Konstruieren einer Quadraturformel

26.10.2008, 02:17

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Konstruieren einer Quadraturformel

Hallo,

wie konstruiere ich mir eine 2-stufige Quadraturformel maximaler Ordnung mit einem gegeben Knoten c1=0 ?

maximale Ordnung wird wohl 2*2=4 sein oder ?

mit dem gegebenem Knoten c1 kann ich ein passendes Gewicht b1 mit den Lagrangepolynomen bestimmen, so dass zumindest $\begin{eqnarray*} p \geq 2 \end{eqnarray*}$ gelten würde.

Dann gibt es ja die Bedingung, dass wenn eine Quadraturformel die Ordnung p hat, wenn folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^s~b_jc_j^{q-1}=\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$

für q=1,...,p

Nun könnte ich für p=4 eine Gleichung aufstellen aber funktioniert das wirklich so ?

Gruß Björn

26.10.2008, 02:22

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein paar Fragen.

Zitat:

Original von Bjoern1982

Dann gibt es ja die Bedingung, dass wenn eine Quadraturformel die Ordnung p hat, wenn folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^s~b_jc_j^{q-1}=\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$

für q=1,...,p

Kannst du da die Variablen mal erläutern?

Was bedeutet zweistufig?

Was verstehst du unter Ordnung?

26.10.2008, 09:34

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

s entspricht der Anzahl der Knoten $\begin{eqnarray*} c_j \end{eqnarray*}$ bzw der Gewichte $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ , in diesem Fall ist s also 2.

Unter Ordnung verstehe ich ein Maß, was einem die Approximationsgüte einer Quadraturformel QF angibt.

Eine QF hat genau dann die Ordnung p, wenn sie für Polynome vom Grad höchstens p-1 exakt ist.

Reicht das so ?

26.10.2008, 10:11

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Eine QF hat genau dann die Ordnung p, wenn sie für Polynome vom Grad höchstens p-1 exakt ist.

ok, dann meinen wir das gleiche. Weil es kann auch mal anders aufgefasst werden. Da hatte ich hier erst eine Diskussion. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

s entspricht der Anzahl der Knoten $\begin{eqnarray*} c_j \end{eqnarray*}$ bzw der Gewichte $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ , in diesem Fall ist s also 2.

$\begin{eqnarray*} Q(f) = b_1 \cdot c_1 + b-2 \cdot c_2 \end{eqnarray*}$

Ok, da gibt es ja einen Satz, der die Maximale Ordnung einer QF angibt. ([WS] Numerische Integration -Theorie) Hier wäre das dann 2*1+2=4. D.h. Du kannst Polynome vom Maximalgrad 3 noch exakt integrieren.

Zitat:

Dann gibt es ja die Bedingung, dass wenn eine Quadraturformel die Ordnung p hat, wenn folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^s~b_jc_j^{q-1}=\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$

für q=1,...,p

Das verstehe ich so nicht. Bzw da fehlt mir was, damit das so stimmt. Ist das nicht die Folgerung für das spezielle Integral auf [0,1] von den Monomen?

26.10.2008, 10:30

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das verstehe ich so nicht. Bzw da fehlt mir was, damit das so stimmt. Ist das nicht die Folgerung für das spezielle Integral auf [0,1] von den Monomen?

Ja, es wurde in der Vorlesung entsprechend substituiert, um nur Integrale auf [0,1] zu betrachten, wodurch man das dann so definierte:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~g(t)~dt \approx \sum_{j=1}^s~b_j \cdot g(c_j) \end{eqnarray*}$

26.10.2008, 10:33

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja auch kein Problem, nur musst du so was eben dazuschreiben. Sonst gilt die Formel nämlich nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie würdest du nun eine Formel konstruieren? Fest ist c1=0?

Anzeige

26.10.2008, 10:45

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast recht, solche Einschränkungen sollten nicht verschwiegen werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Konstruktion:

Ja, nur c1=0 ist fest vorgegeben und die AUfgabenstellung und meine Gedanken dazu sind ja in meinem 1. Beitrag.

