nach x auflösen, x im Exponent

26.10.2008, 17:22	flipkick	Auf diesen Beitrag antworten »
nach x auflösen, x im Exponent Hallo allerseits, ich komme bei der Umformung nach x bei folgender Aufgabe nicht wirklich voran: $\begin{eqnarray} \frac{(2^{4x+5})^{3}}{32^{2x+3}} = e \end{eqnarray}$ Ich könnte ersteinmal den Divisor rüberholen und ein ln auf beide Seiten anwenden: $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow ln(2^{12x+15}) = ln(32e^{2x+3}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow (12x+15)ln(2) = (2x+3)ln(32e) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \frac{(12x+15)}{(2x+3)} = \frac{ln(32e)}{ln(2)} \end{eqnarray}$ aber nun? Oder sollte ich da anders ran gehen. Bin für jeden Tipp dankbar. Grüße, flip
26.10.2008, 17:29	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ich würde anders vorgehen: Schreibe zuerst den Zähler als 2er-Potenz (wie Du vorher schon getan hast). Dann kannst Du auch den Nenner als 2er-Potenz schreiben und folgendes Potenzgesetz anwenden: $\begin{eqnarray} \frac{a^b}{a^c} = a^{b - c} \end{eqnarray}$ // edit: $\begin{eqnarray} 32 = 4 \cdot 8 = 2^2 \cdot 2^3 = 2^5 \end{eqnarray}$ (darüber kommt man darauf, dass 32 eine 2er-Potenz ist)
26.10.2008, 17:55	flipkick	Auf diesen Beitrag antworten »
ersteinmal danke für deine prompte Antwort. Dein Tipp ist angekommen. Potenzgesetz bei gleichem Exponenten: $\begin{eqnarray} a^n b^n = (ab)^n \end{eqnarray}$ Damit habe ich also den Nenner in $\begin{eqnarray} 16^{2x+3} 2^{2x+3} \end{eqnarray}$ umgewandelt. Da kann ich zwar nun den rechten Teil (2^..) des neuen Nenners vom Zähler "abziehen", und den linken Teil (16^..) auf die andere Seite holen, nur wenn ich das weiterführe komme ich zum selben Problem, in diesem Fall dass ich irgendwann ein $\begin{eqnarray} \frac{10x+12}{2x+3} \end{eqnarray*}$ auf einer Seite stehen habe und nicht mehr weiter weiß. Oder habe ich was missachtet, falsch gemacht oder falsch verstanden?
26.10.2008, 18:03	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte Folgendes: Schreibe den ganzen Nenner als 2er-Potenz. Du hast das teilweise ja getan, aber es bleibt bei Dir noch 16^... als Faktor übrig. $\begin{eqnarray} 32^{2x + 3} = \left(2^5 \right)^{2x + 3} = \ ? \end{eqnarray}$
26.10.2008, 19:42	flipkick	Auf diesen Beitrag antworten »
so, ich war erst einmal etwas tischkickern zum ablenken und dann neu besinnen jetzt ist es auch bei mir angekommen: $\begin{eqnarray} \frac{(2^{4x+5})^{3}}{32^{2x+3}} = e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \frac{2^{12x+15}}{(2^5)^{2x+3}} = e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \frac{2^{12x+15}}{2^{10x+15}} = e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 2^{2x} = e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 2x ln(2) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 2x = \frac{1}{ln(2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2ln(2)} \end{eqnarray}$ juhu!! vielen dank!
26.10.2008, 19:45	flipkick	Auf diesen Beitrag antworten »
oder auch $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 2^{2x} = e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 2x = ld(e) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x = \frac{ld(e)}{2} \end{eqnarray}$ je nach belieben
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26.10.2008, 19:54	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Oder auch $\begin{eqnarray} 2^{2x} = \mathrm{e} \ \Longleftrightarrow\ \left(2^2\right)^x = \mathrm{e} \ \Longleftrightarrow\ 4^x = \mathrm{e} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow\ x \cdot \ln(4) = 1\ \Longleftrightarrow\ x = \frac{1}{\ln(4)} \end{eqnarray}$

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