Ergebnis als ein Vielfaches von Pi ausdrücken!

25.10.2008, 19:51

stargate

Auf diesen Beitrag antworten »

Ergebnis als ein Vielfaches von Pi ausdrücken!

hi

ich häng im moment bei 2 aufgaben, die aufgabenstellung lautet..

"Lösen Sie nach X auf. Drücken Sie alle Ergebnisse als Vielfaches von Pi aus!"

a.) sin(2x+Pi/9)=1/2

b.) tan((1/2)x-Pi/4)=sqrt(3)

ich komm einfach ned drauf wie ich auf die 1/2 und wurzel3 kommen soll.

mfg stargate

Edit (mY+):Titel korrigiert! Ergebnis

25.10.2008, 20:58

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ergebniss als ein Vielfaches von Pi ausdrücken!
Würde mir mal spezielle Winkel anschauen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus#Wichtige_Funktionswerte

25.10.2008, 23:54

Zizou66

Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnest du in diesem Beispiel eigentlich mit Angaben im Bogenmaß, oder als Winkel? Ich nehme an, dass es das Bogenmaß ist, dann solltest du beachten, dass die sin-Funktion, genau wie die cos-Funktion periodisch ist.

26.10.2008, 00:42

stargate

Auf diesen Beitrag antworten »

hi

also ich hab die Lösung jetzt glaube ich :

a.) x=[(1/2)*(Pi/6 - Pi/9)+K*Pi]

für b.) x=[2*(Pi/3 + Pi/4)+ 2*K*Pi]

mfg stargate

26.10.2008, 01:03

Zizou66

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, die Ergebnisse sind korrekt. Wie bist du dahin gekommen? Wölltest du nicht die Ausdrücke (Pi/6-Pi/9) und (Pi/3+Pi/4) vereinfachen? Außerdem ist die sin-Funktion nicht periodisch zu $\begin{eqnarray*} k\cdot \pi \end{eqnarray*}$ , sondern zu $\begin{eqnarray*} 2k\cdot \pi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , allerdings ist die tan-Funktion periodisch zu $\begin{eqnarray*} k\cdot \pi \end{eqnarray*}$ . Aber das sind nur formale Fehler.

26.10.2008, 01:19

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis bei b) ist unvollständig:

Beim Sinus werden auch innerhalb der Periode die Funktionswerte mehrfach angenommen:

$\begin{eqnarray*} \sin(\varphi) = \sin(180^{\circ} - \varphi) \end{eqnarray*}$

Anzeige

26.10.2008, 02:45

stargate

Auf diesen Beitrag antworten »

hi

was meinst du mit unvollständig?

also die beiden funktionen gingen bisher mit allen werten die ich probiert hatte..

und @ Zizou66

aber wenn ich bei tan K*Pi und bei sind 2k*Pi benutze stimmt es mit der lösung nicht mehr überein oder wie meinst das ?
und dahingekommen bin ich durch tigerbine`s link und nen bissel rumprobieren..

EDIT: ich hab noch ne andere frage, will dafür aber jetzt nicht nen extra thread aufmachen, welche symmetrie ergibt sich wenn ich tan(x)/cot(x) teile? tan und cot sind ja beide punktsymmetrisch, also was ergibt es wenn ich punktsymetrisch/punksymmetrisch teile, ist dann achsensymmetrisch oder?

mfg stargate

26.10.2008, 12:18

Zizou66

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine nur, dass Tangen periodisch zu $\begin{eqnarray*} k\cdot \pi \end{eqnarray*}$ ist und Sinus zu $\begin{eqnarray*} 2k\cdot \pi \end{eqnarray*}$ ist. Das sehe ich in deinen Lösungen nicht so angegeben.

Ich würde die Symmetrie von $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{tan~x}{cot~x} \end{eqnarray*}$ anders begründen und dafür ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} ~tan~x=\frac{sin~ x}{cos~x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ~cot~x=\frac{cos~ x}{sin~ x} \end{eqnarray*}$

26.10.2008, 12:46

stargate

Auf diesen Beitrag antworten »

hi

ok wenn ich es mit f(-X) berechne komme ich auf achsensymmetry...

die komplette funktion dazu wäre...

( 3(x^3) + tan(x) )/ ( cot(x) )

ich hab die funktion dann umgestellt, (3(x^3) )/ (cot(x) ) + tan(x) / cot(x)

(3(x^3) )/ (cot(x) ) ist auch achsensymmetrisch..

also ergäbe achsensymmetry + achsensymmetry dann wieder punktsymmetry !?

mfg stargate

26.10.2008, 12:54

Zizou66

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht freundest du dich mal mit dem Formeleditor an, dann könnte man deine Funktion eindeutig lesen.

