Modulo

26.10.2008, 18:23

Anne-Sophie

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Modulo

Hallo!
Habe leider ein RIESIGES Problem mit der, für euch wahrscheinlich trivialen Aufgabe:

a)
Bestimmen Sie eine natürliche Zahl x mit 0 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x < 13 und
$\begin{eqnarray*} 2^70 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} 3^70 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ x mod 13

Ich hab hier jetzt zwei Anfänge wobei ich nicht weiß, wie ich bei beiden weitermache geschweige denn, ob üerhaupt einer von Beiden richtig ist -.-

Erster Anfang:
$\begin{eqnarray*} 2^70 \end{eqnarray*}$ => 70 = 2 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ 5 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ 7
=> $\begin{eqnarray*} 2^70 \end{eqnarray*}$
ist kongruent zu 2 (mod 2)
ist kongruent zu 2 (mod 5)
ist kongruent zu 2 (mod 7) (entsprechend $\begin{eqnarray*} 3^70 \end{eqnarray*}$ )

Zweiter Anfang:
13er-Restprobe: $\begin{eqnarray*} 2^70 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} 3^70 \end{eqnarray*}$
= 1,18059162 x $\begin{eqnarray*} 10^21 \end{eqnarray*}$ + 2,5031555 x $\begin{eqnarray*} 10^33 \end{eqnarray*}$
= ...

Leider weiß ich nicht, wie ich weitermachen soll :-(

b)
Mit welcher Ziffer endet die Zahl $\begin{eqnarray*} 3^80 \end{eqnarray*}$

Also bin ich leider nur soweit:
3^80 = 1.47808829 × $\begin{eqnarray*} 10^38 \end{eqnarray*}$ . Demnach endet die Zahl auf 0. Aber das habe ich leider nicht mit modulo sondern mit meinem großem Freund dem Taschenrechner berechnet ;-) Wie mache ich das denn mit modulo?

Hoffe ihr könnt mir helfen!! Wir haben erst eine Veranstaltung bzgl. des Themas gehabt, müssen aber leider die Aufgaben berechnen und nächstes Mal machen wir direkt weiter. Habe keine Lust, jetzt schon nicht mehr mitzukommen -.-
Ihr seid meine Hoffnung. Bitte helft mir.
Danke!
Greets

26.10.2008, 18:24

tmo

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Deine a) ist seine (1)

Da siehst du dann auch, wie man das gescheit mit Latex schreibt. Schaus dir mal an.

26.10.2008, 18:26

kiste

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Für b) rechnest du $\begin{eqnarray*} 3^{80} \mod 10 \end{eqnarray*}$ aus. 0 ist leider nicht richtig, da hat dein Taschenrechner ein Fehler gemacht(deshalb ist die Zahl auch so groß gewählt Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

26.10.2008, 18:30

Anne-Sophie

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modulo
sry, für die latex fehlen, habs noch nie gemacht ;-) und leider kann ich es auch nicht editieren -.- mir wird der zugriff verweigert -.-

@ kiste: schonmal danke. aber wie berechne ich das. finde leider kein beispiel mit hochzahlen und verstehe im moment leider nur bahnhof mit der mod 10 ist eigentlich logisch. aber darf man nicht theoretisch auch mod 100 oder so nehmen oder ist sowas nicht erlaubt?

26.10.2008, 18:34

kiste

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Klar kannst du auch mod 100 machen wenn du die letzten 2 Stellen haben willst. Ist natürlich ungleich schwerer dann auszurechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

(aber trotzdem noch gut möglich).

In dem Fall ist es recht einfach da $\begin{eqnarray*} 3^{80} = 9^{40} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 9 \equiv -1 \mod 10 \end{eqnarray*}$ gilt.
Allgemein benutzt man meist folgende Sätze zum modulo berechnen:
Chinesischer Restsatz, Kleiner Satz von Fermat bzw. die Verallgemeinerung Satz von Euler, schnelle Exponentation.
Wenn du willst kannst du das mal nachlesen, für die Aufgabe brauchst du solche Geschütze jedoch nicht.

26.10.2008, 18:37

Anne-Sophie

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modulo

Zitat:

Original von kiste

In dem Fall ist es recht einfach da $\begin{eqnarray*} 3^{80} = 9^{40} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 9 \equiv -1 \mod 10 \end{eqnarray*}$ gilt.
... für die Aufgabe brauchst du solche Geschütze jedoch nicht.

sry, wenn ich dich so blöd fragen muss, aber wie kommt auf die Rechnung?? wie auf die 9 und wie auf die 40 und dann auf die -1?? verwirrt

verwirrt

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26.10.2008, 18:48

Anne-Sophie

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RE: modulo
zu a) wäre es richtig wenn da raus käme:

