Normen

25.10.2008, 19:44

simone55

Normen

Hallo,

habe folgende Aufgabe zu lösen und keine Ahnung wie ich das anstellen soll.

Aufgabe:
Alle Normen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sind im folgenden Sinne äquivalent.

$\begin{eqnarray*} m*p2(x) \leq p1(x) \leq M*p2(x) \end{eqnarray*}$ m>0, M>0

Zeigen Sie dies für folgenden Spezialfall:

$\begin{eqnarray*} m=1, M \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||x||_\infty \leq ||x||_2 \leq \sqrt{n}* ||x||_\infty \end{eqnarray*}$

Erstmal eine Frage zum Verständniss $\begin{eqnarray*} ||x||_\infty=max|x_i| \end{eqnarray*}$ bedeutet doch, dass ich den Betrag von der maximalen Komponente des Vektors x nehmen muss?

Wie ich das beweise ist mir klar:
$\begin{eqnarray*} a) ||x||_2 \geq ||x||_\infty Bew.: ||x||_2= \sqrt{\sum_{i=1}^n~x_i^2} \geq \sqrt{x_k^2}=|x_k|=||x||_\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} wobei |x_k|:=max|x_i| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b)||x||_2 \leq \sqrt{n}*||x||_\infty Bew.: ||x||_2= \sqrt{\sum_{i=1}^n~x_i^2}\leq\sqrt{\sum_{i=1}^n~x_k^2}=\sqrt{n*x_k^2}=\sqrt{n}*||x||_\infty \end{eqnarray*}$

soweit kann ich die Aufgabe noch lösen.

So nun heißt es in der Aufgabe weiter: Zeigen sie auch jeweils, dass die Schranken scharf sind, d.h. dass keine engeren Schranken gefunden werden können.

Das verstehe ich nicht wie soll ich das zeigen und was ?

25.10.2008, 20:06

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige z.B., dass es keine Zahl c > 1 gibt, so dass $\begin{eqnarray*} c\|x\|_\infty\le\|x\|_2\;\;\forall x. \end{eqnarray*}$

25.10.2008, 20:31

simone55

Auf diesen Beitrag antworten »

Re
Ich muß das mit den Schranken erstmal verstehen!

Ist es richtig, dass die Schranken jeweils die Werte für $\begin{eqnarray*} m,M \end{eqnarray*}$ sind also hier $\begin{eqnarray*} 1 ,\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

26.10.2008, 10:04

simone55

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Re
Wäre bitte jemand so nett und würde mir das erklären ?

26.10.2008, 14:41

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Re

Zitat:

Original von simone55
Ist es richtig, dass die Schranken jeweils die Werte für $\begin{eqnarray*} m,M \end{eqnarray*}$ sind also hier $\begin{eqnarray*} 1 ,\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Ja. Es ist hier auch nur dieser Spezialfall (Vergleich von Maximums- und euklidischer Norm) zu behandeln.

26.10.2008, 15:53

simone55

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Re
OK damit hab ich weider ein bisschen mehr verstanden.

hab mir das jetzt so gedacht:

$\begin{eqnarray*} c\|x\|_\infty\le\|x\|_2\;\;\forall x. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c \leq \frac {||x||_2}{||x||_\infty} => c \leq \frac{ \sqrt{\sum_{i=1}^n~x_i^2}}{\sqrt{x_k^2}}=> c\leq \sqrt{\frac{{\sum_{i=1}^n~x_i^2}}{x_k^2}} \end{eqnarray*}$

ist mein Weg soweit richtig und vor allem wie geht es weiter?

langsam bin ich doch schon am verzweifeln weil ich es einfach nicht hinbring.

26.10.2008, 17:46

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst nur einen bestimmten Vektor (es geht auch mit anderen) für x einzusetzen.

26.10.2008, 18:41

simone55

Auf diesen Beitrag antworten »

Re
@ WebFritzi

was für ein bestimmter Vektor und wo soll ich ihn einsetzen ?
Könntest du mir das bitte mal ausführlich erklären BITTE !!

26.10.2008, 19:19

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, du nimmst an, dass es ein c > 1 gibt, so dass $\begin{eqnarray*} c\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \end{eqnarray*}$ gilt für alle x. Dann setzt du einen besonders einfachen Vektor für x ein und siehst, dass die Annahme nicht sein kann.

26.10.2008, 19:47

simon55

Auf diesen Beitrag antworten »

Re
OK also

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} c*1\leq 1 => \end{eqnarray*}$ c muß kleiner 1 sein

wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetze dann steht da ja

$\begin{eqnarray*} c*1\leq \sqrt{3}=> \end{eqnarray*}$ c kleiner $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ also gibt es ein c größer 1.

ich glaube ich hänge an an dem Bergriff Schranke

Neue Frage »

Antworten »

Normen

Verwandte Themen