Wie kommst du denn von $\begin{eqnarray*} 3x^3+\frac{tan~x}{cot~x} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{3x^3}{cot~x}+\frac{tan~x}{cot~x}& \end{eqnarray*}$ ?

Außerdem heißt es Symmetrie! Lehrer

Lehrer

26.10.2008, 13:02

stargate

Auf diesen Beitrag antworten »

hi

nein die funktion von dir ist falsch..

übem bruchstrich steht ( 3(x^3) + tan(x) ) und darunter cot(x)

mfg stargate

26.10.2008, 13:10

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stargate

was meinst du mit unvollständig?

also die beiden funktionen gingen bisher mit allen werten die ich probiert hatte..

Ja, ich habe ja auch von unvollständig geredet.

Deine Ergebnisse stimmen natürlich, aber sie sind eben nur „die halbe Wahrheit“:

Wie ich schon gesagt habe, es gibt einen weiteren „Strang“ von Winkeln x, deren Sinus 1/2 ist:

$\begin{eqnarray*} x = \tfrac{5}{6}\pi + K \cdot 2\pi \end{eqnarray*}$

Du hast nur

$\begin{eqnarray*} x = \tfrac{1}{6}\pi + K \cdot 2\pi \end{eqnarray*}$

Aber musst Du selbst wissen, ob Du Dein Ergebnis so stehen lässt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

[Wofür steht eigentlich K? Für reelle Zahlen? Für natürliche Zahlen?]

26.10.2008, 13:10

Zizou66

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Argument dafür, dass du den Formeleditor benutzen solltest.

Dann ist die Umformung richtig, die Funktion ist allerdings trotz allem nicht punktsymetrisch, sondern achsensymetrisch. Übrigens sind alle diese Funktionen einzeln betrachtet punktsymetrisch. Man kann sich als Faustregel merken, dass eine punktsymmetrische Funktion dividiert durch eine punksymmetrische, eine achsensymetrische ergibt.

Gerade bei gebrochenrationalen Funktionen lässt sich das leicht beweisen und schön veranschaulichen.

26.10.2008, 13:43

stargate

Auf diesen Beitrag antworten »

hi

@Jacques

ja und wie müssten meine ergebnisse dann richtig lauten !?
könntest du die 2 ergebnisse mal so hinschreiben wie es richtig ist ?

@Zizou66

also ist achsensymmetrisch + achsensymmetrisch = achsensymmetrisch !?

mfg stargate

26.10.2008, 13:53

Zizou66

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ich nicht sicher sagen. Für ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen gilt das sicherlich. Wenn aber trigonometrische Funktionen ins Spiel kommen, bin ich mir da nicht ganz so sicher. Ich könnte mir vorstellen, dass man das hiermit auch beweisen kann, allerdings solltest du das mit Vorsicht genießen bis du einen entsprechenden Beweis geführt oder gelesen hast. Außerdem wirst du in Klausuren eh jedes Mal von Neuem überprüfen müssen, ob eine Funktion punkt- oder achsensymmetrisch ist, daher bringen dir diese Faustregeln nicht wirklich viel.

26.10.2008, 14:03

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stargate

@Jacques

ja und wie müssten meine ergebnisse dann richtig lauten !?
könntest du die 2 ergebnisse mal so hinschreiben wie es richtig ist ?

Habe ich doch gerade getan:

$\begin{eqnarray*} x = \tfrac{5}{6}\pi + K \cdot 2\pi \ \textrm{oder}\ x = \tfrac{1}{6}\pi + K \cdot 2\pi \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} K \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

// edit: Bitte nochmal nachrechnen.

Also ich habe folgende Regel angewandt:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = \sin(180^{\circ} - x) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \sin(30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) \end{eqnarray*}$

60° und entsprechende Vielfache davon sind auch Lösungen.

26.10.2008, 14:48

stargate

Auf diesen Beitrag antworten »

hi

ah ok stand bissel aufm schlauch ^^

also müsste ich theoretisch 2 lösungen für den sinus angeben einmal mit Pi/6 und einmal mit (5/6)Pi

mfg stargate

26.10.2008, 14:55

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stargate

also müsste ich theoretisch 2 lösungen für den sinus angeben einmal mit Pi/6 und einmal mit (5/6)Pi

Ja, das sind quasi die beiden „Hauptlösungen“. Alle anderen Lösungen erhält man dann, wenn man Vielfache der Periode addiert bzw. subtrahiert.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »