Pythagoras vektoriell beweisen?

Neue Frage »

Doppelmuffe Auf diesen Beitrag antworten »
Pythagoras vektoriell beweisen?
wie gesagt:

(a,b: vektoren)

bedingung:
a*b = 0

zu zeigen:
|a + b|² = |a|² + |b|²

klappt auch alles wunderbar.
(als komponenten schreiben, und der rest ergibt sich dann)


allerdings ist der betrag eines vektors über den pythagoras definiert. und das geht nun nicht, einfach nen satz mit sich selbst zu beweisen.
gehts also auch anders? (ohne den betrag zu verwenden)


noch ne andere frage:
wenn ich den winkel zwischen zwei ebenen haben will, kann ich auch den zwischen den normalen nehmen?
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Öhhhmmm - eine Definition ist doch kein Satz?
Ein Satz folgt doch allemal mehr oder weniger direkt aus Definitionen?
Oder hab ich inzwischen was verdrängt?

Johko, uralt und vielleicht schon etwas Übergangsheimert, aber durchaus lernbereit Gott

Aber vektoriell ist das auch kein Thema:


da gilt:
,

folgert daraus ein allgemeiner Phythagoras.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Diese vektoriellen Beweise von "Pythagoras" kranken alle an einer Stelle. In der Schulmathematik wird das Senkrecht-Stehen von Vektoren meist mit Pythagoras (oder verschleiert mit dem Cosinus-Satz für Dreiecke) begründet, dann das Skalarprodukt eingeführt und das Ganze dann in der neuen Schreibweise ausgedrückt: a·b=0 (Skalarprodukt). Insofern hat Doppelmuffe recht. Man dreht sich hier im Kreise.

Ein vektorieller "Pythagoras"-Beweis ist meiner Meinung nach nur gültig, wenn man das Skalarprodukt axiomatisch einführt. Also ab damit in die Universität!
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also ab damit in die Universität!


Aber gern doch --->
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß zwar nicht worum es geht :P doch würde ich als Laie sagen, daß unter Verwendung des cartesischen Koordinatensystems ein Beweis des Satzes des Pythagoras nicht möglich ist, da dieses Koordinatensystem die Gültigkeit des Satzes voraussetzt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juergen
doch würde ich als Laie sagen, daß unter Verwendung des cartesischen Koordinatensystems ein Beweis des Satzes des Pythagoras nicht möglich ist, da dieses Koordinatensystem die Gültigkeit des Satzes voraussetzt.

Nö. Wieso?
Berthold Auf diesen Beitrag antworten »

Man definiert die Norm, also die Länge ||v|| (die Doppelstriche sind die übliche Notation für die Norm) eines Vektors v konform zum Lehrsatz des Pythagoras mit Wurzel(s(v,v)), d.h. s(v,v) = ||v||^2. Aus dieser "pythagoreischen" Längendefinition folgt trivialerweise, dass für orthogonale Vektoren v,w der allgemeine Pythagoras: ||v+w||^2 = ||v||^2 + ||w||^2 in jedem entsprechend normierten Vektorraum gilt.

Damit man die üblichen Messverfahren der Vektorrechnung auf die euklidische Ebene E anwenden kann, muss man E mit einem per Skalarprodukt normierten Vektorraum V identifizieren. Kandidat für V ist natürlich der IR2 mit dem kanonischen Skalarprodukt s. Insbesondere ist daher zu zeigen, dass die mittels s konstruierte Norm ||(a,b)|| := Wurzel(s(a,b),(a,b)) = Wurzel(a^2+b^2) mit dem anschaulichen Längenbegriff übereinstimmt. Dem Vektor (a,b) entspricht in der euklidischen Ebene die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a,b. Um nachzuweisen, dass die Länge von c = Wurzel(a^2+b^2) ist, benötigt man aber gerade den Satz des Pythagoras.

Der wohl berühmteste mathematische Lehrsatz lässt sich also nicht rein vektoriell beweisen.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berthold
Insbesondere ist daher zu zeigen, dass die mittels s konstruierte Norm ||(a,b)|| := Wurzel(s(a,b),(a,b)) = Wurzel(a^2+b^2) mit dem anschaulichen Längenbegriff übereinstimmt.


Nein, das ist hier nicht zu zeigen. "Anschaulich" heisst hier ja gerade "nach Satz des Pythagoras", denn dies ist die üblichste Längenmessung. Macht man es aber wie Leopold angedeutet hat axiomatisch, so ist die Länge eben nicht durch den Pythagoras (also anschaulich) definiert, sondern über die Axiome der Norm, bzw. des Skalarproduktes.

Gruß vom Ben
Berthold Auf diesen Beitrag antworten »

Der von Doppelmuffe genannte Beweis zeigt, dass für orthogonale Vektoren v,w der allgemeine Pythagoras: ||v+w||^2 = ||v||^2 + ||w||^2 in jedem entsprechend normierten Vektorraum gilt - aber die Gültigkeit des Pythagoras' in der anschaulichen (euklidischen) Ebene folgt nicht daraus. Man benötigt nämlich ausgerechnet einen klassischen Pythagorasbeweis, um die Gleichung c^2 = ||v+w||^2 zu erhalten. Es ist also ein Irrtum, den elementaren Pythagoras nur unter Verwendung des Skalarproduktes beweisen zu wollen.

Für euklidische Vektorräume kann man den Kosinussatz und speziell den Pythagoras selbstverständlich rein vektoriell beweisen. Um das jedoch auf die elementare Geometrie übertragen zu können, benötigt man einen klassischen Pythagorasbeweis. Das habe ich in meinem Beitrag ausführlich begründet! Die eigentliche Idee der analytischen Geometrie basiert doch gerade darauf, dass die kanonische Längenmessung per Skalarprodukt der Anschauung und damit dem Pythagoras getreu definiert wird. Natürlich ist es zirkulär, anhand dieser Definition den elementaren Pythagoras beweisen zu wollen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das ähnlich wie Berthold.
Natürlich kann man ein Skalarprodukt <,> axiomatisch einführen und die Norm ||.|| durch ||x|| = wrz(<x,x>) sowie die Orthogonalität durch <x,y>=0 definieren. Dann ist ||x||²+||y||² = ||x±y||² eine Trivialität. Die Brücke zur "realen euklidischen Länge", wie man sie sich auf einem idealisierten Blatt Papier vorstellt, wird dadurch aber nicht hergestellt.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Also vom Inhaltlichen sind wir auf dem gleichen Stand, es unterscheiden sich nur die Herangehensweisen.

Imho ist es möglich axiomatisch an die Sache heranzugehen. Dann beweist man den Pythagoras vektoriell und bekommt durch diesen Beweis die Erkenntnis, dass die abstrakt definierte Länge genau die ist, die die gewünschten Eigenschaften hat.

Wie kommt man denn auf die "reale euklidische Länge"? Als Konsequenz aus dem Pythagoras? Das wäre auch möglich, wenn man ihn wie oben skizziert beweist. Natürlich fallen die Axiome für die Norm oder das Skalarprodukt "vom Himmel", aber diese Herangehensweise ist in der Mathematik nicht unüblich.

Gruß vom Ben
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »