Konvergenz bei teilfolgen

25.10.2008, 20:06

wahini

Konvergenz bei teilfolgen

hey

ich hab wieder ein mal ein problem bei einer konvergenz aufgabe:

die aufgabe :

Zeigen Sie mittels der Definition der Konvergenz, dass die Folge nicht konvergiert.

( (-1) $\begin{eqnarray*} ^n \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac {1} {n} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} ^\infty _n=1 \end{eqnarray*}$

Meine Überlegung wäre das der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac {1} {n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert.

der Ausdruck (-1) $\begin{eqnarray*} ^n \end{eqnarray*}$ hat 2 Grenzwerte

einmal für n = 2n konvergiert es gegen 1

und einmal n = 2n-1 konvergiert es gegen -1

Mein Problem ist es , wie ich es zeigen soll.

Für das Grenzwertkriterium habe ich ja diesen ausdruck : $\begin{eqnarray*} |a_n -a| < \epsilon \end{eqnarray*}$

ich danke schon mal im voraus! Augenzwinkern

25.10.2008, 22:07

Abakus

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RE: Konvergenz bei teilfolgen

Zitat:

Original von wahini

( (-1) $\begin{eqnarray*} ^n \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac {1} {n} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} ^\infty _n=1 \end{eqnarray*}$

Du meinst vielleicht folgendes:

$\begin{eqnarray*} ((-1)^n + \frac {1} {n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

(oder soll da noch ein n als Exponent stehen?)

Finde 2 Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten.

Grüße Abakus smile

26.10.2008, 12:50

wahini

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ja genau so meinte ich es!!

26.10.2008, 15:35

WebFritzi

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Du hast die Sache richtig erkannt, sie aber nicht korrekt aufgeschrieben. Setze

$\begin{eqnarray*} a_n = \left( (-1)^n + \frac 1 n \right). \end{eqnarray*}$

Dann wähle als Teilfolgen

$\begin{eqnarray*} b_k := a_{2k}\quad\mbox{und}\quad c_k := a_{2k - 1},\quad k=1,2,\dots. \end{eqnarray*}$

26.10.2008, 17:10

wahini

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reicht es so wie du es hingeschrieben hast!

Ist das dann der Beweis oder muss man da noch etwas machen verwirrt

....weil es sieht mir so wenig aus für einen beweis

26.10.2008, 17:50

WebFritzi

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Natürlich hat man damit nicht bewiesen, dass die Folge nicht konvergiert. Dennoch hat man so einen besseren Überblick über die Folge. Verwende einfach das Epsilon-Kriterium und nimm an, die Folge konvergiere.

26.10.2008, 19:09

wahini

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und welche folge setze ich jetzt ein?
teilfolge oder die "Ausgangsfolge"?

26.10.2008, 19:20

WebFritzi

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Natürlich die Ausgangsfolge. Um die geht es doch.

26.10.2008, 19:31

wahini

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und als grenzwert setze ich dann null?

27.10.2008, 02:53

WebFritzi

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Wieso? Meinst du denn, dass die Folge gegen Null konvergiert?

27.10.2008, 11:47

wahini

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soll ich dort den Grenzwert -1 und +1 einsetzten?

27.10.2008, 18:44

wahini

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dann habe ich zwei epsilon kriterium ein mal die Folge mit n geraden Zahlen und die Folge mit n ungeraden Zahlen!

Also folgt:

| $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ -1| < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

| $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ +1| < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt nach n auflöse kommt ..muss ich ja ein ln(-1) rechnen, aber das geht doch nicht!

27.10.2008, 18:53

WebFritzi

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Nein, nein, nein. Alles Unfug. unglücklich

Nimm an, die Folge konvergiere gegen irgendein a und folgere einen Widerspruch.

27.10.2008, 19:07

wahini

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also:

| $\begin{eqnarray*} ((-1)^n \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac {1} {n}) \end{eqnarray*}$ -a | < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

Und für n und epsilon setzte ich jetzt einfach beliebige Zahlen ein.

Nehmen wir an epsilon = $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} \end{eqnarray*}$
und n ein 1

Und dann nach a auflösen :

Dann kommt für a < $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} \end{eqnarray*}$ raus.

Wir haben gesagt, dass die Grenzwerte nur 1 und -1 in Frage kommt..also ein widerspruch

27.10.2008, 19:19

WebFritzi

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Wie lautet die Definition fuer Konvergenz?

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