Injektivitätsbeweis

26.10.2008, 00:11

Wintersun

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Injektivitätsbeweis

Es sei $\begin{eqnarray*} f : X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann injektiv, wenn $\begin{eqnarray*} f^{-1} \left( f(A) \right) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ gilt.

Also, die Aufgabenstellung ist mir klar, ebenso dass, $\begin{eqnarray*} f^{-1} \left( f(A) \right) = A \end{eqnarray*}$ ist.

Aber ich bekommen einfach keine vernünftige Idee, wie ich den Beweis anfangen soll, bzw. habe keine Ahnung "wonach ich suchen muss" ... ich bräuchte mal wieder 'nen "Denkanstoß" ...

26.10.2008, 00:27

Jacques

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Hallo,

Hast Du schonmal überlegt, statt

$\begin{eqnarray*} A \ \Longleftrightarrow\ B \end{eqnarray*}$

die Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} \neg A \ \Longleftrightarrow\ \neg B \end{eqnarray*}$

zu zeigen?

Das stelle ich mir wesentlich einfacher vor.

26.10.2008, 12:47

Wintersun

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Zitat:

Original von Jacques
Hallo,

Hast Du schonmal überlegt, statt

$\begin{eqnarray*} A \ \Longleftrightarrow\ B \end{eqnarray*}$

die Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} \neg A \ \Longleftrightarrow\ \neg B \end{eqnarray*}$

zu zeigen?

Könntest du das vllt. etwas näher erläutern, ich kann mit deinem Hinweis leider nichts anfangen.

26.10.2008, 14:10

-Wintersun

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Natürlich kann sich auch jemand anders dazu äußern, wenn er denn will ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2008, 14:11

Jacques

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Also

$\begin{eqnarray*} A \Longleftrightarrow B \end{eqnarray*}$

ist gleichbedeutend mit

$\begin{eqnarray*} \neg A \Longleftrightarrow \neg B \end{eqnarray*}$

Statt das erste zu zeigen, kannst Du also auch das zweite zeigen:

f ist genau dann nicht injektiv, wenn es eine Teilmenge A von X gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \neq A \end{eqnarray*}$ gilt.

Zumindest die Richtung „von links nach rechts“ kann man dann ganz einfach zeigen:

Wenn f nicht injektiv ist, dann gibt es...

26.10.2008, 15:14

-Wintersun

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Zitat:

Original von Jacques $\begin{eqnarray*} A \Longleftrightarrow B \end{eqnarray*}$

ist gleichbedeutend mit

$\begin{eqnarray*} \neg A \Longleftrightarrow \neg B \end{eqnarray*}$

Das ist mir bekannt.

Zitat:

Original von Jacques
f ist genau dann nicht injektiv, wenn es eine Teilmenge A von X gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \neq A \end{eqnarray*}$ gilt.

Zumindest die Richtung „von links nach rechts“ kann man dann ganz einfach zeigen:

Wenn f nicht injektiv ist, dann gibt es...

... eine es eine Teilmenge A von X, so dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \neq A \end{eqnarray*}$ gilt ??

Falls dem so ist, wie zeig' ich das?

Zudem hab' ich wohl noch ein grundsätzliches Verständnisproblem ... warum muss überhaupt $\begin{eqnarray*} f^{-1} \left( f(A) \right) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ gelten, damit die Abbildung injektiv ist?

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26.10.2008, 15:57

Jacques

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Die Behauptung selbst kann ich mir auch nur schwer bildlich vorstellen, aber eben die gleichwertige Aussage mit den Negationen:

(1)
„Wenn f nicht injektiv ist, gibt es eine Teilmenge A von X mit f-1(f(A)) =/= A“

Ist f nicht injektiv, denn gibt es verschiedene Stellen x1, x2, x3, ... mit demselben Funktionswert. Man wählt die Teilmenge A so aus, dass nicht alle diese Stellen darin liegen, aber mindestens eine:

[attach]8961[/attach]

Dann bildet man f(A). Und hiervon wiederum das Urbild. Bei diesem zweiten Schritt kommt man nicht wieder auf A, sondern auf eine größere Menge, denn zu dem in A liegenden Bild x1 kommen auch noch x2 und x3.

Setze das zuerst in einen Beweis um.

26.10.2008, 16:25

Wintersun

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Zitat:

Original von Jacques

...

(1)
„Wenn f nicht injektiv ist, gibt es (mindestens) eine Teilmenge A von X mit f-1(f(A)) =/= A“

...

Setze das zuerst in einen Beweis um.

Ach soooo. Hammer

Hammer

Um (1) zu zeigen, muss ich ja nichts weiter machen, als mir eine nicht injektive Abbildung auszudenken, etc. ...

Das wäre ja dann wirklich einfach ...

26.10.2008, 16:32

Jacques

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Da hast Du was missverstanden.

Du musst zeigen: Für jede nicht-injektive Funktion gibt es...

Es reicht also nicht, eine konkrete Funktion anzugeben. Sondern Du fängst so an: Sei f eine nicht-injektive Funktion. Und dann zeigst Du, dass es eine Teilmenge A gibt, sodass f-1(f(A)) nicht mit A identisch ist. Siehe obige Skizze.

26.10.2008, 21:30

Wintersun

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Vielen Dank für deine Hilfe, jetzt ist mir einiges klarer.

Also:

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f : X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ sei injektiv

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left( f(A) \right) = A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f : X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ sei nicht injektiv

$\begin{eqnarray*} \neg B \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left( f(A) \right) \neq A \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} \neg A \Rightarrow \neg B \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} f : X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ eine nicht injektive Abbildung.

Weiter seien $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ Elemente aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_1), f(x_2), f(x_3) \end{eqnarray*}$ Elemente aus $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

Ferner seien $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \neq x_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \{ x_1 \} := A \subset X \Rightarrow f(A) = \{ f(x_1), f(x_2), f(x_3) \} \Rightarrow f^{-1} \left( f(A) \right) = \{x_1, x_2, x_3\} \Rightarrow f^{-1} \left( f(A) \right) \neq A \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt nur noch die Rückrichtung, also: $\begin{eqnarray*} \neg B \Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ ... oder?

27.10.2008, 01:15

Wintersun

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Zitat:

Original von Wintersun
$\begin{eqnarray*} \neg B \Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$

Naja ... ich komm mal wieder nicht drauf. Hat jemand eine Idee wie ich "aus nicht B folgt nicht A" oder "aus B folgt A" zeigen kann?

27.10.2008, 09:22

kiste

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Zitat:

Original von Wintersun
Ferner seien $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \neq x_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) \end{eqnarray*}$ .

Warum sollte es drei solcher Elemente geben?

27.10.2008, 09:34

-Wintersun

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Warum nicht? Es ist doch egal, wie viele es sind, oder nicht?

Von mir aus könnens auch nur 2 sein ...

27.10.2008, 13:08

-Wintersun

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Zitat:

Original von Wintersun

Zitat:

Original von Wintersun
$\begin{eqnarray*} \neg B \Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$

Naja ... ich komm mal wieder nicht drauf. Hat jemand eine Idee wie ich "aus nicht B folgt nicht A" oder "aus B folgt A" zeigen kann?

Hat keiner 'ne Idee, wie man die Rückrichtung beweisen könnte? traurig

traurig

27.10.2008, 16:44

Jacques

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Zitat:

Original von -Wintersun

Warum nicht? Es ist doch egal, wie viele es sind, oder nicht?

Von mir aus könnens auch nur 2 sein ...

Es ist nicht egal, wieviele es sind. Du musst darauf achten, was Du überhaupt voraussetzen darfst: Wenn f nicht injektiv ist, dann gibt es mindestens zwei verschiedene Stellen x1, x2 mit f(x1) = f(x2). Und nur das ist gesichert.

Wobei das an Deinem Beweis ja nicht viel ändert, Du musst nur immer die dritte Stelle weglassen.

Zur anderen Richtung: Also in diesem Fall sollte man vielleicht doch nicht $\begin{eqnarray*} \neg B \Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ zu beweisen versuchen, sondern die „Originalaussage“:

Wenn f injektiv ist, dann gilt für jede Teilmenge A aus X die Beziehung f-1(f(A)) = A.

Sei f injektiv. Dann gilt für alle x1, x2 aus X:

$\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \ \Longleftrightarrow\ x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

Sei A eine Teilmenge von X:

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} f(A) = \{y \in Y \,|\, \exists z \in A (f(z) = y) \} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) = \{x \in A \,|\, f(x) \in f(A) \} = \{x \in A \,|\, \exists z \in A(f(z) = f(x)) \} \end{eqnarray*}$

Und jetzt nur noch ausnutzen, dass

f(z) = f(x) <=> z = x gilt. Dann kommst Du wieder auf die Menge A.

30.10.2008, 13:42

Akumetsu

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \neg B \Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$

könnte man da nicht einfach den gleichen Beweiß in die Rückrichtung gehen?

Also $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left( f(A)\right) \neq A \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(f(a)\right) = a, a \in A \end{eqnarray*}$ muss es noch ein x kein Element in A geben für das gilt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(a) = f(x) , a \in A & ,x kein \in A \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} f^{-1} (f(a)) = x , x \end{eqnarray*}$ kein $\begin{eqnarray*} \in A \end{eqnarray*}$

wenn es kein f(x) = f(a) geben würde, wäre ja

$\begin{eqnarray*} f^{-1}\left( f(A) \right) \neq A \end{eqnarray*}$ nicht möglich

Somit hätten wir
=> Es muss 2 Elemente in X geben die auf dasselbe Element in Y abbilden
=> nicht injektiv

Falls Fehler in der Syntax sind, bitte hinweißen, bin erst seit 2 Wochen dabei

30.10.2008, 16:15

Jacques

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Hallo,

Der Beweis ist so noch nicht in Ordnung. Man setzt Injekvitität und Surjektivität nicht voraus, also gibt es zunächst auch gar keine Umkehrfunktion.

Was soll dann der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(a)) \end{eqnarray*}$

bedeuten? Es gibt die Funktion f-1 doch gar nicht unbedingt.

[Das f-1 hat bei Ausdrücken der Art f-1(A) eine ganz andere Bedeutung!]

30.10.2008, 21:50

Akumetsu

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Ehrlich gesagt dachte ich , dass man nur beweißen müsste, dass die zweite
Behauptung (nicht Injektiv) stimmt wenn die erste richtig ist und man deshalb für den
Beweiß davon ausgehen könnte das die erste Behauptung stimmt.

Beim ersten Beweiß wurde ja auch Aussage A als Grundlage dafür genohmen das B wahr ist und damit wars fertig

30.10.2008, 22:17

Jacques

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Hm, also zu zeigen ist:

Wenn es eine Teilmenge A gibt [mit f-1(f(A)) ungleich A], dann ist f nicht injektiv.

Für diesen Beweis setzt man also die Existenz der Teilmenge A voraus. Und muss daraus dann folgern, dass f nicht injektiv ist.

D. h. Du setzt weder Injektivität noch Surjektivität voraus -- und kannst deshalb auch nicht davon ausgehen, dass f eine Umkehrfunktion hat.

Es gibt natürlich auch andere Beweisansätze, z. B. könntest Du zeigen: Aus der Injektivität von f folgt, dass für alle Teilmengen A gilt f-1(f(A)) = A. Aber dann wären die Voraussetzungen eben wieder anders.

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