Weiter hinten im Skript steht auch noch eine schöne Anleitung zur Konstruktion einer Gauß QF mit maximaler Ordnung (Satz 1.6 bezieht sich auf die Lagrange Polynome, mit deinen man passende Gewichte bei gegebenen Knoten berechnen kann)

Jedoch weiss ich nicht ob ich einfach mixen darf, sprich das eine Gewicht b1 durch Satz 1.6 berechnen und c2,b2 dann durch die Anleitung mit den Legendrepolynomen (siehe Screenshot)

Edit:

Wobei ich gerade bemerke, dass die Gewichte ja eh auch nach dieser Anleitung mit den Lagrange Polynomen berechnet werde, jedoch wäre c1 schon automatisch vorgegeben und ich weiss nicht ob man dann auch noch so ansetzen kann ohne dass das Einfluß auf die geforderte Maximalordung hat

26.10.2008, 11:06

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bjoern1982
Hast recht, solche Einschränkungen sollten nicht verschwiegen werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Konstruktion:

Ja, nur c1=0 ist fest vorgegeben und die AUfgabenstellung und meine Gedanken dazu sind ja in meinem 1. Beitrag.

Kannst du mal die genaue Aufgabenstellung einstellen? Sollst du

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~g(t)~dt \approx \sum_{j=1}^2~b_j \cdot g(c_j) \end{eqnarray*}$

mit Ordnung 4 bestimmen?

Zitat:

Weiter hinten im Skript steht auch noch eine schöne Anleitung zur Konstruktion einer Gauß QF mit maximaler Ordnung (Satz 1.6 bezieht sich auf die Lagrange Polynome, mit deinen man passende Gewichte bei gegebenen Knoten berechnen kann)

Nein, da steht Legendre Polynome (also in deinem Bild...) Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Gauß braucht orthogonale Polynome. Je nach Gewichtsfunktion (die hat nichts mit den Gewichten zu tun). Bei Legendre ist die Gewichtsfunktion konstant 1. allerdings ist 0 kein Knoten, wenn wirst du da verschieben müssen

Zitat:

Jedoch weiss ich nicht ob ich einfach mixen darf, sprich das eine Gewicht b1 durch Satz 1.6 berechnen und c2,b2 dann durch die Anleitung mit den Legendrepolynomen (siehe Screenshot)

Naja, Knoten und Gewichte gehören schon zusammen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:

n den Zeilen stehen aufsteigend die Koeffizienten der
LEGENDRE-Polynome in Monomdarstellung 1,x,x²,x³:
------------------------------------------------------
LP =
     1     0
     0     1
 
Die 2 Knoten lauten:
-----------------------
xL =
   -0.5774    0.5774
 
Die 2 Funktionswerte von f lauten:
-----------------------
yL =
   -0.1925    0.1925
 
Die 2 Gewichte lauten:
-----------------------
wL =
     1     1
 
Approximation des Integrals:
---------------------------
IGL =
     0

[attach]8952[/attach]

Diese Formel integriert also $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~x^3~dx \end{eqnarray*}$ exakt. Auch alle Polynome "darunter".

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:

egendre=0, Tschebyscheff=1, Laguerre=2, Hermite=3: 0
=====================================================================================
 
I_Matlab = 6.666667e-001 
 
 
In den Zeilen stehen aufsteigend die Koeffizienten der
LEGENDRE-Polynome in Monomdarstellung 1,x,x²,x³:
------------------------------------------------------
LP =
     1     0
     0     1
 
Die 2 Knoten lauten:
-----------------------
xL =
   -0.5774    0.5774
 
Die 2 Funktionswerte von f lauten:
-----------------------
yL =
    0.3333    0.3333
 
Die 2 Gewichte lauten:
-----------------------
wL =
     1     1
 
Approximation des Integrals:
---------------------------
IGL =
    0.6667

Wenn du das also benutzen willst, musst du wohl eine Koordinatentransformation machen.

26.10.2008, 13:28

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Kannst du mal die genaue Aufgabenstellung einstellen?

