Momentane Änderungsrate

26.10.2008, 16:31

gartenzwerg

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Momentane Änderungsrate

Folgende Aufgabe steht im Buch:

Ein Fahrzeug wird abgebremst. Für den in der Zeit t zurückgelegten Weg s(t) gilt
s(t) = 20t - t² für 0 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ t $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 10 (s in Meter; t in Sekunden)
Berechnen Sie s(t) für t= 0;1...;9;10. Bestimmen Sie die momentane Geschwindigkeit des Fahrzeuges ( $\begin{eqnarray*} \frac{m}{s} \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} \frac{km}{h} \end{eqnarray*}$ zur Zeit
a) t0 = 3
b) t0 = 6
c) t0 = 9

Die t 0;1;...;9;10 hab ich jetzt schon in s(t) eingesetzt jetzt bin ich bei a) und habe angefangen den Grenzwert zu berechen dazu habe ich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{s(t) - s(3)}{t-3} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{(20t - t²) - 51}{t-3} \end{eqnarray*}$

Bei den Aufgaben die ich vorher berechnet habe, um die momentane Änderungsrate zu errechnen, konnte man ab hier einfach etwas ausklammern und dann durch eine binomische Formel einen Teil des Zählers und einen Teil des Nenners rauskürzen.

Hat jemand eine Idee wie ich weiterrechnen könnte
Danke im Vorraus smile

smile

Liebe Grüße

26.10.2008, 17:30

Q-fLaDeN

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Tipp: Linearfaktorzerlegung im Zähler.

26.10.2008, 17:35

gartenzwerg

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bitte was? geschockt

geschockt

*angstschweiß*

26.10.2008, 17:39

Q-fLaDeN

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Ganzrationale Polynome n-ten Grades in der Form
$\begin{eqnarray*} f(x) = a_1x^n+a_{2}x^{n-1}+a_3x^{n-2} + ... + a_n \end{eqnarray*}$ mit n Nullstellen lässt sich in die Form $\begin{eqnarray*} a_1(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) \cdot ... \cdot (x-x_n) \end{eqnarray*}$ bringen, wobei $\begin{eqnarray*} x_0~\text{bis}~x_n \end{eqnarray*}$ die Nullstellen sind.

Auch hier nachzulesen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Linearfaktorzerlegung

Und genau so kannst du eben den Term im Zähler faktorisieren.

26.10.2008, 17:44

mathe760

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Naja Q-fLaDeN meinte, dass du die Nullstellen des Zählers berechnen sollst und dann das Polynom in seine Linearfaktorzerlegung zerlegen sollst.

Dann hast du eine solche Darstellung:

$\begin{eqnarray*} P(x)= a (x-x_1)\cdot (x-x_2) \end{eqnarray*}$

wobei die x_1, x_2 die beiden Nulstellen sind.

Bis denn mathe760

\Edit: Zu langsam geschockt

geschockt

26.10.2008, 17:46

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von mathe760
$\begin{eqnarray*} P(x)= (x-{x_0}_1)\cdot (x-{x_0}_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(x)= a(x-{x_0}_1)\cdot (x-{x_0}_2) \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

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26.10.2008, 17:49

mathe760

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Stimmt da war ich wohl zu schnell, danke. Ich habs oben editiert.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

26.10.2008, 18:42

gartenzwerg

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und da gibts keine andere möglichkeit?

26.10.2008, 18:46

Q-fLaDeN

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Nein, es gibt aber andere Möglichkeiten die Linearfaktorzerlegung durchzuführen. Nebenbei ist es doch auch nicht wirklich schwer das durchzuführen smile

smile

26.10.2008, 18:47

Jacques

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Hallo,

Polynomdivision wäre eine weitere Möglichkeit.

26.10.2008, 18:49

Q-fLaDeN

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Hast natürlich recht Jacques, daran hab ich jetzt gar nicht gedacht Forum Kloppe

Forum Kloppe

26.10.2008, 18:54

gartenzwerg

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mom

26.10.2008, 19:02

gartenzwerg

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aber jetzt komm ich im gesamten auf -14

das fahrzeug kann ja nicht -14 fahren

26.10.2008, 19:12

Jacques

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Übrigens musst Du Dich bei der abc-Formel vertan haben. Du hast wahrscheinlich nicht beachtet, dass die Reihenfolge des Terms nicht ax² + bx + c ist:

$\begin{eqnarray*} -t^2 + 20t - 51 \end{eqnarray*}$

26.10.2008, 19:15

gartenzwerg

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ja das hab ich dann nach rumgerechens mit diesen kommazahlen auch gemerkt hab dann die nullstellen 3 und 17 raus

hab dann den zähler durch (t-3) (t-7)

ersetzt und t-3 gekürzt

dann hab ich noch t - 17

dann hab ich 3 eingesetzt unglücklich

unglücklich

26.10.2008, 19:24

Jacques

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Da ist der Fehler:

Es gilt

$\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = a(x - x_0)(x + x_1) \end{eqnarray*}$

Also Du musst den Faktor vor x² noch vor die Klammern schreiben.

Also:

$\begin{eqnarray*} -t^2 + 20t - 51 = -(t - 3)(t - 17) \end{eqnarray*}$

Dann sollte doch am Ende auch ein positives Ergebnis herauskommen. Wobei ich jetzt nicht alles nachgerechnet habe.

// Korrektur

26.10.2008, 19:31

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 3} \frac{-t^2+20t-51}{t-3} = \lim_{t \to 3} \frac{-(t-3)(t-17)}{t-3} = \lim_{t \to 3}-(t-17) = \lim_{t \to 3} -t+17 = 14 \end{eqnarray*}$

26.10.2008, 20:23

gartenzwerg

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year stimmt *freu*
bevor wir dieses thema angefangen haben, haben wir kurz die linearfaktorzerlegung besprochen aber das mit dem vorfaktor war bei den einfachen aufgaben die wir dort berechnet haben nich dabei

dankeschön

26.10.2008, 20:31

Jacques

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Zitat:

Original von gartenzwerg

[...]das mit dem vorfaktor war bei den einfachen aufgaben die wir dort berechnet haben nich dabei

Der Faktor ist nur dann nicht dabei, wenn er 1 ist. Also bei Termen wie x² + 4x + 2.

26.10.2008, 22:02

gartenzwerg

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ja das ergibt sich daraus *g*
ohne euch wär ich da nie drauf gekommen. Der nächste Nobelpreis geht an die Helferlein im Matheboard. Ich schreib schonmal nen Brief nach Stockholm.

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