Polynom und Untervektorraum

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evje86 Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom und Untervektorraum
Hallo, folgende Aufgabe habe ich zu lösen:

Es sei W ein Untervektorraum von R(t) der von den Polynomen t^3 -2t^2 +5, t^2+ 3t -4 aufgespannt wird.

Bestimme die möglichen Dimensionen von W.

Ich kann mit dieser Aufgabe leider gar nichts anfangen. Kann mir jemand einen Tip geben?

Danke
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom und Untervektorraum
1. Schreibe die Polynome mit latex.

2. Stehen da nur 2 Polynome?

3. In welchem dir bekannten Vektotraum liegen sie?
 
 
evje86 Auf diesen Beitrag antworten »

1. ich habe keine Ahnung wie ich das mit Latex machen muss. Das muss ich mir erst mal noch genauer anschauen.

2. Ja, da stehen zwei Polynome,
also t^3-2t^2+5

und

t^2+3t-4

3. Wie meinst du das in welchem mir bekannten Vekorraum die Polynome liegen. Ich dachte, dass sie in R(t) liegen (dim unendlich)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

1. Dann übe Augenzwinkern

2. Ok, welche Dimension kann ein von 2 Vektoren erzeugter VR wohl maximal/minimal haben?

3. Es gibt so was wie , den VR der Polynome vom Maximalgrad n
evje86 Auf diesen Beitrag antworten »

2. maximal dim=2, minimal dim=0

3. von diesem VR habe ich noch nichts gehört. Werde ich mich wohl noch belesen müssen, um diese Aufgabe überhaupt lösen zu können....
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vektorraum der reellen Polynome über IR wird im allgemeinen mit IR[t] bezeichnet. Daraus hat evje R(t) gemacht, was auch nicht so viel anders aussieht, und aus dem Kontext wird auch klar, was gemeint ist.

@evje: Zu 2.: Ja, stimmt. Und wie groß ist nun die Dimension von dem gegebenen? Beachte dabei, dass bei einem Polynom x^3 dabei ist und bei dem anderen nicht.

LaTeX lernst du hier im Forum am besten mit dem Formeleditor, und es ist dir dringendst zu raten, diesen auch zu benutzen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

2. max richtig, min sehr pessimistisch, da wir hier ja nicht das Nullpolynom haben. Augenzwinkern Also 1 sollte schon drin sein

3. Mach das, der ist nicht so "schlimm" wie es sich anhört.

Dennoch kannst du die Aufgabe lösen, indem du ein bisserl überlest. Was bedeutet die Forderung lineare Abhängigkeit bei 2 Vektoren? Da ist das ja sehr einfach.

@ Webfritzi:

Ok, ich bin Pi konditioniert. Nun hast du aber den Knackpunkt der Aufgabe verraten. Schade. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
2. max richtig, min sehr pessimistisch, da wir hier ja nicht das Nullpolynom haben.


Dennoch war evjes Antwort auf deine (allgemeine!) Frage die einzig richtige.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hatte allgemein gefragt. Das ist richtig. Augenzwinkern und tippe im moment nur mit einer hand, da ich mich mit der anderen an die nase fasse. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Nun hast du aber den Knackpunkt der Aufgabe verraten. Schade. Augenzwinkern


Wir werden sehen, ob ich damit überhaupt etwas verraten habe. Ich glaube eher nicht.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
und tippe im moment nur mit einer hand, da ich mich mit der anderen an die nase fasse. Augenzwinkern


Big Laugh
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe, du hast ihr schon in einem anderen Thread geholfen, willst du weitermachen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, ich penne gleich nochmal ne Runde. Augenzwinkern
evje86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also jetzt bin ich offiziell total verwirrt....
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso? Weil ich gleich pennen gehe? Big Laugh

Zeig doch einfach mal, dass die Dimension deines von den beiden Polynomen aufgespannten Unterraums 2 ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Nee, ich penne gleich nochmal ne Runde. Augenzwinkern


ok, ich hab was länger gepennt. Angenehme Mittagsruhe. Wink

evje,

woran siehst du, dass diese beiden Vektoren l.a. sind

evje86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe noch mal nachgeschaut und ich habe keine Ahnung wie ich die Dimension nachweisen kann, ohne dass ich diese in der Zeilenstufenform ablese...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Beantworte meine Frage.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
ok, ich hab was länger gepennt.


Kommst ausm Ruhrpott, wa? Hoffentlich weißt du, dass das schlechtes Deutsch ist. Augenzwinkern
evje86 Auf diesen Beitrag antworten »

daran, dass ich den zweiten Vektor durch den ersten darstellen kann.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi: Glück auf!

@ evje:

und "wie" kannst du ihn durch den ersten Darstellen (nun bohre ich mal richtig. Augenzwinkern )
evje86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme mir vor wie ein Idiot...gut es ist auch so :-)

-5 (2, 2) + (10, 10)= 0
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern Kopf hoch.

"Weil man den zweiten als Vielfaches des ersten Vektors darstellen kann"

Denn nichts anderes ergibt sich aus der allgemeinen Forderung



Nun gebe ich dir zwei neue Vektoren. Wie sieht es mit denen aus? abhängig oder unabhängig? Warum?

evje86 Auf diesen Beitrag antworten »

unabhängig, da lamda 1,2 =0
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Jo. Freude

Welche Basis setzt man bei einem VR voraus, wenn keine angegeben ist?

Was bedeutet dann ausgeschrieben? (Das ist ja eine Koordinatendarstellung bzgl. der Basis)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Welche Basis setzt man bei einem VR voraus, wenn keine angegeben ist?


Keine, da die Frage zu allgemein gestellt ist. Du hast doch schon gemerkt, dass evje auf allgemeine Fragen auch allgemein antwortet. Auf deine Frage kann man aber nicht allgemein antworten.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bei uns wurde gesagt, wenn nicht explizit eine angegeben ist, dass man die "Standardeinheitsbasis" nehmen soll. "Ich löse mich daher nun mal auf" (und bin weg Augenzwinkern )



Eine Basis des Polynomvektorraums bildet die Monombasis. . Die größte Potenz, die bei dir vorkommt ist 3, daher schauen wir uns den VR mit der Basis an. du hast die beiden Polymone:





Bezüglich der Monombasis haben diese "Vektoren" die Darstellung:



Du hast nun schon gezeigt, dass sie linear unabhängig sind. Eine andere Idee wäre es den sich zu überlegen, da wir nur 2 Vektoren haben, dass einer ein Vielfaches des anderen sein muss. Geht das denn hier? Kann man ein Polynom vom Grad 3 durch ein Polynom vom Grad 2 darstellen? Nein. Darauf hat WebFritzi schon am Anfang angespielt.
evje86 Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt mal eine ganz blöde Frage. Kann ich nicht einfach die zwei Polynome in eine Matrix schreiben. Das Gausche Eliminationsverfahren durchführen. dadurch dann die Basis erhalten und daraus dann schließen, dass W= dim2???
Ich habe einfach ein Problem mit diesen Polynomen...ich weiß nicht, wie ich die behandeln muss
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe mein letztes Psot. Das haben wir im Grunde schon getan. Augenzwinkern
evje86 Auf diesen Beitrag antworten »

ach das war Quatsch was ich geschrieben habe, habe ich gerade selber gemerkt...Trotzdem Danke für die Mühe....
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Bei uns wurde gesagt, wenn nicht explizit eine angegeben ist, dass man die "Standardeinheitsbasis" nehmen soll.


Was ist denn die Standardbasis des Unterraums span{(1,2)} des IR² ? Oder (da du auch nichts von Dimensionen geschrieben hast) die Standardbasis des Vektorraums der stetigen Funktionen auf [0,1] ?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von evje86
ach das war Quatsch was ich geschrieben habe, habe ich gerade selber gemerkt...


Nein, es war kein Quatsch. Nimm dir beispielsweise die Polynome 5x + 8 und 3x + 1. Diese als Spaltenvektoren in einer Matrix wäre



Jetzt Gauß, und du hast deine Dimension. Allerdings ist dieses Verfahren nur erlaubt, wenn du es begründen kannst. Und das ist meistens ein Problem für Menschen, die in der linearen Algebra nicht so bewandert sind. Also lieber lassen.

Stattdessen würde ich dir raten, die lineare Ab- oder Unabhängigkeit von Polynomen mit der Definition der linearen Unabhängigkeit zu untersuchen (bzw. zu zeigen). Das geht dann am Ende über Koeffizientenvergleich und lösen eines homogenen LGS.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von evje86
ach das war Quatsch was ich geschrieben habe, habe ich gerade selber gemerkt...Trotzdem Danke für die Mühe....


Hast du denn verstanden, was ich geschrieben hab beim letzten längeren Post?

@WebFritzi:
ich habe schlecht formuliert, da ich ja meine erwartete Antwort kannte und daher andere Auffassungen/Möglichkeiten nicht bedacht hatte. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
@WebFritzi:
ich habe schlecht formuliert, da ich ja meine erwartete Antwort kannte und daher andere Auffassungen/Möglichkeiten nicht bedacht hatte. Augenzwinkern


Schöne Selbstreflexion. Augenzwinkern Das ist doch meistens so. Genau wie bei all den Leuten hier, die irgendwelche Symbole verwenden ohne sie zuvor definiert zu haben. Augenzwinkern
evje86 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denke schon, dass ich verstanden habe, was geschrieben hast.

Ich habe das so interpretiert. Wenn ich die gegebenen Polynome mit Hilfe der Momonbasis B3 zu Vektoren umforme, dann kann ich anhand dieser die lineare Unabhängigkeit zeigen.
Da die Polynome also linear unabhängig sind, schließe ich dann darauf, dass diese eine Art Basis bilden. Da die Basis aus zwei Polynomen besteht, kann ich dann daran ablesen, dass der Untervektorraum die Dimension 2 hat...???????
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom und Untervektorraum
Zitat:
Original von evje86
Hallo, folgende Aufgabe habe ich zu lösen:

Es sei W ein Untervektorraum von R(t) der von den Polynomen t^3 -2t^2 +5, t^2+ 3t -4 aufgespannt wird.

Bestimme die möglichen Dimensionen von W.

Ich kann mit dieser Aufgabe leider gar nichts anfangen. Kann mir jemand einen Tip geben?

Danke




Da die beiden Polynome (Vektoren) linear unabhängig sind, beträgt



Und die beiden Polynome sind eine Basis von W. Freude Da W der span der Vektoren ist, wären sie immer ein Erzeugendensystem, nur im linear unbahngigen Fall - wie hier - sind sie auch eine Basis.
evje86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann Danke ich dir, Euch, für die Hilfe....Ging ja jetzt auch ewig, aber ich denke, dass ich das Prinzip verstanden habe....DANKE

Lg
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