Ok, ich hab jetzt eh schon soviel Screenshots kopiert, dann man ich noch einen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber du wirst sehen, da steht im Prinzip nicht sehr viel.
Und zu den Gauß QF sind wir im Skript eigentlich auch noch gar nicht fortgeschritten, das Skript steht nur schon komplett online zur Verfügung und ich hatte es deswegen mal ins Auge gefasst weil mir sonst nichts einfiel.
Es ist auch das 1. Übungsblatt und in der Vorlesung klang mal so an, dass wir da wohl ein Gleichungssystem aufstellen sollen...ob es jetzt zu dieser Aufgabe passt weiss ich nicht aber es wird bestimmt nicht all zu kompliziert sein, auch weil der Kommentar des Professors zu dem Blatt war, dass es erstmal was zum Warm werden sei bzw geschenkte Punkte Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank schonmal für deine Hilfe.

26.10.2008, 13:49

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Formel für die maximale Ordnung hattet ihr schon? Du kannst natürlich auch lösen

$\begin{eqnarray*} b_1 \cdot 1 + b_2 \cdot 1 = \int_0^1~1dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1 \cdot (0)^1 + b_2 \cdot (c_2)^1 = \int_0^1x^1~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1 \cdot (0)^2 + b_2 \cdot (c_2)^2 = \int_0^1x^2~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1 \cdot (0)^3 + b_2 \cdot (c_2)^3 = \int_0^1~x^3~dx \end{eqnarray*}$

Aber ob das klappt. Die maximale Ordnung ist ja nicht mit beliebigen Knoten zu erreichen, und du hast einen mit 0 = Intervallrand ja schon vorgegeben. Ich würde meinen 4 ist hier nicht zu erreichen. Sondern nur was du über abgeschlossene NCF bekommst. verwirrt

verwirrt

26.10.2008, 14:02

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Würde es helfen wenn ich das Kapitel über numerische Integration mal anhänge oder ist das mit 361 kb eh zu groß ?

Edit:

Ich habs zwar etwas komprimiert bekommen aber nicht unter 300 kb, deswegen schick ichs dir mal, dank dir =)

26.10.2008, 14:32

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde steht da imho drin, was ich auch schon sagte. Für maximale Ordnung muss man was mit Gauß konstuieren. Problem ist, dass die Kntoen dort nie(imho) Randpunkte des Intervalls sind. ich würde daher das System der Exaktheit nehmen und nach und nach die Variablen eingrenzen. Dann siehst du auch welche ordnung maximal möglich ist.

auf Seite 15 ist die Formel für 2 knoten mit legendre angegeben. Wenn man sogar nur bis seite 12 darf, bleibt einem gar nichts anderes übrig.

26.10.2008, 15:56

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das tue, komme ich auf die Formel

$\begin{eqnarray*} Q(f)=\frac{1}{4}\cdot f(0) + \frac{3}{4} \cdot f(\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$

Was sich aus den ersten 3 Gleichungen ergibt. Somit wären wir bei der Ordnung 3. Einsetzen in die vierte zeigt

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \cdot (\frac{2}{3})^3 = \frac{2}{9} \neq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Das die durchaus mögliche Ordnung 4 (bei 2 Knoten) nicht erreicht wird. Begründen würde ich dies damit, dass wir den ersten Knoten nicht frei wählen durften.

Was hast du raus?

Aufgabe 1: [WS] Numerische Integration - Beispiele

Bei der 3 hätte ich (sofern ich mich nicht verrechnet habe...) raus...

$\begin{eqnarray*} b_1=\frac{69}{175},~b_2=\frac{81}{175},~b_3=\frac{1}{7},~c_2=\frac{20}{36} \end{eqnarray*}$

27.10.2008, 00:22

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank tigerbine, ich rechne das morgen nochma durch und schreibe dann was ich rausbekomme.

2 Fragen noch:

Zitat:

ich würde daher das System der Exaktheit nehmen und nach und nach die Variablen eingrenzen.

Was meinst da damit ?

Und dann noch die zweite Frage: Ist dir eine Möglichkeit bekannt Ordnung 4 bei AUfgabe 2) zu erreichen ?

Btw Aufgabe 1 konnt ich problemlos lösen...immerhin schonmal etwas Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gute Nacht Wink

Wink

27.10.2008, 00:35

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit meine ich den Ansatz zu prüfen, welche Monome exakt integriert werden. also 1,x,x² etc. Das habe ich ja schon als Rechnung eingestellt. Und dann mein Ergebnis genannt. Wenn du das mal selbst rechnest, wirst du sehen, dass man für 3 Unbekannte nur 3 verschiedene Gleichungen braucht. Danach stehen die eindeutig fest. Wir sind dann aber erst bei der Ordnung 3. Die vierte Gleichung wird nicht erfüllt. schade, ist aber imho so. Somit haben wir auch den Beweis erbracht, dass man aus den Vorgaben keine QF mit Ordnung 4 machen kann.

