmal ein groooooßes Stück weiter.Falls ich noch weitere Fragen haben sollte werde ich mich nochmal melden.Wink

Und Danke für eure super Hilfe!
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mal das Thema geändert.

Intervalle trifft das eigentliche Problem ja eher nicht.



Gruß, mercany
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten das in unserem Regelheft so aufgeschrieben,aber im Mathebuch steht es auch bei Ungleichungen.Danke auch fürs umbennen
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir das heute nochmal erklären lassen und dachte jetz hätte ich es komplett verstanden,doch jetz habe ich mich wieder drangesetzt und wollte ne aufgabe machen und schon wieder habe ich etwas nicht verstanden.

Wenn ich jetz zb beim 4.Fall habe

3x+5 < 0 und x - 5 < 0

Kann ich dann erstmal beim ersten term durch 3 teilen?
Und jetz meine hauptsächliche Frage,woher weiss ich jetzt was in die Lösungsmenge kommt?
Wenn ich nun z.b. beim ersten term durch die 3 teile erhalte ich

x + 5/3 < 0 und x - 5 < 0

Lautet die Lösungsmenge nun L={x|x< -5/3} oder L={x|x< 5} ?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Das wichtige dabei ist das "und" zwischen den beiden Ungleichungen, d.h. beide Ungleichungen müssen gelten. Aber welche x sind denn <-(5/3) und <5?
brain man Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterXXL
Hab mir das heute nochmal erklären lassen und dachte jetz hätte ich es komplett verstanden,doch jetz habe ich mich wieder drangesetzt und wollte ne aufgabe machen und schon wieder habe ich etwas nicht verstanden.

Wenn ich jetz zb beim 4.Fall habe

3x+5 < 0 und x - 5 < 0

Kann ich dann erstmal beim ersten term durch 3 teilen?
Und jetz meine hauptsächliche Frage,woher weiss ich jetzt was in die Lösungsmenge kommt?
Wenn ich nun z.b. beim ersten term durch die 3 teile erhalte ich

x + 5/3 < 0 und x - 5 < 0

Lautet die Lösungsmenge nun L={x|x< -5/3} oder L={x|x< 5} ?


Zu der Frage über die Lösungesmenge : Wieso soll da gelten, dass x<-5/3 und x<5 ist?

Edit : Gedankenfehler
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso gleichsetzen? Da stehen doch Ungleichungen...
brain man Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Thematik bezüglich der Lösungsmenge hat klarsoweit doch schon ziemlich ausführlich auf der ersten Seite erläutert... smile
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist L={x|x< -5/3} die richtig Lösung,da wenn x kleiner als 5/3 ist,ist x auch kleiner als 5.Liege ich da richtig?
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterXXL
Also ist L={x|x< -5/3} die richtig Lösung,da wenn x kleiner als 5/3 ist,ist x auch kleiner als 5.Liege ich da richtig?


Fast. Du hast völlig Recht mit der Überlegung, dass x, das kleiner als -5/3 ist, auch kleiner als 5 ist und man deshalb für die Lösungsmenge nur das kleiner als 5/3 zu berücksichtigen bräuchte.
Aber soweit ich hier mitgelesen habe, soll das ganze größer oder gleich Null sein, also wäre der Fall 3x+5 =< 0 und x - 5 =< 0 zu untersuchen gewesen. EDIT: Entschuldigung, wie Ben richtig schreibt ist das für die hier gewählte Vorgehensweise so wie dus gemacht hast richtig. Das ist nicht weiter schlimm, da Du deshalb nur x|x<-5/3 zu x|x=<-5/3 abändern musst, aber wenn man es unberücksichtigt lässt, entgeht einem eine Lösung der Ungleichung. Schließlich wäre x=<-5/3 statt x<-5/3 bei der ersten Ungleichung rausgekommen, und ansonsten wäre alles genauso gewesen, wie von Dir bereits gerechnet.
Und jetzt musst Du noch aus dieser Lösungsmenge und der Lösungsmenge für den ersten Fall alle x bestimmen, die Lösung der ursprünglichen Aufgabe sind.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Ne das strikte < war schon richtig. Es entsprach der Zerlegung in 4 Fälle, die klarsoweit hier gemacht hat.

Man hätte es auch mit nur 2 Fällen machen können (beide oder beide ), aber so wie der Weg hier eingeschlagen wurde, war < richtig.

Gruß vom Ben
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Ne das strikte < war schon richtig. Es entsprach der Zerlegung in 4 Fälle, die klarsoweit hier gemacht hat.


Oh, sorry, hatte ich übersehen. Trotzdem würde ich in einer Prüfung mit Zeitdruck arbeitsersparnismäßig die Zerlegung in zwei Fälle empfehlen, von daher lass ich's mal stehen.
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde es danna uch mal bei <= und >= in 2.Fällen ausprobieren
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Och Leute,jedes mal wenn ich denke ich verstehe etwas und mache mich dann mal an paar Aufgaben ran fängt alles von vorne an traurig
Wollte mal die Aufgaben von Beispiel 2 selber Rechner.a) klappte eigentlich recht gut,aber b) unglücklich

http://img190.imageshack.us/img190/6956/ungleichungenhc7.jpg

Übermorgen ist es soweit und diesen Teil kann ich immer noch nicht.Aber ich muss es einfach schaffen.

Jetz aber zur Aufgabe.Da es <0 sein muss muss x ja negativ sein,was heisst das in der einen Klammer etwas positives und in der anderen Klammer etwas negatives rauskommen muss.Daher auch einmal > 0 und einmal < 0.Muss wenn in der Aufgabe < 0 steht immer etwas wie L = {x|-4<x<2} oder ginge dann z.b. auch etwas wie L = {x|-4<x}?
Und beim 2.Fall fall blicke ich dann garnicht mehr durch.Der Zahlenstrahl sollte ja als Hilfe dienen,doch mich verwirrt er vollkommen.

Ok,ich glaube jetz habe ich das mit der Lösungsmenge beim 2.Fall von b) doch verstanden.Kleiner als -4 aber trotzdem noch größer als 2 geht ja nicht.
Also doch noch gut das ich auch noch jetz während dem schreiben von diesem text überlegt habe.Diese Zahlenstrahl hat mich aber wirklich komplett durcheinander gebracht.

Aber diese Frage habe ich trotzdem noch

Zitat:
Muss wenn in der Aufgabe < 0 steht immer etwas wie L = {x|-4<x<2} oder ginge dann z.b. auch etwas wie L = {x|-4<x}?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterXXL
Übermorgen ist es soweit und diesen Teil kann ich immer noch
Aber diese Frage habe ich trotzdem noch

Zitat:
Muss wenn in der Aufgabe < 0 steht immer etwas wie L = {x|-4<x<2} oder ginge dann z.b. auch etwas wie L = {x|-4<x} ?


die frage kannst du eigentlich selber beantworten!
ich stelle dir mal zwei ganz einfache gegenfragen:

1)wenn du das L = {x|-4<x} hier stehen hast ,darfst du für x zB. den wert 10 wählen?

2. ) wenn du das L = {x|-4<x<2} stehen hast darfst du für x den wert 10 wählen?

Augenzwinkern

siehst du die unterschiede?
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Schon wieder zu viel verraten. unglücklich Schande über mein Haupt!

Weg damit.... Sorry derkoch
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Also wer hat jetz recht?^^
Tcha,habs doch noch gelesen Augenzwinkern
So wie ich es eigentlich verstehe geht es laut derkoch nicht,aber laut mercany schon.
Hab mich gerade an die 2b) rangemacht und auf einma weiss ich nichtmal mehr wie die Lösungsmenge vom 1.Fall ist.Was ist bloß mit mir los?Ich fange ja praktisch wieder bei 0 an.Prügelt es mir in den Kopf wenn es sein muss Forum Kloppe
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterXXL
So wie ich es eigentlich verstehe geht es laut derkoch nicht,aber laut mercany schon.


Ich weiß jetzt nicht, was mercany geschrieben hat, aber fest steht:
1. Eine Lösungsmenge muss einerseits alle Lösungen der Ungleichung enthalten und andererseits dürfen keine anderen Zahlen drin sein. (Überleg es selbst: Ansonsten könntest Du zu jeder Gleichung oder Ungleichung schreiben "Lösungsmenge = alle Zahlen" - irgendeine davon wird schon die Lösung sein. Und selbst wenn die Gleichung keine Lösung hat, einfach mit einem überlegenen Lächeln antworten, dass festgelegt ist, dass die leere Menge in jeder beliebigen anderen Menge enthalten ist. So einfach wirst Du es in der Nachprüfung aber nicht haben.)
2. Du hast zwei Bedingungen (x>-4 und x<2), für die gilt
a) jede Zahl die sie beide erfüllt ist Lösung der Gleichung
b) keine Zahl, die auch nur eine (!) der beiden nicht erfüllt ist Lösung der Gleichung.
Wenn Du nur eine der beiden in der Lösungsmenge berücksichtigst, ist dann das, was ich unter Nummer 1 geschrieben habe erfüllt oder verletzt?
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Verletzt da es dann "die Grenze" überschritten wird
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt ja jetzt auch die Aufgabel.Ihr könntet jetz sozusagen korrigieren,wenn ihr wollt^^

2b)

L1 = {x|7>x>3}
L2 = {}

L = {x|7>x>3}

Ist das richtig?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterXXL
Ihr habt ja jetzt auch die Aufgabel.Ihr könntet jetz sozusagen korrigieren,wenn ihr wollt^^

2b)

L1 = {x|7>x>3}
L2 = {}

L = {x| 7>x>3}

Ist das richtig?



Freude Freude


eine veränderte variante wäre:

L={x| 3<x<7}

ich bin eher mit dieser variante vertraut, da ich die "untere Grenze" auch als erste hinschreibe! ist aber nur gewohnheitssache!
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja nur noch der letzte Feinschliff.dann werde ich es nochmal ausprobieren,ich hoffe das ich nicht wieder etwas verlerne
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie funktioniert jetzt Nr.3?Ich versteh das garnicht.Wird das dann auch ganz anders gezeichnet und ...??
Bitte helft mir schnell,wie ihr ja seht rennt die Zeit
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Antworten mehr?fange ich langsam an zu nerven?

Habe noch eine Frage.Wird z.b. die ganze Nr.4 so gerechnet wie das Beispiel im grünen Kästchen?Also wird immer das Vorzeichen umgedreht und ein Minus hinter die eine Zahl am ende des Terms geschrieben?Und muss da auch immer ein "oder" hin?Und warum "oder" und nicht wieder "und"?

Ich werde langsam wirklich nervös geschockt
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du den Graphen einer Parabelfunktion zeichnen willst, solltest Du sie zunächst einmal mit quadratischer Ergänzung auf die Scheitelpunktsform bringen (zur quadratischen Ergänzung siehe, dalls Du sie noch nicht kannst, hier, hier oder Boardsuche, zur Scheitelpunktsform hier oder ebenfalls Boardsuche). Aus selbiger kannst Du ablesen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist, wo der Scheitelpunkt liegt und die Nullstellen berechnen. (Aber Achtung: Die Funktionen a)-c) in Deiner Aufgabe 3, obwohl Du auf den ersten Blick etwas anderes denken könntest, stehen schon in der Scheitelpunktsform, wie Du erkennst, wenn Du x durch (x-0) ersetzt.)
Ansonsten gehört zu einer sauberen Zeichnung natürlich eine Wertetabelle.
Jetzt gibt es für den zweiten Teil der Nr. 3 prinzipiell vier Möglichkeiten:
1. Die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt liegt über der x-Achse oder auf der x-Achse. Da der Scheitelpunkt dann der niedrigste Punkt der Parabel ist, hat sie nirgendwo einen kleineren Wert als 0 und Du kannst Deine GANZE x-Achse z.B. rot markieren, was dann dafür steht (musst Du natürlich in einer Prüfung auch für den Korrektor aufschreiben), dass der Funktionswert jedes beliebigen x größer oder gleich 0 ist.
2. Die Parabel ist nach unten geöffnet unt der Scheitelpunkt liegt unterhalb der x-Achse. Dann ist alles genau umgekehrt wie im ersten Fall und Du kannst die gesamte x-Achse z.B. blau markieren, was dann dafür steht, dass alle Werte der xe kleiner als 0 sind.
3. Die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt liegt unter der x-Achse --> Bei den xen, die zwischen den beiden Nullstellen liegen, ist der Funktionswert natürlich kleiner Null (aufmalen, dann wirst Du verstehen, warum). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, steigt er rechts der rechten und links der linken Nullstelle über Null. Also sind die Werte zwischen den Nullstellen blau und alle anderen, einschließlich der Nullstellen selber, rot zu markieren. Dass die Nullstellen auch zu den "roten" Werten gehören, kannst Du zum Ausdruck bringen, indem Du die rote Linie, die an der linken Nullstelle endet, mit einer nach links geöffneten eckigen Klammer ] verzierst, und die rechte mir einer nach rechts geöffneten [.
4. Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt ist über der x-Achse. Dann ist alles genau umgekehrt wie in Fall 3 und demnach sind die Werte zwischenden Nullstellen rot zu markieren und die restlichen, einschließlich der Nullstellen selbst, blau (wieder eckige Klammern verwenden).
Letzter Punkt ist es, die Ungleichungen anzugeben, welche diese x-Werte als Lösungen haben. Das ist eigentlich nichts besonderes: Funktionsgleichung (z.B. 2x²-3/2) hinschreiben und dann für die Ungleichung, die die "blauen" x-Werte als Lösungen hat, <0, für die Ungleichung der roten >=0 daneben schreiben.
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterXXL
Wird z.b. die ganze Nr.4 so gerechnet wie das Beispiel im grünen Kästchen?


Im grünen Kästchen steht ein Beispiel für quadratische Ergänzung, und das ist eigentlich die Standardmethode für solche Probleme.

Zitat:
Original von MasterXXL
Also wird immer das Vorzeichen umgedreht und ein Minus hinter die eine Zahl am ende des Terms geschrieben?


Du suchst eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert größer als 9 ist. Das sind nicht nur die x-Werte, für die x+2 größer als 3 ist, sondern auch die, für die es kleiner als -3 ist, denn schließlich ist Minus mal Minus Plus und deshalb z.B. -4 mal -4 genauso groß wie 4 mal 4, nämlich 16 und damit größer als 9.
Andererseits kann x schlecht gleichzeitig größer als 3 und als -3 sein, sondern nur das eine oder das andere und das ist die Antwort auf:

Zitat:
Original von MasterXXL
Und muss da auch immer ein "oder" hin?Und warum "oder" und nicht wieder "und"?


Da muss dann immer ein "oder" hin.
MasterXXL Auf diesen Beitrag antworten »

Habe die Aufgabe jetz ansatzweise gerechnet.könntest du mir vlt mal sagen wie das dann richtig aussieht?ich glaube lernen bringt jetz eh nciht mehr viel besonders so nervös wie ich bin aber ich werde es trotzdem noch versuchen
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