Schnittpunkt von Waagerechter und Kurve

25.10.2008, 11:05

Esther-Eileen

Schnittpunkt von Waagerechter und Kurve

Ich brauch mal ganz dringend Hilfe, bin in der 11 und komm bei meinen Hausaufgaben nich weiter unglücklich

Funktion lautet: f(x) = -1/18x³+2x

Zuerst sollten wir die Gleichung einer Waagerechten bestimmen, die die Funktion im Punkt Q mit xq > 0 berührt.
Also hab ich die Ableitung von f gleich null gesetzt..
-1/6x²+2 = 0
so kam ich auf x= wurzel 12 oder -wurzel 12.. man sollte ja den positiven nehmen also wurzel 12 smile

Das ganze dann in die Ursprungsgleichung eingesetzt..
f(x) = - 1/18 x wurzel12³ + 2 x wurzel12
Dann komm ich auf y= ungefähr 4,619 für die Gleichung der Waagerechten..

So und in der nächsten Aufgabe sollten wir dann den Punkt T suchen, in dem sich die Waagerechte mit der Funktion schneidet.. (xt diesmal kleiner null)

Also Gleichsetzen oder?
Nur kann ich 4,619 = -1/18x³ + 2x nicht lösen!
X ausklammern bringt ja nix wenn nicht null auf der anderen Seite steht?!
Und in f' darf mans doch nich einsetzen oder? Dann kriegt man ja nich den Schnittpunkt..

Ich hoff mal ihr könnt mir helfen, vll is in den vorherigen Schritten ja auch schon iwo der Wurm drin..
Danke im Vorraus smile

25.10.2008, 11:19

tigerbine

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Dringend ist hier fast alles.

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{18}x³+2x \end{eqnarray*}$

Waagerechte Tangente => Wo sind die Extremwerte => Kandidaten sind Nullstellen der ersten Ableitung Freude

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -\frac{1}{6}x^2+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Man soll den postiven x-Wert nehmen. Freude

Aufgrund der Parabelgestalt der Ableitung liegt dort ein VZW von + nach - vor, also liegt bei f dort ein lokales Maximum vor. Zeichnen wir das mal ein.

Den gesuchten Schnittpunkt siehst du, deine Idee ist auch richtig. Allerdings, setzte nicht das gerundete Ergebnis ein.

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{18}x³+2x = -\frac{12}{18} \cdot \sqrt{12} + 2\sqrt{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{18}x³+2x = -\frac{2}{3} \cdot \sqrt{12} + 2\sqrt{12} \end{eqnarray*}$

Nun bedenke, dass du schon eine Lösung dieser Gleichung kennst. Die Tangente berührt ja auch. Wie kannst du dieses Wissen für dich nutzen?

25.10.2008, 12:15

Esther-Eileen

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Also der Berührpunkt is auch ne Lösung der Gleichung, aber von dem hab ich doch auch nur den y-Wert genau wie beim Schnittpunkt..
Dann kann ich von beiden die x Werte doch nur durch Einsetzen rauskriegen oder nich?

25.10.2008, 12:17

tigerbine

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? du kennst doch auch den x-Wert des Berührpunktes. Nochmal in Ruhe meine Rechnung lesen. Augenzwinkern

25.10.2008, 12:23

Esther-Eileen

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Achja der is ja Wurzel 12..
Also is der Berührpunkt (Wurzel12 / -2/3 x Wurzel12 + 2 x Wurzel12)
Sorry für die Schreibweise Big Laugh

Aber damit hab ich doch immer noch nich den andern x Wert?? unglücklich

25.10.2008, 13:41

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{18}x³+2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}= \sqrt{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{1}= -\frac{2}{3} \cdot \sqrt{12} + 2\sqrt{12} = \frac{4}{3}\sqrt{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)-t(x) = -\frac{1}{18}x³+2x - \frac{4}{3}\sqrt{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -\frac{1}{18}x³+2x - \frac{4}{3}\sqrt{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -\frac{1}{18}x³+\frac{36}{18}x - \frac{24}{18}\sqrt{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -\frac{1}{18}(x³-36x +24\sqrt{12}) \end{eqnarray*}$

Eine Lösung ist

$\begin{eqnarray*} x_{1}= \sqrt{12} \end{eqnarray*}$

Nun kann man durch Polynomdivision durch $\begin{eqnarray*} (x-\sqrt{12}) \end{eqnarray*}$ den Grad um 1 Reduzieren, dann hast du eine quadratische Gleichung und kannst eine Lösungsformel anwenden.

Ein anderer Weg geht über folgende Überlegung. Wie viele Nullstellen kann ein Polynom vom Grad 3 maximal haben? 3 Wie viele hat es mindestens? 1. Kann es auch nur 2 haben? Nein. (Ich weiß nun nicht, wie weit ihr da schon argumentiert habt in der Schule, daher lasse ich gerade mal den theoretischen Hintergrund. Wenn ihr das Wissen noch nicht habt, müssen wir zurück zu Variante 1)

Wie sieht die Ableitung von f-g aus? Da g eine konstante Funktion ist

$\begin{eqnarray*} (f(x)-g(x))' = f'(x) \end{eqnarray*}$

x1 war Nullstelle der Ableitung f', also nun auch von (f-g)'. Damit ist bei x1 eine doppelte Nullstelle. Wir können also schreiben:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{18}(x³-36x +24\sqrt{12}) = -\frac{1}{18}(x-x_3)(x-x_1)^2 \end{eqnarray*}$

Das können wir dann ber Koeffizientenvergleich lösen.

$\begin{eqnarray*} x³-36x +24\sqrt{12} = (x-x_3)(x-\sqrt{12})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x³-36x +24\sqrt{12} = (x-x_3)(x^2-2\sqrt{12}x+12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x³-36x +24\sqrt{12} = x^3-2\sqrt{12}x^2+12x-x_3x^2+2\sqrt{12}x_3x-12x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x³-36x +24\sqrt{12} = x^3-(2\sqrt{12}+x_3)x^2+(12+2\sqrt{12}x_3)x-12x_3 \end{eqnarray*}$

Links steht ga kein x², also muss gelten:

$\begin{eqnarray*} x_3 = -2\sqrt{12} \end{eqnarray*}$

Weitere Proben zeigen

$\begin{eqnarray*} (12+2\sqrt{12}( -2\sqrt{12})) = 12-4\cdot 12 = -36 \end{eqnarray*}$ Freude

$\begin{eqnarray*} -12( -2\sqrt{12}) = 24\sqrt{12} \end{eqnarray*}$ Freude

also haben wir die Lösung gefunden.

$\begin{eqnarray*} x_3 \approx -6.93 \end{eqnarray*}$

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