Es ist aber möglich mit 2 Knoten Ordnung 4 zu bekommen, dann müsste man aber auch c1 frei wählen dürfen und wir landen bei der Gaußquadratur.

Bis morgen Wink

Wink

27.10.2008, 18:13

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mache mir nachher nochmal weiter Gedanken dazu, nur erstmal eben die Bestätigung von meinem Numerik Prof:

Er meinte dass die Gauß QF noch nicht dran waren und man das alles über Gleichungssysteme bzgl der Ordungsbedingungen aus dem Skript lösen soll, um dann zu sehen welche Ordnung damit maximal zu erreichen ist.
Dass die maximale Ordnung von 4 z.B. nicht erreicht werden kann, aufgrund des schon vorgegebenen Knotens, hat er auch abgenickt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich setze mich da später nochmal dran smile

smile

Gruß Björn

27.10.2008, 18:15

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bin ja doch nicht so verpeilt. Zumindest was die Theorie betrifft. Zum Rechnen brauch ich einen Knecht. Big Laugh

Big Laugh

28.10.2008, 01:31

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

So, dann mal zu meinen Ergebnissen:

Bei 2) komme ich auf dasselbe wie du

Bei 3) komme erhalte ich nur für b1 etwas anderes, nämlich 32/525

Den Rest habe ich genauso und es ist dann wohl nur Ordnung 4 möglich, da

$\begin{eqnarray*} \frac{81}{175} \cdot (\frac{5}{9})^4+ \frac{1}{7}=\frac{106}{567} \neq \frac{2}{11} \end{eqnarray*}$

28.10.2008, 01:45

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gibt aber b1+b2+b3 bei dir nicht 1.

28.10.2008, 01:51

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, es ergibt bei mir 2/3 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denn $\begin{eqnarray*} G(t)=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{t^3} \end{eqnarray*}$

28.10.2008, 01:57

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann haben wir auch meinen Fehler, da ich 1 -b2-b3 gerechnet habe. Big Laugh

Big Laugh

28.10.2008, 02:03

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was sind das auch für Werte, und ich kann das ja nicht alles von einem Programm berechnen lassen, denn die Korrektoren wollen ja bestimmt einen Rechenweg sehen Big Laugh

Big Laugh

Schade allerdings dass diesmal nicht ZUFÄLLIG mal die Probe mit der 5. Gleichung gepasst hat, dann hätte man zumindest bei all dem Aufwand einen kleinen Aha-Effekt gehabt...aber so geschockt

geschockt

Naja man kann nicht alles haben....vielen Dank nochmal für alles, es werden in Zukunft sicher noch einige Fragen von mir auftauchen - ich hoffe du verreist in nächster Zeit nicht spontan irgendwohin Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

28.10.2008, 02:12

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wirklich verwunderlich ist es ja nicht, dass wir nicht maximalen Grad erreichen. Wir haben als Knoten die beiden Randpunkte des Intervalls vorgegeben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich denke dir Wahl wurde eher so getroffen, damit in den Gleichungen (bis auf die erste) ein Term wegfällt. Mir fällt im Moment nicht ein, wie man so ein LGs nennt wo Unbekannte in Potenzen auftreten. (Und mit welchem Algo man das dann löst). Das könntest du zum Beispiel mal in der Übung fragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.11.2008, 15:23

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Kleines (verspätetes) Feedback zum Übungsblatt:

Aufgabe 1 zur Herleitung der SImpsonregel hatte ich sebst hinbekommen und war ja auch nur eine kleine Steckbriefaufgabe Big Laugh

Big Laugh

Aufgabe 2 und 3 zur Konstruktion von QF mit gegebenen Knoten wurden vom Professor nahe zu exakt so vorgerechnet wie wir es hier im Thread zusammen erarbeitet hatten und ich habe die volle Punktzahl für das Blatt bekommen.

Vielen Dank Wink

Wink

12.11.2008, 15:34

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Das freut mich aber. Tanzen

Tanzen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »