fog = gof ==> f,g besitzen gleichen EV

03.08.2006, 13:41

Lina1

fog = gof ==> f,g besitzen gleichen EV

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endlich dimensionaler $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum, $\begin{eqnarray*} g,f \end{eqnarray*}$ Endomorphismen mit $\begin{eqnarray*} g \circ f = f \circ g \end{eqnarray*}$ .
Man zeige, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mindestens einen gemeinsamen EV besitzen.

Ich habe so angefangen:
Für einen gemeinsamen Eigenvektor müßte also gelten:
Sei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ein gemeinsamer EV von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} f(r) = ar, \quad g(r) = br \end{eqnarray*}$ für gewisse $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} (f \circ g)(r) = f(g(r)) = f(br) = b f(r) = ag(r) = g(ar) = g(f(r)) = (g \circ f)(r) \end{eqnarray*}$
Also muß man zeigen, daß es $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} ag(r) = bf(r) \end{eqnarray*}$ , also daß es einen Vektor $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ gibt, sodaß $\begin{eqnarray*} f(r) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(r) \end{eqnarray*}$ lin. abhängig sind.

Hat jemand einen Tip für mich - so richtig komme ich nicht weiter.

04.08.2006, 03:15

Ben Sisko

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RE: fog = gof ==> f,g besitzen gleichen EV
Also erstens seh ich nicht so recht, wie man hier einen Tipp geben kann und zweitens ist meine "Lösung" eh noch nicht ganz richtig, denke ich...

Mein Gedanke:

Sei $\begin{eqnarray*} f(r) = ar \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (f \circ g)(r) = f(g(r)) = g(f(r)) = g(ar) = a g(r) \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} g(r) \end{eqnarray*}$ ebenfalls Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Bei nur eindimensionalem Eigenraum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wäre dann $\begin{eqnarray*} g(r) \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , also wäre $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ auch Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Nun muss der Eigenraum aber im Allgemeinen nicht eindimensional sein...

Kann man die Argumentation reparieren? verwirrt

Edit: Es ist noch nicht benutzt, dass wir im Komplexen sind. Bestimmt hilft noch, dass char. Polynom und Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfallen. Ich seh's aber gerade nicht...

04.08.2006, 11:53

Lina1

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Bin leider auch noch nicht durchgedrungen.
Ich denke aber, daß wir uns "nur" wegen der algebraischen Abgeschlossenheit in C befinden - denn sonst besäße nicht einmal jeder Endomorphismus einen Eigenwert.

05.08.2006, 14:28

gast1

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Schreckliche Aufgabe, ich habe wirklich lange darüber nachgedacht und bin nicht auf die Idee gekommen, Induktion nach der Dimension des Vektorraumes zu machen, mit der es ganz einfach geht. Sowas ist immer wieder sehr ärgerlich.
Wende einfach die Induktionsvoraussetzung auf einen Eigenraum von f an, wobei du dir mit der Rechnung von Ben Sisko klar machst, dass f und g Endomorphismen dieses Eigenraumes induzieren.

Ich hoffe, dass ich jetzts nichts übersehen habe.

Gruß
gast1

05.08.2006, 16:32

Ben Sisko

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Hallo gast1,

kannst du deine Idee noch einmal etwas genauer skizzieren?
Insbesondere seh ich den Abstieg der Dimension nicht, da die Dimension des Eigenraums i.A. auch gleich der Dimension des ganzen Raumes sein kann. In dem Fall greift aber keine Induktion.

Gruß vom Ben

PS: Auch ich fänd's gut, wenn du dich mal registrieren würdest smile

05.08.2006, 17:24

gast1

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Hallo Ben Sisko,

sei also U ein Eigenraum von f (ein solcher existiert).
Falls U=V, so ist jeder Eigenvektor von g auch ein Eigenvektor von f (und g hat einen solchen), dieser Fall ist also trivial.

Wir dürfen folglich dim U < dim V voraussetzen und erhalten so die Aussage, da f und g auf U Endomorphismen f1 und g1 induzieren und da ein gemeinsamer Eigenvektor von f1 und g1 auch ein gemeinsamer Eigenvektor von f und g ist.

Gruß
gast1

PS: Ich poste hier nur ganz selten und halte es deshalb nicht wirklich für nötig, mich zu registrieren, aber mal sehen, vielleicht überlege ich es mir noch anders.

05.08.2006, 17:36

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Zumindest könntest du dir auch als Gast einen Namen mit einem höheren Wiedererkennungswert als "gast1" geben. Augenzwinkern

05.08.2006, 17:42

JochenX

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Zitat:

da f und g auf U Endomorphismen f1 und g1 induzieren

Sicher?
Vermutlich ist es nur ein mir entfallener Satz der linearen Algebra, aber warum sind die Eigenräume hier f und g-invariant?

Wenn man deinen Beweis durchliest, merkt man, dass du die gegebene Aussage f°g=g°f gar nicht benutzt. Wenn ich es richtig sehe, braucht man die aber für den Induktionsanfang, den Ben oben geliefert hat.
Schlingel. Augenzwinkern

Bleibt also nur die Frage oben mit der Invarianz.

Gruß, Jochen

PS: Nachteil am Nichtanmelden: jeder, der möchte, kann jetzt als Gast1 posten, was zur Verwirrung führt.

05.08.2006, 17:46

Ben Sisko

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

da f und g auf U Endomorphismen f1 und g1 induzieren

Sicher?
Vermutlich ist es nur ein mir entfallener Satz der linearen Algebra, aber warum sind die Eigenräume hier f und g-invariant?

Sind sie und an dieser Stelle benutzt man auch fg=gf.

Bzgl. Eigenraum hat volle Dimesnion: Hammer

05.08.2006, 17:59

JochenX

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Also die f-Invarianz eines f-Eigenraumes ist klar (ohje, da hatte ich oben einen kleinen Aussetzer).
Aber wieso ist U g-invariant?

zz. g(u) (bel. u in U) ist selbst Eigenvektor zu f zum Eigenwert a (nennen wir ihn halt a Augenzwinkern

).
Dabei gilt also f(u)=au
zz. f(g(u))=ag(u)
Dabei ist f(g(u))=g(f(u))=g(a*u)=a*g(u)

jaaaaa, okay, ihr habt ja recht, Ben und gast1.
Ja, danke, manchmal muss mans eben einfach hinschreiben.

Hammer

edit als Antwort auf Bens Post: NEIN, das ist mir nicht aufgefallen
Steht ja alles schon oben bei Dennis Hammer

*in die Ecke stell und schäm*

05.08.2006, 18:01

Ben Sisko

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Zitat:

Original von LOED
jaaaaa, okay, ihr habt ja recht, Ben und gast1.
Ja, danke, manchmal muss mans eben einfach hinschreiben.

Ist dir aufgefallen, dass du dasselbe hingeschrieben hast wie ich oben? Big Laugh

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