kurze frage zu (z²)²

25.10.2008, 11:03

Taga

kurze frage zu (z²)²

meine angabe: (E...Element)

R:={((a,b),(a´,b´)) E (Z²)² I b´a - b a´ = 0}

nun meine frage: ob ich das mit (a,b) und (a´,b´) richtig verstanden habe

wenn ich zb. für (a,b) (2,4) annehme habe ist dann für (a´,b´) (4,16) ?

25.10.2008, 11:09

tigerbine

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RE: kurze frage zu (z²)²
Warum haben wir nur latex hier?

$\begin{eqnarray*} R:=\{\bigl((a,b),(a',b') \bigr)~\in \bigl(\mathbb Z^2 \bigr) ^2|~b'a-ba'=0\} \end{eqnarray*}$

Warum machst du für deinen Vorschlag nicht einfach die Probe?

$\begin{eqnarray*} 16\cdot 2 - 4\cdot 4 \neq 0 \end{eqnarray*}$

25.10.2008, 11:13

Taga

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das ist mir schon bewusst dass wenn ich hierfür die probe mache ungleich null raus kommt...

meine frage ist eher ob es richtig ist dann wenn ich für (a,b) (2,4) annehme,dass ich dann für (a´,b´) schreibe (2²,4²)=(4,16) ? ((2,4) ist nur als bsp gedacht)

kann ich das so machen da ja in der angabe steht (Z²)² ? oder ist es falsch dass ich hier einfach quadriere?

25.10.2008, 11:25

tigerbine

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? Wenn du weißt, dass die Probe falsch ist, dann ist deine Idee wohl auch falsch. geschockt

Das mit dem Z meint etwas anderes

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 = \mathbb Z \times \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Deswegen schreibt man die Elemente als "Vektoren", nur hier eben Zeilenvektoren. Bei IR^2 als Vektorraum würde man wohl eher Spaltenvektoren nehmen. Im Grunde aber egal, Definitionssache. Soll nur zeigen, dass wir 2 Komponenten haben und beide aus Z stammen.

Nun treiben wir es noch einen Schritt weiter. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z^2)^2 = (\mathbb Z \times \mathbb Z) \times (\mathbb Z \times \mathbb Z) \end{eqnarray*}$

25.10.2008, 11:28

WebFritzi

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Herrlich, wie schön Menschen aneinander vorbeireden können...

25.10.2008, 11:37

tigerbine

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25.10.2008, 11:38

Taga

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das mit (Z²)²(ZxZ)x(ZxZ) ist mir auch klar mir war nur nicht sicher wie ich auf (a´,b´) komme..aber danke für deine erklärung

dh wenn (a,b) => (a´,b´)
z.B.:
(1,2) => (1,2)
(1,3) => (1,3)
(2,4) => (2,4)

dh. dass die R eine Äuqivalenzrelation ist? weil bei allen punkten b´a-ba´=0 rauskommt?

ist diese vermutung richtig?

25.10.2008, 11:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von Taga
das mit (Z²)²(ZxZ)x(ZxZ) ist mir auch klar

Das glaube ich nicht, denn sonst hättest du hier keine Frage gestellt.

25.10.2008, 11:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von Taga
dh wenn (a,b) => (a´,b´)
z.B.:
(1,2) => (1,2)
(1,3) => (1,3)
(2,4) => (2,4)

dh. dass die R eine Äuqivalenzrelation ist? weil bei allen punkten b´a-ba´=0 rauskommt?

ist diese vermutung richtig?

Natürlich ist ((x,y),(x,y)) für alle x,y aus Z in R enthalten. Was das aber nun mit einer Äquivalenzrelation zu tun haben soll, ist mir schleierhaft.

25.10.2008, 11:45

tigerbine

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@ WebFritzi:
Augenzwinkern

@ Taga

Hier kommen mir einige Schritte zu schnell.

$\begin{eqnarray*} R:=\{\bigl((a,b),(a',b') \bigr)~\in \bigl(\mathbb Z^2 \bigr) ^2|~b'a-ba'=0\} \end{eqnarray*}$

schauen wir uns die Bedingung an

$\begin{eqnarray*} b'a-ba'=0 \end{eqnarray*}$

Mit den Rechenregeln für ganz Zahlen darf man auch schreiben

$\begin{eqnarray*} b'a=ba' \end{eqnarray*}$

Die ersten Elemente von R sind schnell gefunden (wie bei dir)

$\begin{eqnarray*} b'=b,a=a' \end{eqnarray*}$

Gibt es noch mehr? Begründung für ja oder nein müssen nun erstmal gebracht werden, bevor man sich mit imho weiter mit Eigenschaften beschäftigen sollte. Gerade da du wohl sehr gerne von "Beispielen" schlussfolgerst.

25.10.2008, 12:07

firemansam

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da ich mir gerade an so einem ähnlichen beispiel die zähne ausgebissen habe, nur eine kurze frage...

darf ich das so verstehen, dass diese relation nur reflexiv ist - und sonst nichts? weil nur die elemente in der diagonale in relation zu einander stehen...?

kann taga durchaus verstehen, dass sie da ein wenig probleme hat...relationen werden in der schule nicht so direkt gemacht....und dann tut man sich im ersten jahr uni schon etwas schwer....ist mir nicht anders gegangen....

25.10.2008, 12:11

tigerbine

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1. Zum Verständnis wollten wir hier erstmal die Elemente von R näher anschauen.

2. Es ist nicht unsere Aufgabe aus "R" zu raten, dass ihr die Menge ggf. auf "Relation" untersuchen sollt. Dazu bitte Aufgaben komplett einstellen. Augenzwinkern

@ firemansam:

Kannst gerne hier mitmachen, aber erst kümmern wir uns um Punkt 1. Augenzwinkern

Deine Ideen hierzu?

25.10.2008, 12:15

firemansam

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jo - also punkt 1.) reflexivität

r ist reflexiv, weil z.b. (1,2) in relation zu (1,2) steht. genau so wie (3,3) zu (3,3)...

25.10.2008, 12:16

tigerbine

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Nein, so meinte ich das nicht. Wir haben nur erstmal "offensichtliche" Elmente angegeben. Ich möchte nun, dass ihr begründet, warum es nciht mehr gibt, oder eben noch andere angebt. Augenzwinkern

25.10.2008, 12:19

WebFritzi

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Zitat:

Original von tigerbine
2. Es ist nicht unsere Aufgabe aus "R" zu raten, dass ihr die Menge ggf. auf "Relation" untersuchen sollt. Dazu bitte Aufgaben komplett einstellen. Augenzwinkern

Es ist manchmal sehr schwer, dich zu verstehen.

@Taga und firemansam: 6 * 2 = 3 * 4.

25.10.2008, 12:21

firemansam

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jo - es gibt nicht mehr, da sonst die bedingung der relation verletzt wäre....

also dass b´a - a´b =0

oder??

25.10.2008, 12:22

WebFritzi

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Falsch! Siehe meinen letzten Beitrag.

25.10.2008, 12:30

firemansam

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also ist die relation nicht reflexiv?

25.10.2008, 12:31

WebFritzi

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Jetzt scheiß doch erstmal auf das blöde "reflexiv" (bitte um Entschuldigung für den Kraftausdruck). Raff doch erstmal, was für Elemente in der Relation enthalten sind.

25.10.2008, 12:35

tigerbine

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von tigerbine
2. Es ist nicht unsere Aufgabe aus "R" zu raten, dass ihr die Menge ggf. auf "Relation" untersuchen sollt. Dazu bitte Aufgaben komplett einstellen. Augenzwinkern

Es ist manchmal sehr schwer, dich zu verstehen.

Mmh. Im ersten Post wurde etwas über die Elemente von R gefragt. Darauf bezogen sich meine Antworten. Nun kommt noch ein Fragesteller, und beide wollen R auf Relationseigenschaften testen, ohne dass sie erwähnen, dass das im Grunde die Aufgabe ist. Das wird einfach unterschwellig hingeschrieben - in der Form - "Elemente gefunden => daher ist Relation ..." Da gegen wehre ich mich. Augenzwinkern

25.10.2008, 12:35

firemansam

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also: ich habe 2 mengen von tupel - also eigentlich bin ich dann im R^4 - oder?

und dann hab ich also immer 4er vektoren in der menge...

tut mir leid.... aber ich steh glaub ich heute ein bisschen auf der leitung....

25.10.2008, 12:38

WebFritzi

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Wenn, dann bist du im Z^4.

25.10.2008, 12:40

firemansam

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jo . mein ich ja... also ist das mal richtig....?

25.10.2008, 12:42

WebFritzi

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Nein. Z^4 und (Z^2)^2 sind zwar in gewissem Sinne isomorph, aber dennoch sind es verschiedene Mengen.

25.10.2008, 12:48

firemansam

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puh... isomorph...was heißt denn das wieder...egal...

irgendwie wird das ganze immer komplexer....für mich...

hmmm...

also. ich habe auf (ZxZ)x(ZxZ) eine relation a´b - ab´= 0

also ZxZ sind tupel im Z^2; dann sind das insgesamt 2 tupel, die immer in relation zueinander stehen oder?

25.10.2008, 12:56

WebFritzi

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Ich denke (und hoffe), dass du das richtige meinst.

25.10.2008, 12:59

firemansam

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oke.... und dann schau ich mir die relation zwischen den elementen genauer an...also ich setze einzelne tupel in die bedingung ein und teste, ob das richtige rauskommt... wobei das eine tupel (a,b) ist und das zweite (a´, b´)

ist das soweit richtig?

25.10.2008, 13:06

WebFritzi

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Das kannst du machen, um zu testen, ob ((a,b),(a',b')) in der Relation enthalten ist, ja.

25.10.2008, 13:10

firemansam

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jo - und dann sehe ich, dass z.B.: 6*2=4*3 ist... also sind (6,3) und (4,2) in relation....

und aus diesen vergleichen einzelner tupel kann ich dann auf die gesamte menge rückschließen...
und dann erkennen, welche bedingungen auf diese relation zutreffen... ( reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv.....)

ist das korrekt so?

25.10.2008, 13:15

WebFritzi

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Ich denke und hoffe wieder einmal, du meinst das richtige.

Und es ist richtig, dass (6,3) und (4,2) in Relation stehen, ja. Genauso stehen z.B. (3,2) und (6,4) in Relation.

25.10.2008, 13:18

firemansam

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puh - oke... und das heißt dann also, ich muss mir, um einzelne eigenschaften herauszufinden, einige tupel anschauen.. also eigentlich einen haufen davon...

oder gibt es da eine schnellere methode?

25.10.2008, 13:25

WebFritzi

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Du musst natürlich die gesamte Relation (also die Menge von Tupeln) betrachten. Das sind hier z.B. unendlich viele Elemente.

25.10.2008, 13:27

firemansam

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jo - is klar... aber i denk mal dass sich da eine gewisse systematik dahinter verbirgt... also sollte es doch genügen, dass ich mir die ersten 5 tupel anschaue...so ca.... und dann rückschlüsse drauf mache, wie es weiter gehen würde....
aber trotz allem summe sumarum viel arbeit....

25.10.2008, 14:26

tigerbine

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Die Kurze Frage war wohl doch etwas länger

$\begin{eqnarray*} R:=\{\bigl((a,b),(a',b') \bigr)~\in \bigl(\mathbb Z^2 \bigr) ^2|~b'a-ba'=0\} \end{eqnarray*}$

schauen wir uns die Bedingung an

$\begin{eqnarray*} b'a-ba'=0 \end{eqnarray*}$

Mit den Rechenregeln für ganz Zahlen darf man auch schreiben

$\begin{eqnarray*} b'a=ba' \end{eqnarray*}$

Die ersten Elemente von R sind schnell gefunden (wie bei dir)

$\begin{eqnarray*} b'=b,a=a' \end{eqnarray*}$

Gibt es noch weitere? Sicherlich. a,a',b,b' sind ganze Zahlen. Betrachten wir den Betrag, so können wir jeder Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung geben

$\begin{eqnarray*} a=\prod_i p_i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b'=\prod_j p_j \end{eqnarray*}$

Diese Faktoren, ggf. anders kombiniert ergeben dann a' und b. Das Vorzeichen des Produkts muss gleich sein. So kommt Webfritzi zum Beispiel auf:

Zitat:

(a,b)= (6,3) und (a',b')= (4,2)

Auf Grund der Gestallt der Menge R, kann man diese als Relation betrachten $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 \times \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$ . Nun vermute ich, ihr sollt prüfen, ob diese Relation gewisse Eigenschaften hat?

$\begin{eqnarray*} R \subseteq \mathbb Z^2 \times \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$

Die Relation ist also homogen.

$\begin{eqnarray*} ba-ba=0 \Rightarrow (a,b) \text{ fuer } \in \mathbb Z^2 \text{ ist } ((a,b) \times (a,b)) \in R \end{eqnarray*}$

Die Relation ist reflexiv.

Welche Eigenschaften sollt ihr denn noch untersuchen?

25.10.2008, 14:41

firemansam

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oke... also ist sie reflexiv... dann sollen wir noch zeigen, ob sie symmetrisch und transitiv ist...also insgesamt, ob es sich um eine äquivalenzrelation handelt...

25.10.2008, 14:46

tigerbine

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Ok. Ist sie symmetrisch?

25.10.2008, 14:52

firemansam

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jop - denk ich schon.....

wenn man die elemente von von (6,3) und (4,2) einfach umdreht, dann kommt das gleiche raus... also 12 - 12 = 0 - "bedingung" erfüllt...

also symmetrisch...

25.10.2008, 14:54

tigerbine

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Benutze die allgemeine Rechenvorschrift und nicht ein Beispiel. Das funktioniert nur, wenn es ein Gegenbeispiel ist.

25.10.2008, 15:00

firemansam

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$\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ a R b $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ b R a

25.10.2008, 15:05

tigerbine

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Da steht kein Beweis, wo du die Definition von R benutzt.

Genauso könnte ich einfach schreiben: