Russelsche Antinomie

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Möndchen Auf diesen Beitrag antworten »
Russelsche Antinomie
Hallo!

Kann mir jemand die Russelsche Antinomie erklären? Warum gucke ich, ob M in M enthalten ist..etc.
Und warum kann soetwas nicht passieren, wenn ich eine Teilmenge von z.B. den natürlichen Zahlen betrachte?

Wäre super!

Danke
Svenja1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe...

http://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie

Tanzen
Möndchen Auf diesen Beitrag antworten »

danke, das hab ich schon gelesen...mir geht es konkret darum, warum man guckt, ob M überhaupt Teil von M sein kann....und somit überhaupt erst auf den Widersprcuh kommt..wäre lieb, wenn einfach mal jmd. das Problem anders als im Wiki Artikel in Worte fassen könnte...vllt. hilft mir das dann weiter...

Danke!
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du sicher weisst, kann man mit Hilfe von Aussagen Mengen konstruieren, indem man Elemente einer Obermenge daraus aussortiert.

Beispiel:



So gesehen, macht man das auch mit der Russelschen Menge. Man bildet eine Aussage und betrachtet nun, was passiert.

Wichtig ist dabei auch, überhaupt zu wissen, was eine Menge ausmacht.
Dabei ist die naive Defintion von Cantor schon ausreichend.

"Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen"

Hier ist im Kontext das Wörtchen bestimmten wichtig.

In der Russelschen Menge ist nun unklar ob die Menge aller Mengen, die sich nicht selber enthalten, sich nun selber enthält oder nicht, denn jede Annahme des einen, impliziert sofort das Gegenteil.
Damit ist nicht "bestimmt" gesagt, was nun mit diesem Objekt sein soll bzw. es führt zu einer für uns widersprüchlichen Aussage.

Rein formal würde die so aussehen:

(R ist genau dann in R wenn R nicht in R ist).

Andere Mathematiker lassen Aussagen, welche selbstbezüglich sind und zu solchen Paradoxa führen, gar nicht zu oder geben solchen Kontruktionen einen anderen Namen (Klasse anstatt Menge) um ein Unterscheidung zu treffen.

Formal lässt sich auch zeigen, dass es die Russelsche Klasse, gar nicht als Menge geben kann.
Möndchen Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön!

Also ich gucke, ob M darin enthalten ist, weil sie formal zur Menge aller Menge gehört?

Und mit den "Andere" (letzter Satz meinst du dann andere Mengen, wie z.B. ein Teil der natürlichen Zahlen)? Und dabei passiert nix, weil ich nicht daruf komme die Menge, auf sich selbst zu beziehen?

Wäre nett, wenn du das noch mal abnickst oder aber den Kopf schüttelst ;-)

Dankeschöön!

Hast mir super weitergeholfen!
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also ich gucke, ob M darin enthalten ist, weil sie formal zur Menge aller Menge gehört?


Vielleicht meinst du das richtige.

Über jedes Objekt muss eindeutig gesagt werden können, ob es zur Menge gehört oder nicht.
Nehme ich an, dass die Menge aller Mengen, die sich nicht selber enthält, Element von sich ist, enthält sie sich ja, und ist nach Defintion nicht Element von sich. Anderherum, ist die Menge aller Mengen, die sich nicht selber enthält, nicht Element von sich, dann ist sie nach Defintion doch Element von sich.

Ich betrachte beide Fälle, weil ich noch nicht weiss, was nun mit diesem Objekt ist und beide führen zu nicht einheitlichen Aussagen.


Mit "Andere" meine ich "anderen Menschen/Leute/Mathematiker".

Ich hoffe es ist nun klarer.
 
 
Möndchen Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...das Paradoxon verstehe ich schon, aber warum frage ich mich ob M überhaupt dazu gehört? wie komme ich darauf überhauot diese Frage zu stellen? vllt. seh auch nur ich das Problem...

Hast du für die "anderen" ein Beispiel?
ajax2leet Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht halt darum, dass sich aus einer bestimmten Mengendefinition heraus eben dieser Widerspruch ergibt.
Die Frage nicht zu stellen, weicht dem Problem nur aus und ändert nichts an der Tatsache, dass die Definition unittelbar zum Widerspruch führt.
Möndchen Auf diesen Beitrag antworten »

aber irgendwie muss es doch einen Zusammenhang/Indiz dafür geben, dass ich überhaupt darauf komme, diese Frage zu stellen?!
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ein anderes Beipsiel:

Man kann einen Barbier definieren als einen Menschen, der alle diejenigen rasiert, und nur diejenigen, die sich nicht selbst rasieren.
Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?

Indem du die Frage nicht stellst, weichst du ihr aus. Du willst doch wissen was du vor dir hast.

