R-Linearität

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26.10.2008, 15:51	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
R-Linearität Hi @ all! Folgende Aufgabe ist gegeben: [attach]8960[/attach] a) reicht hier folgendes? : f(a + ib) = f(a) + f(ib) f(lambda(a + ib) = Lambdaf(a+ib) ? Das mit der Matrix habe ich nicht ganz verstanden, wie das gemeint wäre.. b) z = x + iy f(z) = f(1)x + f(i)y : (x + iy)(z + z(quer)) z = x + iy = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ \|--> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ f(1) = a + ic f(i) = b + id auch hier bin ich nicht ganz sicher, ob das bisher stimmt und wie konkret die Matrix von c bezüglich der Basis (1, i) des R-Vektorraumes C aussehen soll... Vielen Dank für die Hilfe!
26.10.2008, 16:10	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Es steht doch genau dran was du machen sollst. Überprüfe ob die Abbildung $\begin{eqnarray} f(z) = (a+\mathrm i b)z \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -lineare Abbildung ist. Dazu einfach $\begin{eqnarray} f(x+y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\lambda x) = \lambda f(x) \end{eqnarray}$ zeigen. Für die Matrix schreibst du einfach die Bilder der beiden Basisvektoren in die Spalten der Matrix. Also musst du erst einmal $\begin{eqnarray} f(1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\mathrm i) \end{eqnarray}$ ausrechnen. b) Kann ich nicht lesen und verstehe auch nicht was du da gemacht hast! Allgemein noch: Bitte schreibe alles mit LaTeX, das mit den Bildern ist extrem nervig für die Helfer.
26.10.2008, 17:00	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) oke, ja, das habe ich auch so aufgeschrieben, dass dies zu zeigen ist, aber was ist bspw. f(x + y) konkret? zu b) was kannst du nicht lesen - die Aufgabe oder meine Lösung? ..ich habe hier bei der Lösung wie du bei a) gesagt hast, f(1) und f(i) ausgerechnet..
26.10.2008, 17:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
a) ich habe doch extra noch einmal die Abbildungsvorschrift abgeschrieben. Für z musst du jetzt eben x+y einsetzen b) Deine Lösung. Du hast irgendwelche Symbole nacheinander geknallt. Die Mathematik besteht aber nicht nur aus Symbolen Wie kommst du auf die Matrix a,b,c,d? Was sind diese Variablen? Der Ansatz geht andersrum: Du rechnest f(1) und f(i) aus(immerhin ist die Abbildung ja gegeben ) und bekommst daraus mit $\begin{eqnarray} f(1) = a + \mathrm ic \\f(\mathrm i) = b + \mathrm id \end{eqnarray}$ die Variablen a,b,c,d. Dann zeigst du wie bei a) auch, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -linear ist
26.10.2008, 17:31	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
oke, heisst das, dass bei a) f(1) = ax + ay und f(i) = (bx + by)i wäre? ..wie sähe dann die Matrix aus? zu b) also das heisst, dass dann f(x+y) = (ax + by) (cx + dy) ist?
26.10.2008, 17:40	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohoh du hast gravierende Schwächen mit Funktionen. Es ist $\begin{eqnarray} f(z) = (a+b\mathrm i)z \end{eqnarray}$ . Setzen wir z=1: $\begin{eqnarray} f(1) = a + b\mathrm i \end{eqnarray}$ . Wie du auf x und y hier kommst ist mir ein sehr großes Rätsel. Analog rechne jetzt doch $\begin{eqnarray} f(\mathrm i) \end{eqnarray}$ aus. b) Ebenfalls eher fraglich f ist als komplexe Konjugation definiert! $\begin{eqnarray} f(x+y) = \overline{x+y} = \ldots = \overline x + \overline y = f(x) + f(y) \end{eqnarray}$
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26.10.2008, 18:52	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
o-oo...ich habe das dumme Gefühl, dass du Recht haben könntest .. muss ich unbedingt nacharbeiten... ich habe eine völlig andere Gleichung genommen, aber jetzt im Nachhinein ist es eigentlich klar, dass es so sein muss, wie du schreibst. Für f(i) habe ich folgendes: f(i) = -b + ai Hier bin ich auch ziemlich sicher, dass dies stimmen muss - aber wie sieht nun die Matrix von $\begin{eqnarray} f \lambda \end{eqnarray}$ bezüglich der Basis (1, i) des R-Vektorraumes C aus? So: ? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda & a+bi \\ -b + ai & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Vielen Dank für deine Geduld!
26.10.2008, 18:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja f(i) = -b +ia. Jetzt als Vektoren bezüglich der Basis geschrieben: $\begin{eqnarray} f(1) = a+b\mathrm i = \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das letzte = ist natürlich etwas informell. $\begin{eqnarray} f(\mathrm i) = -b + \mathrm i a = \begin{pmatrix} -b \\ a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Daraus kannst du jetzt die Matrix basteln
26.10.2008, 19:07	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss eben nicht genau, was "bezüglich der Basis (1, i)" heissen soll, aber ich probiers trotzdem mal : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda a & -b \\ b & \lambda a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
26.10.2008, 19:12	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf diese Lambda? Wo stehen die den da? Bezüglich der Basis (1,i) heißt das die Bilder der Basiselemente 1 und i als Spaltenvektoren bezüglich der Basis selbst in die Matrix zu schreiben sind. Spaltenvektoren bezüglich der Basis bedeutet: Jede Zahl $\begin{eqnarray} z\in \mathbb C \end{eqnarray}$ lässt sich schreiben als eindeutige Linearkombination aus den Basisvektoren: $\begin{eqnarray} z = x\cdot 1 + y\cdot \mathrm i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x,y\in \mathbb R \end{eqnarray}$ -
26.10.2008, 19:20	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
also das heisst: latex] \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix} [/latex]
26.10.2008, 19:22	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
also das heisst: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
26.10.2008, 19:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap stimmt. Schwere Geburt. 1 von 4 Teilen der Aufgabe hast du geschafft
26.10.2008, 19:40	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
..du sagts es! =) 1 von 4 ? also den Beweis für die R-Linearität hab ich inzwischen hinbekommen hingegen happerts bei b) mit [latex] \overline{x} +\overline{y} noch ein wenig :-(
26.10.2008, 20:10	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok Willst du es vllt. noch schreiben, bei dir kann ja alles passieren . Das die komplexe Konjugation linear ist zeigst du in dem du einfach $\begin{eqnarray} x = x_1+\mathrm ix_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = y_1+\mathrm iy_2 \end{eqnarray}$ einsetzt und dann zeigst das gilt $\begin{eqnarray} \overline{x+y} = \overline x + \overline y \end{eqnarray}$ .
26.10.2008, 20:18	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
gerne, ja :-) a) f(x + y) = (a+ib)(x+y) = a(x + y) + b(x + y)i = f(x) + f(y) = ax + ay + b(x + y)i $\begin{eqnarray} f(\lambda (ax + ay) = f(\lambda ax + \lambda ay) = f\lambda (ax + ay) \end{eqnarray}$ b) oke, aber was ist dann $\begin{eqnarray} \overline{x} \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} x_1 - ix_2 \end{eqnarray*}$ ? Vielen Dank
26.10.2008, 20:23	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Leider nicht ganz, ich glaube dein Ansatz beim ersten ist zumindest richtig Ich schreibe es dir einfach mal: $\begin{eqnarray} f(x+y) = (a+\mathrm ib)(x+y) = x(a+\mathrm ib) + y(a+\mathrm ib) = f(x) + f(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(\lambda x) = \lambda x(a+\mathrm ib) = \lambda f(x) \end{eqnarray}$ b) stimmt
26.10.2008, 20:35	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
ookeyy...a) ist somit gemacht --> Vielen Dank! und b) auch fast - da wäre noch dies: $\begin{eqnarray} f(\lambda x) = \lambda x(a + ic) = \lambda f(x) \end{eqnarray}$ right or false? =)
26.10.2008, 20:36	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
b) Mhh da ist die Abbildung doch als Konjugation defniert. Also $\begin{eqnarray} f(\lambda x) = \overline{\lambda x} = \ldots = \lambda \overline x = \lambda f(x) \end{eqnarray}$ wobei du beachten musst das $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ .
26.10.2008, 22:08	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey vielen vielen Dank! Echt super, deine Hilfe! Ich habe noch eine Frage zur Siebformel, die du mir in den anderen Posts erklärt hast. Gehört die folgende Aufgabe ins selbe Thema, oder? ...wie kann man hier die Gleichung zeigen? [attach]8968[/attach]
26.10.2008, 22:12	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach lieber ein neues Thema auf, der Beweis geht mit vollständiger Induktion. Lust hätte ich darauf aber nicht, das ist nur Indexrumschieberei...

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