Nilpotente Abbildungen

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotente Abbildungen
Hallo,

a) V sei ein endlich dim. Vektorraum und f ein nilpotenter Endomorphismus End(V) mit f^m=0 aber f^(m-1) ungleich null

zu zeigen:

Ist v aus V und f^(m-1) ungleich null, dann ist (v,f(v),...,f^{m-1}(v)) eine freie Familie.

Meine Lösung:

ungleich null für alle i aus {1,2,...,m}

Deswegen muss gelten für alle i aus {1,...,m} woraus die lineare Unabhängigkeit folgt.

b) Sei mit und sonst null

Sieht dann ja so aus:



Jetzt soll man m aus IN mit A^m=(0), A^(m-1) ungleich (0) bestimmen

Durch ausprobieren komme ich nach Gott sei Dank nicht all zu viel Arbeit auf m=4

Ist das richtig und wenn ja geht es auch eleganter ?

Gruß Björn
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Abbildungen
Zitat:
Original von Bjoern1982
Meine Lösung:

ungleich null für alle i aus {1,2,...,m}

Deswegen muss gelten für alle i aus {1,...,m} woraus die lineare Unabhängigkeit folgt.


Öhm... Auch 2 und 4 sind ungleich Null in IR, aber linear abhängig. Gehe aus von und wende den Endomorphismus an.


Zu (b): Betrachte die Einheitsvektoren. {e7,e5,e3,e1} und {e6,e4,e2} sind freie Familien (um mal bei deiner Nomenklatur zu bleiben. Ich selbst hab "freie Familie" noch nie gehört).
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

a)
Ungleich 0 reicht dir leider nicht aus. und sind auch ungleich 0 und trotzdem linear abhängig.

b)
Eleganter als ausrechnen ist sicherlich das Betrachten der Matrix als Abbildung . Da du nur Basisvektoren betrachten musst kannst du dort die Potenzen der Abbildung schnell berechnen.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Holla, ist ja echt nen Blödsinn was ich da bei a) geschrieben hab geschockt

Zitat:
Gehe aus von und wende den Endomorphismus an.


Ich weiss nur dass ein Endomorphismus eine Abbildung von einem Vektorraum V in sich selbst ist: f: V ---> V

Ich komme nicht drauf wie ich das hier nutzen kann.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das wichtigeste vergessen. Ein Endomorphismus ist linear. Wende also f auf rechte und linke Seite der Gleichung an. Was erhältst du dann?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »



=>

So in Ordnung ?
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... Björn, es tut mir leid. Aber was du da machst ist kompletter Unfug. Du solltest doch einfach nur f auf beide Seiten anwenden. Davon sehe ich hier nichts.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Joa ich hab einfach mal drauf los geraten, da miir diese Formulierung
Zitat:
f auf beide Seiten anwenden
nicht so wirklich geläufig ist.

Meinst du es womöglich so ?



Habe das auch schon auf der linken Seite weiter umgestellt gem. der Linearitätsbedingung, aber bevor ich die weitere Schritte poste warte ich lieber erst mal ob es jetzt der richtige Ansatz ist Augenzwinkern

Björn
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Abbildungen
Da bjoern gerade on ist...

Zitat:
Original von WebFritzi
Gehe aus von und wende den Endomorphismus an.


Sei m=3. Ist hier nur eine triviale Kombination zum Nullvektor möglich?



Machen wir das was WebFritzi vorgeschlagen hat.



Wenden unser Wissen über f an.



Nun könnte man das auch nochmal machen. Was folgt dann?

Und tschüss Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Melde mich nachher wieder bine, muss jetzt wieder in die Uni.
Dank dir Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nun könnte man das auch nochmal machen. Was folgt dann?




Da f^m mit m=3 wieder null wird bleibt



Nur muss ich ja zeigen dass x1=x2=...=xm=0 gilt für lineare Unabhängigkeit.

Da mein Gedanke von oben diesmal wohl richtig war poste ich nun auch mal eben was ich noch so für Umformungen gemacht hatte:







Was meint ihr dazu, ist es überhaupt richtig bzw führt es zum Ziel ?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Abbildungen
Zitat:
Original von tigerbine
Da bjoern gerade on ist...

Zitat:
Original von WebFritzi
Gehe aus von und wende den Endomorphismus an.


Sei m=3. Ist hier nur eine triviale Kombination zum Nullvektor möglich?



Machen wir das was WebFritzi vorgeschlagen hat.



Wenden unser Wissen über f an.



Nun könnte man das auch nochmal machen. Was folgt dann?

Und tschüss Wink






Damit also:



Wir gehen zurück zu



dann muss auch





und somit



Ich weiß nun nicht, on ich WebFritzis Idee getroffen habe und wie er das allgemein formulieren würde. ich würde es wohl über ein homogenes LGS machen, was man fer hält wenn man f, f² etc auf die erste Gleichung anwendet erhält. Die entstehende Matix ist eine reguläre Dreiecksmatrix, es folgt sofort, dann nur der Nullvektor für x lösung sein kann.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch gleich auf die Gleichung anwenden.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Web Fritzi

Zitat:
Was ist denn


Ich dachte das kann man als Umkehrfunktion betrachten, wodurch dann folgt.

Führt mein Ansatz denn zu etwas oder geht das wieder in die falsche Richtung ?

@ bine

Ok, deine Idee mit dem Gleichungssystem kann ich nachvollziehen, danke smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
@ Web Fritzi

Zitat:
Was ist denn


Ich dachte, das kann man als Umkehrfunktion betrachten, wodurch dann folgt.


Nein. f besitzt keine Umkehrung, da f nicht injektiv ist. Das sieht man an f(0) = 0 und fuer jedes v aus V.

Bei deinem Vorgehen solltest du das i-1 im "Exponenten" einfach so lassen wie es ist und nicht auseinanderziehen. Und wie gesagt: Wende statt f lieber auf die Gleichung an. Das geht schneller.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich glaub das wird noch ne schwere Geburt, aber nicht aufgeben Big Laugh

Zitat:
Wende statt f lieber auf die Gleichung an


Gut, damit komme ich auf:







Wo führt mich das alles hin ?
Laut Voraussetzung soll immer ungleich null sein, wie komme ich denn dann jemals auf ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Warum hat WebFritzi wohl diesen "Exponenten" gewählt? In meinem Beispiel war m=3 und ich habe f zweimal angewendet. Schreiben wir deine letze Zeile einmal um.





Dann ziehen wir sie auseinander.



Dann sind die Exponenten in der Summer >=m. Die Summe verschwindet also. Und x1=0 muss gelten.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, klingt alles logisch smile

Eine Frage jedoch:

Warum wird auf der rechten Seite der Gleichung wieder zu null, wo doch laut Voraussetzung immer ungleich null sein soll.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das wunderbare Geheimnis der linearen Abbildung. Der Nullvektor wird immer auf den Nullvektor abgebildet. Und soll bedeuten, dass dies nicht die Nullabbildung ist. Es kommen aber pro Iteration mehr Vektoren in den Kern, sonst könnte es ja gar keine nilpontente Abbildung sein. Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaah, also mit Nullabbildung meinst du dass eben bei noch nicht ALLE Vektoren auf den Nullvektor abgebildet werden und mit jeder Iteration mehr Vektoren in den Kern, also die Menge der Vektoren die auf 0 abgebildet werden, kommen, die dann irgendwann den ganzen Definitionsraum ausmachen. Ist das so korrekt ?

Ich glaube ich habe mich da irgendwie von einer linearen Funktion f(x)=ax+b verleiten lassen, die ja nur im Spezialfall b=0 auch immer durch den Ursprung verläuft...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Jo.

Von den "Geraden" aus der Schulzeit mal ganz schnell verabschieden. Die sind eher als Polynome wegen dem Maximal grad 1 als linear zu bezeichnen. Für b ungleich Null landen wir dann bei http://de.wikipedia.org/wiki/Affine_Abbildung

Generell gilt die Devise: Schau in die Definition. http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung

Gemein ist, dass wir 0 für viele verschiedene Sachen schreiben. Mal die nullabbildung, mal die Null von V mal die Null von W. Bei f(0)=0 muss nicht gelten 0=0. Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau den wiki Artikel hatte ich danach auch nochmal gelesen, entscheidend für mich war dein Kommentar zu der Nullabbildung smile

Ok, nun noch zur weiteren Vorgehensweise:



Hieraus folgt ja - wie du schon geschrieben hattest - dass x1=0 gelten muss

Nun erhält man für x2,x3...usw dann auch wieder null dadurch dass man immer wieder anwendet ja ?

Wie bringt man das denn jetzt am Besten zu Papier ?
Ich mein dass so anzudeuten und dann "..." zu machen ist ja wohl nicht erlaubt oder Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Vorgehensweise ist so, wie ich es in dem Beispiel gemacht habe, was dann im Grunde auf meine Matrix Notation raus läuft. Dabei wendet man im Grunde auf die nun um ein x erleichterte erste Gleichung nun an. Ich würde es nicht verwerflich finden "usw" zu schreiben. aber da ist WebFritzi der bessere Ansprechpartner. Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, mit würde das ja erneut auch zu nichts mehr führen Hammer

Ok, dann bin ich dann nochmal gespannt wie WebFritzi nun abschließen würde smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich mit vollständiger Induktion. Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte es jetzt den Gedanken von Tigerbine zu Ende geführt und mit der oberen Dreiecksmatrix argumentiert, wäre aber auch an deiner Lösung interessiert.

Wenn du Zeit und Lust hast kannst du es ja noch posten oder wenn das etwas zu aufwändig ist kurz andeuten wie du durch Anwendung des Endomorphismus umgestellt hättest und an welcher Stelle bzw nach welcher Umformung du dann mit der Induktion angefangen hättest.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Mithilfe von Induktion zu beweisen:

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