Edit: Dazu ist der Link von oben im zweiten Posting recht informativ.
Möndchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm...anders gefragt: was ist das Schlüsselwort in der Defintion, damit ich darauf komme, dies zu fragen?

beim barbier find ich das irgendwie einfacher, da wird gesagt er rasiert alle die sich selbst nicht raiseren, da fällt die frage rasiert er sich selber nicht so sehr vom Himmel...


danke für eure geduld!
Möndchen Auf diesen Beitrag antworten »

vllt. noch anders gefragt: wie hängt die Mengendefintion: die Menge aller Mengen damit zusammen? stelle ich diese frage, weil es aufgrunddessen, das M eine der Mengen aller Mengen ist überhaupt interessant ist?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso willlst du dieser Frage ausweichen?

Als Mathematiker definiert man Dinge und will dann wissen was ihre Eigenschaften sind um mit ihnen arbeiten zu können. Dabei ist der Anspruch auf Widerspruchsfreiheit gegeben.

Blödes Beispiel vielleicht:

Aber wenn ein KFZ Mechaniker Teile an einem Auto auswechseln will, weil diese kaputt sind, schaut er in seinem Ersatzteillager und muss sich sicher sein können, das seine Ersatzteile nicht kaputt sind, sonst könnte er die Kaputten gleich drin lassen.
Dazu muss er wissen, ob alle Ersatzteile seinen Anforderungen "ganz zu sein" entsprechen.
Er muss also über alle seine Ersatzteile und ihrem Zustand bescheit wissen.

Zitat:
vllt. noch anders gefragt: wie hängt die Mengendefintion: die Menge aller Mengen damit zusammen? stelle ich diese frage, weil es aufgrunddessen, das M eine der Mengen aller Mengen ist überhaupt interessant ist?


So kann man das sagen.
Weil es möglich ist, macht man es. Wie gesagt, man will über das, mit was man arbeitet, bescheid wissen.
Möndchen Auf diesen Beitrag antworten »

vllt. würde es mir auch helfen, wenn ihr mir ein Beispiel nennt, was eine Menge ist, die sich nicht selbst enthält..
Möndchen Auf diesen Beitrag antworten »

gut, wenn es damit zusammenhängt, dass M eine der "aller Mengen" ist, dann ist es mir klar...danke für eure geduld!


nun hab ich aber gelesen, dass das Paradoxon nicht auftritt, wenn man Teilmengen von bekannten Mengen wie zB den natürlichen Zahlen betrachtet. hängt das damit zusammen, das ein Selbstbezug, wie die Mengen aller Mengen nicht möglich ist, weil klar definiert wurde, was alles zu der Menge dazugehört?
ajax2leet Auf diesen Beitrag antworten »

Nocheinmal von vorne:
Das Problem (und noch einige andere) ergab sich aus der sog. naiven Mengenlehre des 19. Jhdt.
Damals wurden Menge wie folgt definiert: "Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen" (G. Cantor)
Legt man diese Definition zugrunde, lässt sich eben auch eine Menge von Mengen konstruieren, die sich nicht selbst enthalten.
Wie man jetzt genau darauf kommt, soeine Menge zu konstruieren ist vollkommen irrelevant.
Wichtig ist eben die Tatsache, dass aus der naiven Definition Widersprüche folgen, weswegen man diese auch verworfen hat.
Möndchen Auf diesen Beitrag antworten »

gut, danke, aber wieso passiert nix, wenn ich elemente aus einer bekannten Menge, wie N betrachte?
ajax2leet Auf diesen Beitrag antworten »

Weil heutzutage der Mengenbegriff anders definiert ist: http://de.wikipedia.org/wiki/Axiomatische_Mengenlehre

Bisher ist diese Definition widerspruchsfrei.
Möndchen Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Vielen lieben Dank euch allen!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ajax2leet
Bisher ist diese Definition widerspruchsfrei.


Erstens: Was meinst du mit "bisher"? Und zweitens ist es wohl eher ein Axiomensystem, welches du meinst, und keine Definition.
ajax2leet Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich weiß, lässt sich die Widerspruchsfreiheit des heute üblichen Axiomensystems aufgrund des Unvollständigkeitssatzes nicht beweisen.
Daher könnte doch noch ein Widerspruch auftreten?
mrburns Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn dieser Thread etwas älter ist, stelle ich mal meine fregae dennoch hier, da es sich um das selbe Thema/Problem handelt.

Ich kann einfach nicht nachvollziehen, worin das Poblem bei der Russelschen ANtinomie liegt.
Habe selbstveständlich einige andere threads incl diesem durchgelesen... beantwortet meine Frage jedoch noch nicht ganz.
Vor allem verstehe ich diesen Satz aus Wikipedia nicht:
Zitat:
Angenommen R enthält sich selbst, dann gilt aufgrund der Klasseneigenschaft, mit der R definiert wurde, dass R sich nicht enthält, was der Annahme widerspricht.

Wie ist denn das gemeint und wieso enthält sich R nicht selbst wenn es sich doch enthält nach Definition (siehe Zitat)

AUch wenn M:={1,2,3,M} ist und weiterhin hieße m:={1,2,3,1,2,3,M}
so ist es doch immer noch nichts verkehrtes dran da nach Cantor die unterschiedlichen Elemente betrachtet werden.
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