$\begin{eqnarray*} -3^2 mal 35 \end{eqnarray*}$ mod ( $\begin{eqnarray*} 2^2 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} 3^2 \end{eqnarray*}$ )

???? sry, aber ich versteh es leider nicht. kann nicht jmd. mal für ganz dumme?
bitte

26.10.2008, 18:52

kiste

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Auf die 9 kommt man mit elementaren Potenzgesetzen wie sie in der 7. Klasse beigebracht werden. Das -1 = 9 mod 10 gilt, ist da -1 + 10 = 9, die beiden Zahlen also denselben Rest durch 10 lassen. Lese dir doch bitte noch einmal die Grundlagen durch, länger als 3min Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2008, 18:55

Anne-Sophie

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RE: modulo
kann mich echt nur vor dir verbeugen :-)

keine ahnung wie man sowas alles so aus dem stehgreif wissen kann. aber wie man aus 3^80 = 9^40 kommt versteh ich immer noch nicht, weiß zwar das es dieselbe zahl im endefekt ist, aber wie man drauf kommt ??? -.- ist schon peinlich :-(

kannst du mir vllt auch noch bei der a) helfen?

stimmt das was ich geschrieben hab?

26.10.2008, 19:00

kiste

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Naja $\begin{eqnarray*} 3^{80} = 3^{2\cdot 40} = \left(3^2\right)^{40} = 9^{40} \end{eqnarray*}$ . Man braucht nur ein bisschen Erfahrung und man muss eben die elementaren Rechenregeln beherrschen.
Machen wir erst einmal die b) fertig, dann kann ich mir die a) noch anschauen.
Kannst du jetzt mit den 2 Tipps das Ergebnis zusammensetzen?

26.10.2008, 19:49

Anne-Sophie

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$\begin{eqnarray*} 3^{80} = 9^{40} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 9 \equiv -1 \mod 10 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 3^80 \end{eqnarray*}$ = 1,47808829 x 10^38

aber mal ganz blöd: dadurch, dass dich doch schon allein x 10^38 rechne, muss doch am Ende eine 0 stehen .... oder??? verwirrt

verwirrt

wenn ich aber jetzt $\begin{eqnarray*} 9 \equiv -1 \mod 10 \end{eqnarray*}$ ausrechne, muss ich doch -1:9 ausrechnen und da muss Rest 10 rauskommen??
-1:9 =-0,111111111
ist demnach die letzte Zahl eine 1??? aber das kann doch eigentlich nicht sein, oder!?!?

26.10.2008, 20:16

kiste

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Pack den Taschenrechner weg... Den brauchst du im Studium nicht!
Das was der ausspuckt ist eben nur eine Näherung nicht die korrekte Zahl.

$\begin{eqnarray*} 9 \equiv -1 \mod 10 \end{eqnarray*}$ ist eine wahre Aussage. Da musst du nicht irgendwie komisch -1:9 rechnen, ka was du gemacht hast. Bitte lese dir die Definition von modulo durch!

28.10.2008, 11:44

Anne-Sophie

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Würde es denn stimmen wenn ich schreibe:

$\begin{eqnarray*} 9 \equiv -1 \mod 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9² \equiv -1 \mod 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9³ \equiv -1 \mod 10 \end{eqnarray*}$ etc

Insgesamt ist dann $\begin{eqnarray*} 9^2 mal k \equiv -1 \mod 10 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} 9^2 mal k + 1 \equiv -1 \mod 10 \end{eqnarray*}$ für alle k Element aus No

Alle Neunerpotenzen mit geraden Exponenten enden auf 1. Das ist hier der Fall. Und theoretisch, hier aber unwichtig, enden alle ungeraden Exponenten auf 9.

Oder ist das falsch?

29.10.2008, 00:30

kiste

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Alle Neunerpotenzen mit geraden Exponenten enden auf 1. Das ist hier der Fall. Und theoretisch, hier aber unwichtig, enden alle ungeraden Exponenten auf 9.

Das stimmt smile

smile

Der Rest von dir ist entweder flüchtigkeitsfehlern unterlaufen oder einfach falsch.
Es ist $\begin{eqnarray*} 9^2 \equiv 1 \mod 10 \end{eqnarray*}$ nicht -1 wie bei dir.

Und allgemein dann: $\begin{eqnarray*} 9^{2k+1} \equiv -1 \equiv 9 \mod 10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 9^{2k} \equiv 1 \mod 10 \end{eqnarray*}$ (Ich denke das hast du verstanden).

29.10.2008, 13:49

Anne-Sophie

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Oh supi! Danke!

Und wie gehe ich jetzt am Besten an die a) ran?

29.10.2008, 13:50

tmo

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So:

Zitat:

Original von tmo
Deine a) ist seine (1)

Da siehst du dann auch, wie man das gescheit mit Latex schreibt. Schaus dir mal an.

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