[erledigt] 3 Gleichsetzungen..

02.08.2006, 21:21

[erledigt] 3 Gleichsetzungen..

Hallo,

Wollte mal wissen, ob es prinzipiell möglich ist

0 = f(x) = g(x)

nach x umzustellen.

f(x) = g(x) ist klar, aber zusätzlich soll die Y-Koordinate des Schnittpunktes 0 sein.

Wie muss ich da vorgehen? Danke. smile

02.08.2006, 21:30

JochenX

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Das ist im Endeffekt nur eine Schreibweise für zwei Bedingungen:
f(x)=g(x)
f(x)=0
Die dritte Bedingung g(x)=0 ist natürlich schon in den anderen beiden Gleichungen enthalten.

ein Gleichungssystem, sowas hast du sicher (zumindest in linearer Form, hier halt im Allgemeinen nichtlinear) schon mal gesehen.

Lösen wie gehabt:
du suchst x, die alle 2 Gleichungen erfüllen, also INSBESONDERE die erste.
Bestimme die Lösungsmenge von der ersten Gleichung und schau, welche die zweite Gleichung akzeptiert.

02.08.2006, 21:49

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Zitat:

Original von LOED
Lösen wie gehabt:
du suchst x, die alle 2 Gleichungen erfüllen, also INSBESONDERE die erste.
Bestimme die Lösungsmenge von der ersten Gleichung und schau, welche die zweite Gleichung akzeptiert.

Meinst du jetzt damit, dass ich das hintereinander so lösen soll oder das das die Schritte sind, die mein linearen Gleichungssystem erhält?

02.08.2006, 22:05

JochenX

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Zitat:

Original von Zahlentheorie

Zitat:

Meinst du jetzt damit, dass ich das hintereinander so lösen soll oder das das die Schritte sind, die mein linearen Gleichungssystem erhält?

also dass es linear ist, ist im Allgemeinen falsch.
Deine Frage kann ich nicht nachvollziehen, aber ich rate mal, was du meinst:
du musst natürlich nur noch Lösungen der ersten Gleichung in der zweiten testen, Werte, die die erste schon nicht erfüllen, kannst du gleich vergessen.
Im Gegensatz zur LGS-Sache hast du hier den Vorteil, dass meistens nach Betrachtung der ersten Gleichung schon nur noch endlich viele Kandidaten übrigbleiben, die du nur noch Einsetzen musst.
(Entfernt ähnlich zum Einsetzungsverfahren beim LGS-lösen)

02.08.2006, 22:16

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Mh.. ja mein Problem besteht jetzt darin, das der Vorgang des "Testens" (also erst Schnittpunkte ermitteln UND DANN ERST y=0? testen) etwas aufwendig werden kann, weil ich das für trigonometrische Funktionen benötige... Es wäre schon super, wenn man da EINE Gleichung daraus machen könnte.

03.08.2006, 05:28

mercany

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Du sprichst etwas in Rätseln. Bring doch mal ein konkretes Beispiel von dir, dann ist es etwas einfach für uns, das zu beantworten.

Gruß, mercany

03.08.2006, 08:47

JochenX

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Zitat:

Original von Zahlentheorie
Es wäre schon super, wenn man da EINE Gleichung daraus machen könnte.

Es wäre schon super, wenn ich ein Wundermittel gegen Krebs erfinden würde.
Es geht halt im Allgemeinen nicht alles.
Wie genau stellst du dir das vor?

Denke mal an den einfachsten Fall, lineares Gleichungssystem mit einer Unbekannten und zwei Gleichungen. Wie würdest du da "eine Gleichung draus machen wollen"?

03.08.2006, 09:10

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Es geht schon: Wenn man z.B. im Reellen das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} f(x)=0,g(x)=0 \end{eqnarray*}$ hat, kann man daraus eine Gleichung $\begin{eqnarray*} (f(x))^2+(g(x))^2=0 \end{eqnarray*}$ mit derselben Lösungsmenge machen.

Über den Sinn einer solchen Zusammenfassung möchte ich aber lieber schweigen. Augenzwinkern

03.08.2006, 13:31

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Ok, ich wollte euch nicht verwirren!
Meine persöndliche Aufgabenstellung wäre nun:
... Wo schneiden die Graphen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ mit der Bedingung $\begin{eqnarray*} Y=0 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(\pi x); g(x)=cos(\frac{3}{2} \pi x) \end{eqnarray*}$

Warum $\begin{eqnarray*} (f(x))^2+(g(x))^2=0 \end{eqnarray*}$ die selbe Lösungsmenge hat, das ist mir nicht ganz klar. verwirrt

Ich bitte um Aufklärung. Wink

03.08.2006, 13:35

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Dass für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=0,g(x)=0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (f(x))^2+(g(x))^2=0 \end{eqnarray*}$ gilt, sollte klar sein: Einfach einsetzen.

Und die Umkehrung: Es ist $\begin{eqnarray*} (f(x))^2\geq 0 \end{eqnarray*}$ und genau dann =0, falls $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist, analog für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ... Den Rest überlegst du dir selbst.

03.08.2006, 13:36

20_Cent

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vielleicht ist es da angebracht zuerst die nullstellen zu bestimmen, danach zu gucken, welche nullstellen zusammenfallen. dürfte wesentlich einfacher sein.
mfG 20

03.08.2006, 13:45

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Ich bin gerade völlig durch den Wind.

$\begin{eqnarray*} f(3)=sin(3\pi)\neq0 \end{eqnarray*}$

der Schnittpunkt von $\begin{eqnarray*} f(3) \end{eqnarray*}$ sollte doch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein. verwirrt

Edit: verdammt, Taschenrechner wieder im DEG-Modus. böse

Edit2: Dann ist es klar Arthur.

Zitat:

Original von 20_Cent
vielleicht ist es da angebracht zuerst die nullstellen zu bestimmen, danach zu gucken, welche nullstellen zusammenfallen. dürfte wesentlich einfacher sein.
mfG 20

Ich dachte eher daran, dass es evtl. möglich ist, den $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .ten Schnittpunkt bei $\begin{eqnarray*} Y=0 \end{eqnarray*}$ zu berechnen. traurig

Also, quasi eine Formel dafür aufzustellen.

03.08.2006, 13:51

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(\pi x) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle ganzahligen x.
$\begin{eqnarray*} g(x)=cos(1,5 \pi x) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle ganzzahligen ungeraden x.

Für welche x gilt also f(x)=g(x)=0 ?

EDIT: kleine verbesserung:
$\begin{eqnarray*} g(x)=cos(1,5 \pi x) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle x der Form:
$\begin{eqnarray*} x = \frac{k \pi + 0,5 \pi}{1,5 \pi} = \frac{k + 0,5}{1,5} = \frac{2k+1}{3} \end{eqnarray*}$

Also kommen nicht nur ungerade x in Frage. Augenzwinkern

03.08.2006, 13:56

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Für alle ungeraden ganzzahligen X. Klar, aber wie komme ich komme ich da rein rechnerisch d'rauf. Das ist ja mein Anliegen. ;-)

03.08.2006, 13:59

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} cos(x)=0 \rightarrow x = k \pi + 0,5 \pi \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen k.

Das ist sozusagen Grundwissen der cos-Funktion.

EDIT: und noch eine Korrektur. (Also heute ist es verflixt).

03.08.2006, 14:09

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Lustigerweise lässt sich bei dieser konkreten Aufgabe hier das Prinzip $\begin{eqnarray*} (f(x))^2+(g(x))^2=0 \end{eqnarray*}$ noch anwenden, auch wenn es bereits etwas grotesk umständlich aussieht - aber ich will jetzt niemand verwirren. Augenzwinkern

03.08.2006, 14:25

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Ich komme auf $\begin{eqnarray*} k\pi \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2k\pi \end{eqnarray*}$ . Verdammt, ich sollte es sein lassen. böse

03.08.2006, 14:36

klarsoweit

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Mehr Details bitte.
Und hast du meine Beiträge mit allen Korrekturen nochmal gelesen?

03.08.2006, 14:38

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Mal ganz von vorn, systematisch und ausführlich:

Die Nullstellen der Sinusfunktion sind $\begin{eqnarray*} k\cdot\pi \end{eqnarray*}$ , die Nullstellen der Kosinusfunktion dagegen $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}+m\cdot\pi \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k,m \end{eqnarray*}$ die ganzen Zahlen durchlaufen.

Für jede gemeinsame Nullstelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ deiner beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ muss es also ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} k,m \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \pi x = k\cdot\pi,\qquad \frac{3}{2} \pi x = \frac{\pi}{2}+m\cdot\pi \end{eqnarray*}$

geben. Beides nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umgeformt und gleichgesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} 3k = 1+2m \end{eqnarray*}$ .
Der Rest ist Zahlentheorie, genauer: eine einfache lineare diophantische Gleichung, welche nämlich alle ungeraden $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ als Lösung hat.

03.08.2006, 18:49

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$\begin{eqnarray*} (k,m)=(1 + 2p,1 + 3p) \end{eqnarray*}$

Ich sehe irgendwie nicht, inwiefern mir das helfen könnte. verwirrt

Edit:

Zitat:

Original von klarsoweit
Mehr Details bitte.
Und hast du meine Beiträge mit allen Korrekturen nochmal gelesen?

Jetzt ja, omg. Big Laugh

03.08.2006, 18:55

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Lustigerweise lässt sich bei dieser konkreten Aufgabe hier das Prinzip $\begin{eqnarray*} (f(x))^2+(g(x))^2=0 \end{eqnarray*}$ noch anwenden, auch wenn es bereits etwas grotesk umständlich aussieht - aber ich will jetzt niemand verwirren. Augenzwinkern

Wieso ist das grotesk?
Das gilt doch für jedes $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ , oder?
(, denn nur $\begin{eqnarray*} 0^{2}+0^{2} \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein.) Mit Zunge

03.08.2006, 19:29

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Nein, ich meinte das anders, und zwar so:

Mit den Substitutionen $\begin{eqnarray*} y = \frac{\pi}{2}x \end{eqnarray*}$ und anschließend $\begin{eqnarray*} z = \cos(y) \end{eqnarray*}$ folgt wegen $\begin{eqnarray*} \cos(2y)=2\cos^2(y)-1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \cos(3y)=4\cos^3(y)-3\cos(y) \end{eqnarray*}$ die Umformung

$\begin{eqnarray*} 0 = (f(x))^2+(g(x))^2 = 1-(2z^2-1)^2+(4z^3-3z)^2 = \frac{z^2}{4} \left[ (8z^2-7)^2+3 \right] \end{eqnarray*}$

und das ist im Reellen höchstens für $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Die Rücksubstitution $\begin{eqnarray*} \cos\left( \frac{\pi}{2}x \right) = 0 \end{eqnarray*}$ führt dann auf die oben genannten ungeraden ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

DAS ist grotesk. Big Laugh

03.08.2006, 20:01

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Lustigerweise .... - aber ich will jetzt niemand verwirren. Augenzwinkern

Ich hätte auf dich hören sollen. Augenzwinkern

Kannst du bitte nochmal auf meine diophantische Lösung eingehen? Schläfer

Dankeschööön.

03.08.2006, 20:08

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Zitat:

Original von Zahlentheorie
Ich hätte auf dich hören sollen. Augenzwinkern

Genau.

Zitat:

Original von Zahlentheorie
Kannst du bitte nochmal auf meine diophantische Lösung eingehen?

Du meinst $\begin{eqnarray*} (k,m)=(1 + 2p,1 + 3p) \end{eqnarray*}$ ?

Naja, was soll ich sagen: Ist korrekt, sofern du das so meinst, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ alle ganzen Zahlen durchläuft.

Und da $\begin{eqnarray*} x=k \end{eqnarray*}$ ist (s.o.), hast du damit auch die Lösungen der Ursprungsgleichung.

03.08.2006, 20:58

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Ich muss gestehen, dass ich mit den diophantischen Gleichungen nicht wirklich was anfangen kann. Ich habe das nur so verstanden, dass man jetzt in diesem Fall hier aus einer Gleichung mit 2 Unbekannten, eine Gleichung mit 1er Unbekannten machen kann.

$\begin{eqnarray*} p=1: (3,4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p=2: (5,7) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p=3: (7,10) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p=... \end{eqnarray*}$

Welche Aussage erhalte ich daraus jetzt direkt?

Edit: Dass $\begin{eqnarray*} k=1+2n \end{eqnarray*}$ immer ungerade Zahlen ausspuckt, das ist klar. Aber wie wichtig ist die Aussage von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ /welche Bedeutung hat $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ?

Ich habe die Facharbeit hier überflogen, aber das scheint mir doch alles noch sehr komplex. traurig

Danke für deine Hilfe Arthur. Augenzwinkern

Edit: $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ oben in $\begin{eqnarray*} 3k=1+2m \end{eqnarray*}$ eingesetzt, ergibt $\begin{eqnarray*} 3+6a=3+6a \end{eqnarray*}$ . Und nu'? Bitte hau' mich jetzt nicht. Augenzwinkern

03.08.2006, 21:29

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Du hast ein wenig das Ziel aus den Augen verloren, was?

Also nochmal gerafft: $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist Lösung genau dann, wenn es ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} k,m \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \pi x = k\cdot\pi,\qquad \frac{3}{2} \pi x = \frac{\pi}{2}+m\cdot\pi \end{eqnarray*}$

gibt. Durch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ geteilt ergibt das

$\begin{eqnarray*} x = k,\qquad \frac{3}{2} x = \frac{1}{2}+m \end{eqnarray*}$

und die linke Gleichung in die rechte eingesetzt dann $\begin{eqnarray*} 3k=1+2m \end{eqnarray*}$ . Da rechts was ungerades steht, muss das links auch der Fall sein, und das klappt nur für ungerade $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Ungerade Zahlen parametrisiert man zweckmäßig $\begin{eqnarray*} k=2p+1 \end{eqnarray*}$ , was eingesetzt $\begin{eqnarray*} 6p+3=1+2m \end{eqnarray*}$ ergibt, umgestellt nach $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ erhält man die ganze Zahl $\begin{eqnarray*} m=3p+1 \end{eqnarray*}$ , also haben wir tatsächlich ganzzahlige $\begin{eqnarray*} k,m \end{eqnarray*}$ erhalten.

Abschließend erinnern wir uns an $\begin{eqnarray*} x=k \end{eqnarray*}$ , denn die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ waren ja die eigentlich gesuchten Größen, und gelangen zu den Lösungen $\begin{eqnarray*} x=2p+1, p\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Mit anderen Worten: Alle ungeraden ganzen Zahlen sind Lösung.

03.08.2006, 22:04

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Ich schaue mir das morgen an. Ich sehe heute irgendwie den Wald vor lauter Bäumer nicht mehr. fröhlich

Vielen Dank (erstmal) Arthur!!! Wink

04.08.2006, 14:30

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Und das ganze Verfahren, was du oben beschrieben hast, ist also der Lösungsweg für eine lineare diophantische Gleichung?.. soso. Freude

Ich komme zwar prinzipiell mit, aber mich würde jetzt interessieren, ob es auch ein Verfahren gibt, um die Schnittpunkte bei Y=0 zu berechnen, wenn die Lösungsmenge nicht nur aus ganzen Zahlen besteht... verwirrt

04.08.2006, 14:35

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Wie meinst du das? Wenn die Aufgabe z.B.

Zitat:

... Wo schneiden die Graphen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ mit der Bedingung $\begin{eqnarray*} Y=0 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x); g(x)=cos(\frac{3}{2} x) \end{eqnarray*}$

gewesen wäre, dann hätte man keine ganzzahligen Schnittpunkte gehabt, trotzdem ist der Lösungsweg genauso passend!

04.08.2006, 14:42

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Bei der Aufgabe

sind die Schnittpunkte doch ganzzahlig...

Ich meine, wenn die Schnittpunkte zBsp: 2/3, 4/3 etc. sind, dann könnte man ja nicht über die diophantischen Gleichungen gehen, weil die Lösungen ja nicht ganzzahlig sind.

04.08.2006, 14:51

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Zitat:

Original von Zahlentheorie
Bei der Aufgabe

sind die Schnittpunkte doch ganzzahlig...

Nein, sind sie nicht! Seit wann sind $\begin{eqnarray*} x=k\pi \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , ungerade) ganze Zahlen? geschockt

Generell: Wenn du zwei Sinusfunktionen (beliebiger Phase) betrachtest, deren Frequenzen in einem rationalen Verhältnis stehen, dann laufen derartige Schnittpunktbetrachtungen stets auf solche zahlentheoretischen Betrachtungen hinaus.

Stichwort: Lissajous-Figuren

P.S.: Wenn du dir schon so einen Nick gibst, solltest du darüber etwas besser Bescheid wissen. Augenzwinkern

04.08.2006, 15:00

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Ah verdammt, ich hatte angenommen, weil du meinen Beitrag zitiert hast, dass die inneren Parameter des Sinus und Kosinus noch mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ multipliziert werden. Aber das hast du ja gerade entfernt. Hammer

Ja, der Nick ist wohl falsch gewählt - kannst du mich in Kackstelze umbenennen?

04.08.2006, 15:02

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Zitat:

Original von Zahlentheorie
Ja, der Nick ist wohl falsch gewählt - kannst du mich in Kackstelze umbenennen?

Da hab ich eine bessere Idee: Du eignest dir Zahlentheorie-Kenntnisse an, dann ist der Nick auch passend! smile

04.08.2006, 15:10

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Auch 'ne Idee. Augenzwinkern

Egal, auf

ist mir eingefallen, was ich meinte:

wenn der eine Sinus etwa $\begin{eqnarray*} sin(1/x) \end{eqnarray*}$ ist, dann sind ja lineare diophantische Gleichungen nicht anwendbar, wie heißt dann das Stichwort oder gibt's da keins? verwirrt

04.08.2006, 15:18

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Auch dann sind es nach wie vor Betrachtungen zahlentheoretischer Natur, wenn auch nicht mehr lineare...
Am besten du nennst ein konkretes Beispiel, was wir ausdiskutieren können.

04.08.2006, 15:53

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du bist lieb... dass du das mit mir noch aushälst. Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(10x\pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=sin(\frac{\pi}{x}) \end{eqnarray*}$

Erstmal zu den Nullstellen:

Die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} xk=\frac{k}{10} \end{eqnarray*}$ .

Bei $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ weiss ich nicht, wie ich das $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ handhaben muss..

04.08.2006, 16:01

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Richtig, $\begin{eqnarray*} x_k=\frac{k}{10} \end{eqnarray*}$ .

Die Nullstellen des Sinus innerhalb von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ müssen nun aber auch die Struktur $\begin{eqnarray*} m\cdot\pi \end{eqnarray*}$ haben, versuchen wir also diejenigen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ zu ermitteln, die $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{x_k}=m\cdot \pi \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ erfüllen:

Einsetzen liefert $\begin{eqnarray*} \frac{10\pi}{k}=m\cdot \pi \end{eqnarray*}$ , multipliziert mit $\begin{eqnarray*} \frac{k}{\pi} \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} mk=10 \end{eqnarray*}$ .

Wie ich oben schon sagte, das ist eine zahlentheoretische nichtlineare Gleichung, aber glücklicherweise eine der einfachsten Art:

Die Primfaktorzerlegung $\begin{eqnarray*} 10=2\cdot 5 \end{eqnarray*}$ liefert den Weg zu allen (k,m)-Lösungen: (1,10), (2,5), (5,2), (10,1)

Und das ganze dann noch im Negativen: (-1,-10), (-2,-5), (-5,-2), (-10,-1)

Macht über $\begin{eqnarray*} x_k=\frac{k}{10} \end{eqnarray*}$ dann also insgesamt 8 Schnittpunkte. Wink

05.08.2006, 21:58

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Ok, das mit den Schnittpunkten habe ich nun nachvollziehen können (durch Faktorisierung), aber auf eine Gleichung zur Bestimmung der k.ten Nst (es geht mir jetzt nicht mehr um die Schnittpunkte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ) von

komme ich leider nicht, da mir das

Probleme bereitet. (Die allgemeine Formel für die k.te Nst. aus dem Tafelwerk $\begin{eqnarray*} xk=\frac{k\pi-c}{b} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht mehr anwendbar.)
Danke für deine Hilfe Arthur. Du hast echt Nerven mit mir. Augenzwinkern

05.08.2006, 22:15

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Befreie dich doch von irgendwelchen überflüssigen Tafelwerkformeln, und betrachte das lieber basierend auf Grundeigenschaften der Sinusfunktion:

$\begin{eqnarray*} \sin(z) = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \exists k\in\mathbb{Z}:\; z = k\pi \end{eqnarray*}$

So, jetzt suchst du nach den Nullstellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin\left( \frac{\pi}{x} \right) \end{eqnarray*}$ . Da gilt dann genauso

$\begin{eqnarray*} \sin\left( \frac{\pi}{x} \right) = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \exists k\in\mathbb{Z}:\; \frac{\pi}{x} = k\pi \end{eqnarray*}$ ,

also einfach nur $\begin{eqnarray*} z = \frac{\pi}{x} \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Das zu $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gehörende $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bezeichnen wir einfach mit $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ und formen dann $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{x_k} = k\pi \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x_k = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ um. Das ganze lief oben doch schon ganz ähnlich...

05.08.2006, 22:24

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Mit größer werdendem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ müsste $\begin{eqnarray*} xk \end{eqnarray*}$ größer werden. mit $\begin{eqnarray*} xk = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ kann das aber garnicht stimmen. verwirrt

Kannst du mir übrigens das TOP-Buch zur Trigonometrie empfehlen?

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