Beweis

25.10.2008, 11:35

Svenja1986

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Beweis

Es seien M und N nichtleere Mengen und
$\begin{eqnarray*} f: M \rightarrow N \end{eqnarray*}$ eine Abbildung.

Beweisen Sie bitte die Aussage, dass für $\begin{eqnarray*} \mathcal{V} \subset \mathcal{P}(N) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{-1} ( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Einen Ansatz hab ich noch net wirklich.

$\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ steht ja für die Umkehrfunktion...

Aber wie ich da jetzt anfangen soll Erstaunt1

Erstaunt1

25.10.2008, 11:47

Jacques

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Hallo,

Nein,

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ (A ist Teilmenge der Zielmenge von f)

steht für das „Urbild von f unter A“, also die Menge aller Stellen, deren Funktionswerte in A liegen:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) := \{ x \in D_f \,|\, f(x) \in A \} \end{eqnarray*}$

Also man betrachtet mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{V} \end{eqnarray*}$ irgendeine Menge von Teilmengen von N.

Dann bildet man einmal den Schnitt dieser Teilmengen und davon dann das Urbild.

Und einmal bildet man erst von jeder Menge einzeln das Urbild und anschließend schneidet man diese Urbildmengen.

Laut Behauptung ist beides dasselbe.

Die Vorgehensweise wäre hier:

Beweise, dass

$\begin{eqnarray*} f^{-1} ( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V) \subseteq \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) \subseteq f^{-1} ( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V) \end{eqnarray*}$

Sei

$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1} ( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V) \end{eqnarray*}$

Dann gilt ...

25.10.2008, 11:53

Svenja1986

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Zitat:

Original von Jacques
Also man betrachtet mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{V} \end{eqnarray*}$ irgendeine Menge von Teilmengen von N.

Dann bildet man einmal den Schnitt dieser Teilmengen und davon dann das Urbild.

Und einmal bildet man erst von jeder Menge einzeln das Urbild und anschließend schneidet man diese Urbildmengen.

Laut Behauptung ist beides dasselbe.

Kapiert.

Freude

Zitat:

Original von Jacques

Die Vorgehensweise wäre hier:

Beweise, dass

$\begin{eqnarray*} f^{-1} ( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V) \subseteq \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) \subseteq f^{-1} ( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V) \end{eqnarray*}$

Sei

$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1} ( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V) \end{eqnarray*}$

Dann gilt ...

Keine Ahnung...?? Tränen

Tränen

25.10.2008, 12:03

Jacques

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Zitat:

Original von Svenja1986

Keine Ahnung...?? Tränen

Tränen

Du musst zuerst doch nur die Definition anwenden:

$\begin{eqnarray*} f^{-1} \left( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V \right) = \{ x \in M \,|\, ? \} \end{eqnarray*}$

// Vielleicht als Tipp: Du kannst komplexe Ausdrücke ja erstmal umbenennen, dann ist die Übersichtlichkeit größer, und man versteht die Struktur besser:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V =: \mathfrak{D} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathfrak{D}) = \{x \in M \,|\, ? \} \end{eqnarray*}$

25.10.2008, 12:04

WebFritzi

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Tja, das ist schlecht. Du musst hier doch nur einsetzen. Schau dir Jaques Definition für die Urbildmenge $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ an. Die Frage ist: was ist hier A? Wenn du das siehst, setzt du einfach in die Definition ein.

25.10.2008, 12:22

Svenja1986

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$\begin{eqnarray*} f^{-1}( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V) := \{ x \in D_f \,|\, f(x) \in ( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V) \} \end{eqnarray*}$

So?

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25.10.2008, 12:25

Jacques

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Genau so.

Freude

Also ich habe gerade gesehen, dass man sofort die Gleichheit der Mengen beweisen kann -- ohne in beide Richtungen die Teilmengenbeziehung zu zeigen.

Zu beweisen ist jetzt also:

Für jedes Objekt a gilt: a ist genau dann Element der linken Menge, wenn a Element der rechten Menge ist.

Sei a ein beliebiges Objekt. Es gilt

$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}\left( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V\right) \end{eqnarray*}$

genau dann, wenn ... ?

25.10.2008, 13:48

Svenja1986

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$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}\left( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V\right) = a \in \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) \end{eqnarray*}$

So?^^

25.10.2008, 13:57

Jacques

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Das ergibt wenig Sinn. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein, Du musst die Definition anwenden.

Ich schlage der Übersichtlichkeit halber vor, folgende Ersetzung zu machen:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V =: \mathfrak{D} \end{eqnarray*}$

Du hast korrekterweise festgestellt:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathfrak{D}) = \{x \in M \,|\, f(x) \in \mathfrak{D} \} \end{eqnarray*}$

Sei a ein beliebiges Objekt. Genau wann gilt, dass a Element der obigen Menge ist?

$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(\mathfrak{D}) \ \Longleftrightarrow\ \left(a \in M \ \wedge f(a) \in \mathfrak{D}\right) \end{eqnarray*}$

OK?

Für die nächsten Schritte machst Du die obige „D-Ersetzung“ rückgängig.

Die Frage ist wieder:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V := \{ x \,|\, ? \} \end{eqnarray*}$

Und anschließend:

Genau wann gilt also, dass f(a) Element des obigen Durchschnitts ist?

// Eine Bitte noch: Bleibe auch mal für einen Moment online. Wenn Du jetzt alle zwei Stunden ein kleines „Häppchen“ aufschreibst, kann keiner von uns einen vernünftigen Gedanken fassen.

25.10.2008, 16:07

Svenja1986

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Zitat:

Original von Jacques

$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(\mathfrak{D}) \ \Longleftrightarrow\ \left(a \in M \ \wedge f(a) \in \mathfrak{D}\right) \end{eqnarray*}$

OK?

Ok

smile

Zitat:

Original von Jacques

Die Frage ist wieder:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V := \{ x \,|\, ? \} \end{eqnarray*}$

Und anschließend:

Genau wann gilt also, dass f(a) Element des obigen Durchschnitts ist?

Da komme ich grad nicht so ganz mit... unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Jacques
// Eine Bitte noch: Bleibe auch mal für einen Moment online. Wenn Du jetzt alle zwei Stunden ein kleines „Häppchen“ aufschreibst, kann keiner von uns einen vernünftigen Gedanken fassen.

Bin jetzt online Tanzen

Tanzen

25.10.2008, 16:26

Svenja1986

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$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V := \{ x |\, x \in M \wedge f(x) \in \bigcap_{V \in \mathcal{V}} \} \end{eqnarray*}$ ??????????

Hammer

Hammer

25.10.2008, 16:37

Jacques

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Nee, irgendwelche f(x) kommen bei der Definition dieser Menge gar nicht vor.

Allgemein: Wie lautet die Definition von

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{A \in M}A \end{eqnarray*}$

?

25.10.2008, 17:12

Svenja1986

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Weiß nicht... Steh grad voll auf dem Schlauch... traurig

traurig

25.10.2008, 17:17

Jacques

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Ich meine einfach die Definition des Symbols

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{A \in M}A \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das?

25.10.2008, 17:19

Svenja1986

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Die Schnittmenge einer Teilmenge von A ?

25.10.2008, 17:26

Jacques

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Nein, der Durchschnitt über einem Mengensystem:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{A \in M}A := \{ x \,|\, \textrm{für alle } A \in M \textrm{ gilt } x \in A \} \end{eqnarray*}$

In dem Durchschnitt liegen genau diejenigen Objekte, die Element von jeder Menge A des Systems M sind. Also man bildet quasi

$\begin{eqnarray*} A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \ldots \end{eqnarray*}$

(wobei A1, A2, ... eben alle Elemente von M sind. Die Schreibweise mit den Auslassungspunkten ist natürlich nur „umgangsprachlich“, also formal nicht korrekt!)

Frage doch nach, wenn Du ein Zeichen nicht kennst. Denn es hat wenig Sinn, eine Aussage beweisen zu wollen, die man gar nicht versteht.

Ist denn jetzt alles klar?

25.10.2008, 17:35

Svenja1986

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Ok, jetzt ist etwas klarer.
Aber mit dem Beweis weiß ich trotzdem nicht so recht weiter...

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V := \{ x \, | \, \textrm {für alle} \,V \in \mathcal{V} \,\textrm {gilt} \, x \in V \} \end{eqnarray*}$

So richtig?

25.10.2008, 17:40

Jacques

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Genau so.

Freude

Und um nicht nur rumzunörgeln:

Finde ich klasse, dass Du von Anfang an den Formeleditor benutzt. Das machen leider nicht alle. Big Laugh

Big Laugh

Der letzte Stand war:

$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(\mathfrak{D}) \ \Longleftrightarrow\ (a \in M \ \wedge \underbrace{f(a) \in \mathfrak{D}}) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V =: \mathfrak{D} \end{eqnarray*}$

Der interessante Teil ist unterklammert.

Du hast korrekt festgestellt:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V := \{ x \, | \, \textrm {für alle} \,V \in \mathcal{V} \,\textrm {gilt} \, x \in V \} \end{eqnarray*}$

Also liegt f(a) genau dann in dem Durchschnitt, wenn ... ?

25.10.2008, 17:46

Svenja1986

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Also liegt f(a) genau dann in dem Durchschnitt, wenn ...

$\begin{eqnarray*} f(a) \in \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V \end{eqnarray*}$

25.10.2008, 17:52

Jacques

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Das bedeutet ja nur: f(a) liegt genau dann im Durchschnitt, wenn f(a) im Durchschnitt liegt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich meinte:

Man kann doch konkret angeben, genau wann f(a) im Schnitt liegt:

$\begin{eqnarray*} f(a) \in \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V \ \Longleftrightarrow\ \textrm{für alle }V \in \mathcal{V} \textrm{ gilt } f(a) \in V \end{eqnarray*}$

OK?

Und wenn Dir das klar ist, dann ersetze

$\begin{eqnarray*} f(a) \in \mathfrak{D} \end{eqnarray*}$

unten durch die konkrete Aussage.

Was kommt dann am Ende heraus?

// edit: Ich bin in ca. einer Stunde wieder online.

25.10.2008, 18:05

Svenja1986

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Zitat:

Original von Jacques
Ich meinte:

Man kann doch konkret angeben, genau wann f(a) im Schnitt liegt:

$\begin{eqnarray*} f(a) \in \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V \ \Longleftrightarrow\ \textrm{für alle }V \in \mathcal{V} \textrm{ gilt } f(a) \in V \end{eqnarray*}$

OK?

Ok. Das kann ich vollkommen nach vollziehen, aber trotzdem weiß ich nicht wirklich was du hiermit:

Zitat:

Original von Jacques

Und wenn Dir das klar ist, dann ersetze

$\begin{eqnarray*} f(a) \in \mathfrak{D} \end{eqnarray*}$

unten durch die konkrete Aussage.

Was kommt dann am Ende heraus?

meinst...

25.10.2008, 20:11

Jacques

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Ich meine Folgendes:

Wir hatten

$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(\mathfrak{D}) \ \Longleftrightarrow\ (a \in M \ \wedge \underbrace{f(a) \in \mathfrak{D}}) \end{eqnarray*}$

Und die unterklammerte Aussage hattest Du konkretisiert, d. h. eine gleichwertige Aussage gefunden:

$\begin{eqnarray*} f(a) \in \mathfrak{D} = \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V \ \Longleftrightarrow\ \textrm{für alle }V \in \mathcal{V} \textrm{ gilt } f(a) \in V \end{eqnarray*}$

Und Du sollst jetzt einfach die oben unterklammerte Aussage durch die gleichwertige Aussage ersetzen.

Mache Dir das Prinzip nochmal klar:

[Die linke Menge soll C1 heißen, die rechte C1]

Die Behauptung lautet:

C1 = C2

Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente haben. Um das zu zeigen, muss man folgendes nachweisen: Wenn irgendein Objekt a Element von C1 ist, dann ist es auch gleichzeitig Element von C2 und umgekehrt.

Damit ein Objekt a Element von C1 sein kann, muss es ganz bestimmte Eigenschaften erfüllen (die Du gerade festgestellt hast: a muss Element von M sein, und f(a) muss Element des Durchschnitts D sein). Jetzt ist zu zeigen, dass C2 genau dieselben (d. h. gleichwertige) „Anforderungen“ stellt. Denn das würde bedeuten: Wenn ein Objekt a Element von einer der beiden Mengen ist, dann ist es immer auch Element der jeweils anderen Menge. Kurzum: Beide Mengen haben dieselben Elemente.

Das ist das Prinzip.

Also es ist quasi so, dass man die Definitionen von C1 und C2 „auflöst“, damit man ihre Gleichwertigkeit zeigen kann.

25.10.2008, 22:05

Svenja1986

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Zitat:

Original von Jacques
Und Du sollst jetzt einfach die oben unterklammerte Aussage durch die gleichwertige Aussage ersetzen.

$\begin{eqnarray*} [\exists V \in \mathcal{V}: f(x) \in V] \end{eqnarray*}$

?

25.10.2008, 23:06

Jacques

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Na ja, $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ist doch der Existenzquantor. Für die Aussage brauchst Du aber den Allquantor.

Wobei ich eigentlich nicht meinte, dass Du den Ausdruck formalisieren sollst. Sondern Du solltest bei

$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(\mathfrak{D}) \ \Longleftrightarrow\ (a \in M \ \wedge \underbrace{f(a) \in \mathfrak{D}}) \end{eqnarray*}$

den unterklammerten Ausdruck durch die gleichwertige Aussage

$\begin{eqnarray*} \textrm{für alle }V \in \mathcal{V} \textrm{ gilt } f(a) \in V \end{eqnarray*}$

ersetzen.

So:

$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(\mathfrak{D}) \ \Longleftrightarrow\ (a \in M \ \wedge \textrm{für alle }V \in \mathcal{V} \textrm{ gilt } f(a) \in V) \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie habe ich das missverständlich formuliert.

OK, die nächsten Schritte müsstest Du übernehmen, denn sonst ist die Gefahr, dass am Ende zwar der Beweis fertig ist, aber Du nicht viel verstanden hast.

Wie geht es weiter? Hast Du gelesen, was ichzum Prinzip geschrieben habe?

26.10.2008, 08:09

Svenja1986

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Zitat:

Original von Jacques
$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(\mathfrak{D}) \ \Longleftrightarrow\ (a \in M \ \wedge \textrm{für alle }V \in \mathcal{V} \textrm{ gilt } f(a) \in V) \end{eqnarray*}$

Aber das könnte man ja auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(\mathfrak{D}) \ \Longleftrightarrow\ (a \in M \ \,|\, \forall \, V \in \mathcal{V}: f(a) \in V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \bigcap_{ V \in \mathcal{V}} \{a\, |\, f(a) \in V\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \bigcap_{ V \in \mathcal{V}} f(V) \end{eqnarray*}$

26.10.2008, 12:17

Svenja1986

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Stimmt das soweit? Wie gehts jetzt weiter?

26.10.2008, 13:02

Jacques

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Nein, das stimmt -- zumindest formal -- noch nicht. Du kannst den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} a \in M \ \wedge \textrm{für alle }V \in \mathcal{V} \textrm{ gilt } f(a) \in V \end{eqnarray*}$

natürlich formalisieren zu

$\begin{eqnarray*} a \in M \ \wedge\ \forall\, V \in \mathcal{V}:f(a) \in V \end{eqnarray*}$

Aber bei Dir müsste anstelle des senkrechten Strichs (für was?) ein UND stehen.

Und zweitens machst Du erneut den Fehler, die Mengen- und die Logikebene durcheinanderzubringen:

Was soll ein Ausdruck wie

$\begin{eqnarray*} (x \in X \Longleftrightarrow\ y \in Y) = \{1, 2\} \end{eqnarray*}$

bedeuten? Wie kann eine Aussage mit einer Menge identisch sein?

Ich weiß ungefähr, worauf Du hinauswillst, aber Du musst es natürlich auch korrekt aufschreiben.

Vielleicht als Tipp: Kommentiere Deine Schritte auch mal, dann sind sie a) für uns noch besser nachzuvollziehen und b) machst Du Dir die Überlegungen selbst nochmal klar.

26.10.2008, 13:20

Svenja1986

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Ok, dann müsste das also so aussehen:
$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(\mathfrak{D}) \ \Longleftrightarrow\ (a \in M \ \,\wedge \, \forall \, V \in \mathcal{V}: f(a) \in V) \end{eqnarray*}$

Wie kann man dann weiter machen?
Ich finde die Aufgabe irgendwie voll schwer Finger1

Finger1

traurig

26.10.2008, 13:25

Jacques

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Zitat:

Original von Svenja1986

Ok, dann müsste das also so aussehen:
$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(\mathfrak{D}) \ \Longleftrightarrow\ (a \in M \ \,\wedge \, \forall \, V \in \mathcal{V}: f(a) \in V) \end{eqnarray*}$

Das stimmt.

Zitat:

Original von Svenja1986Wie kann man dann weiter machen?

Überlege doch mal selbst! Was will man überhaupt zeigen? Was fehlt dann also noch?

Zitat:

Original von Svenja1986

Ich finde die Aufgabe irgendwie voll schwer Finger1

Finger1

traurig

Ja, aber wenn ich als Laie das einigermaßen hinbekomme, solltest Du es allemal schaffen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2008, 13:43

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, zu beweisen ist ja immer noch:

$\begin{eqnarray*} f^{-1} ( \bigcap_{V \in \mathcal{V}} V) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) \end{eqnarray*}$

Und das haben wir jetzt aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(\mathfrak{D}) \ \Longleftrightarrow\ (a \in M \ \,\wedge \, \forall \, V \in \mathcal{V}: f(a) \in V) \end{eqnarray*}$

So, und jetzt müsste irgendwie gezeigt werden, dass a auch Element von $\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) \end{eqnarray*}$ ist.

So weit richtig?^^

Ich weiß jetzt halt im Moment gar nicht, wie ich von dem einen zum anderen kommen soll...

26.10.2008, 13:56

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Svenja1986

So weit richtig?^^

Ja, das ist richtig.

Zitat:

Original von Svenja1986

Ich weiß jetzt halt im Moment gar nicht, wie ich von dem einen zum anderen kommen soll...

Genau wann ist denn ein Objekt a Element der anderen Menge?

$\begin{eqnarray*} a \in \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) \ \Longleftrightarrow\ ??? \end{eqnarray*}$

Also Du gehst jetzt wieder wie gerade vor und stellst über die Mengendefinition fest, genau wann ein Objekt a Element der rechten Menge ist.

Am Ende sollte sich herausstellen, dass sie „Forderungen“, welche die Mengen an ihre Elemente stellen, genau identisch sind.

26.10.2008, 14:09

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jacques
Genau wann ist denn ein Objekt a Element der anderen Menge?
$\begin{eqnarray*} a \in \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) \ \Longleftrightarrow\ ??? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \in \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) \ \Longleftrightarrow\ (a \in M \wedge \forall V \in \mathcal{V}: a \in f(V) \end{eqnarray*}$ Erstaunt1

Erstaunt1

26.10.2008, 14:21

Jacques

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Das ist noch nicht richtig.

Schreibe Dir auch hier zuerst die Definition der Menge auf:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) = \{x \, |\, \ ? \} \end{eqnarray*}$

26.10.2008, 14:35

Svenja1986

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$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) = \{x \, |\, \textrm{für alle} V \in \mathcal{V} \textrm{gilt} x \in V\} \end{eqnarray*}$

26.10.2008, 14:48

Jacques

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Nein, das ist nicht richtig.

Mache Dir die allgemeine Definition des Durchschnitts nochmal klar:

(<A> soll irgendeine Menge bezeichnen, in der A vorkommt, z. B. P(A) oder A\{1, 2})

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{A \in B} \langle A \rangle := \{x \,|\, \textrm{für alle } A \in B \textrm{ gilt } x \in \langle A \rangle \} \end{eqnarray*}$

Z. B. also:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{A \in B}\mathcal{P}(A) := \{x \,|\, \textrm{für alle } A \in B \textrm{ gilt } x \in \mathcal{P}(A)\} \end{eqnarray*}$

Wie lautet dann die korrekte Definition?

26.10.2008, 14:52

Svenja1986

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$\begin{eqnarray*} \bigcap_{V \in \mathcal{V}} f^{-1} (V) = \{x \, |\, \textrm{für alle} \, V \in \mathcal{V} \, \textrm{gilt} \, x \in f^{-1}(V)\} \end{eqnarray*}$

26.10.2008, 14:53

Jacques

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Jetzt stimmt es. Freude

Freude

Den Rest schaffst Du allein, oder?

26.10.2008, 14:58

Svenja1986

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Ich denke schon smile

smile

Muss jetzt erstmal alles geordnet aufschreiben Big Laugh

Big Laugh

DANKE

Tanzen

1

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