Abelsche Gruppe beweisen

25.10.2008, 16:20	ichhabs	Auf diesen Beitrag antworten »
Abelsche Gruppe beweisen Hallo liebe Gemeinde!! Ich habe eine Aufgabe für meine Mathevorlesung zu lösen, doch leider weiß ich nicht so recht, wie ich da ran gehen soll... a) Zeigen Sie, dass (M, $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ ) eine Abelsche Gruppe ist. geg.: Menge M = {0,1,2} Tabelle: $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ \|0 1 2 ---------- 0\|0 1 2 1\|1 2 0 2\|2 0 1 Ich dachte mir, das ich dies damit beweisen kann: M 1: zu beliebigem a, b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ existiert eindeutig ab $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ M 2: für alle a; b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ : ab = ba (Kommutativgesetz) M 3: für alle a; b; c $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ : a(bc) = (ab)c (Assoziativgesetz) M 4: $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ : a1 = a $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ (Neutrales Element) M 5: $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ; a $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 0; $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ mit ax = 1 (Entgegengesetztes Element) wenn diese Bedingungen alle stimmen, so ist die Gruppe kommutativ oder eine Abelsche Gruppe. Habe ich damit Recht?? Oder macht man das irgendwie anders?? die zweite Teilaufgabe: b) Überlegen Sie sich, dass sich die definierte Addition ergibt, wenn man in M wie üblich addiert und danach den Rest durch 3 als Ergebnis aufschreibt. Finden sie mit Hilfe dieser Überlegung eine Abelsche Gruppe mit genau 5 Elementen, gben Sie eine Gruppentabelle an. Bei dieser Aufgabe habe ich nicht wirklich eine Idee.... Kann mir bitte jemand helfen!!?
25.10.2008, 16:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppe beweisen Wieso Element IR? Deine Menge sieht doch so aus M={0,1,2}. Ist es nun auch eine abelsche Gruppe? Dazu müssen wir in die Tabelle schauen. Die "Matrix" ist Symmetrisch, abelsch ist die Verknüpfung also. Die anderen Axiome hast du einfach nur allgemein abgeschrieben, dass ist aber doch kein Nachweis. Neutrales /inverses Element: Mir würde im Moment nichts besseres einfallen, als zu jedem Element sein Inverses anzugeben, und das neutrale Element anzugeben (Wo stehen Identitäten) Auch die Eindeutigkeit sieht man dann. Assoziativ: da bin ich gerade unkreativ. zu b) mal das hier anschauen: http://de.wikipedia.org/wiki/Restklasse
25.10.2008, 19:57	ichhabs	Auf diesen Beitrag antworten »
ich danke dir erstmal für die antwort. da ich noch neu an der uni bin und zu erstenmal so einen aufgabe rechne, weiß ich noch nicht so genau bescheit... Was ist die "Matrix", worann sieht man das, dass es symetrisch ist? Bei den Axiomen meinte ich auch anstatt IR ==> M (also die Menge) und dies beweisst nicht, das es eine abelsche gruppe ist? Denn deine Hinweise zu "Neutrales /inverses Element" und "Assoziativ", stimmen doch mit meinen Vorschlägen überein, oder??? bei b) danke ich dir!!
25.10.2008, 20:01	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tabelleneinträge kann man ja mit einer Matrix vergleichen: http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Matrix Auch wenn du M schreibst, kannst du nicht ohne Rechnung oder Begründung einfach schreiben: Für alle ... gilt... daher... Vielleicht hast du es dir zwar überlegt, aber der Satz so alleine beweist gar nichts.
25.10.2008, 20:13	ichhabs	Auf diesen Beitrag antworten »
wie drück man den das aus, das die "Tabelle" an der Hauptdiagonalen gespiegelt werden kann und somit symetrisch ist. Dies wäre dann gleichbedeutend mit der abelschen Gruppe, die ich nachweisen soll? Ich hab leider überhaupt keine Ahnung...

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