Körper Beweis

26.10.2008, 18:25

moebius

Körper Beweis

Ich habe folgendes Problem und absolut keine Ahnung, wie ich genau an disen Typ Aufgabe herangehen soll.

Zu beweisen ist, dass Q² unter der Addition ein Körper ist mit

Q² x Q² -> Q²

((x1, y1), (x2, y2)) -> (x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2)

Die Körperaxiome soweit klar.
Folgende Fragen habe ich zu dieser Aufgabe:

1. Zunächst einmal würde mich interessieren wie ich obiges genau lesen muss.

2. Wann ist K ein Körper:
Wenn K ein Körper ist, ist K eine nichtleere Menge, (K\{0}, *) ist eine abelsche Gruppe, (K,+) ist eine abelsche Gruppe und die Elemente von K erfüllen das Distributivgesetz. Das ist doch soweit korrekt, oder?

3. Um nun zu beweisen, dass K ein Körper ist muss gezeigt werden, dass (K,+) eine abelsche Gruppe ist. Um dies zu zeigen, muss gezeigt werden, dass das (K,+) Assoziativ ist. Hierfür benötigt man drei Elemente aus K. Wie wähle ich drei Elemente aus, bzw. wie müssen diese aussehen?

Vielen Dank schonmal für eure Bemühungen.

26.10.2008, 19:20

Romaxx

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Zitat:

1. Zunächst einmal würde mich interessieren wie ich obiges genau lesen muss.

Es handelt sich dabei um eine binäre Operation Q²xQ² -> Q², welche dir sagt, wie du zwei Elemente aus Q² addieren sollst, d.h. zu einem Element aus Q² machst.

Zitat:

2. Wann ist K ein Körper:
Wenn K ein Körper ist, ist K eine nichtleere Menge, (K\{0}, *) ist eine abelsche Gruppe, (K,+) ist eine abelsche Gruppe und die Elemente von K erfüllen das Distributivgesetz. Das ist doch soweit korrekt, oder?

Ja.

Zitat:

3. Um nun zu beweisen, dass K ein Körper ist muss gezeigt werden, dass (K,+) eine abelsche Gruppe ist. Um dies zu zeigen, muss gezeigt werden, dass das (K,+) Assoziativ ist. Hierfür benötigt man drei Elemente aus K. Wie wähle ich drei Elemente aus, bzw. wie müssen diese aussehen?

Das müssen Elemente aus Q² sein.

26.10.2008, 22:06

moebius

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RE: Körper Beweis

Zitat:

Es handelt sich dabei um eine binäre Operation Q²xQ² -> Q², welche dir sagt, wie du zwei Elemente aus Q² addieren sollst, d.h. zu einem Element aus Q² machst.

Ersteinmal vielen Dank für deine Antwort.

Q² x Q² -> Q²

((x1, y1), (x2, y2)) -> (x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2)

Wofür wird denn hier in der Abbildung das Karthesische Produkt verwendet? Oder anders....warum kann man das obige nicht so schreiben?

I. Q² -> Q²
II. (x1, y1),(x2, y2) -> (x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2)

Zeile I sagt doch lediglich, dass es hier um eine Verknüpfung geht. Die Zeile darunter (II.) sagt, wie diese Verknüpfung zu bilden ist oder irre ich?

26.10.2008, 22:29

Romaxx

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Zitat:

Wofür wird denn hier in der Abbildung das Karthesische Produkt verwendet? Oder anders....warum kann man das obige nicht so schreiben?

I. Q² -> Q²
II. (x1, y1),(x2, y2) -> (x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2)

Zeile I sagt doch lediglich, dass es hier um eine Verknüpfung geht. Die Zeile darunter (II.) sagt, wie diese Verknüpfung zu bilden ist oder irre ich?

Um eine Addition zweier Elemente aus Q² zu definieren, benötigst du zwei Elemente aus Q².
Deine Abbildung, welche deine Addition definieren soll, muss also zwei Elemente irgendwie unter einen Hut bekommen, damit es sie gleichzeitig abbilden kann.
Das wird durch das kartesische Produkt Q² x Q² erreicht.
Das eine Element kommt aus dem ersten Q² von Q² x Q² und das zweite Element aus dem zweiten Q² aus Q² x Q².

26.10.2008, 22:33

moebius

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Vielen Dank!

Ich vermute da hat sich ein kleiner Denkfehler bei mir eingeschlichen. Karthesisches Produkt: jedes Element aus A mit jedem Element aus B wobei die Verknüpfung nicht durch das Karthesische Produkt selbst gegeben ist. Stimmt das so? Ich assoziierte mit dem Karthesischen Produkt "Produkt" das es sich um eine Multiplikation jedes Ements aus A mit jedem Element aus B handelt.

Dann werde ich mal diese Aufgabe lösen und hoffen, dass ich auf ein zufriedenstellendes Ergebnis komme. Vielen Dank für eure Hilfe!

27.10.2008, 17:57

moebius

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Ich habe die obige Aufgabe nun gelöst, mit folgendem Ertgebnis. Würde mich freuen, wenn mir jemand bestätigen könnte, ob ich das ganze nun richtig verstanden habe. Um Platz zu sparen, hier nur für das Kommutativgesetz!

Zu Zeigen:

1.Q² ist abelsche Gruppe bzgl. der Addition (Q², +) mit neutralem Element 0
2. Q² ist abelsche Gruppe bzgl. der Multiplikation mit neutralem Element 1 ohne 0 (Q²\{0}, *)

zu1.)
-Kommutativgesetz

Seien $\begin{eqnarray*} a=(x1,y1), b=(x2,y2) \in Q² \end{eqnarray*}$

Behauptung: $\begin{eqnarray*} a+b = b+a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x1,y1)+(x2,y2) = (x2,y2)+(x1,y1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \equiv (x1+x2,y1+y2) = (x2+x1,y2+y1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \equiv (x1+x2,y1+y2) = (x1+x2,y1+y2) \end{eqnarray*}$

Somit ist Q² Kommutativ!

Mir geht es vorallem darum ob Form und Sprachgebrauch korrekt sind. Hier weiss ich insbesondere nicht, ob ich aus $\begin{eqnarray*} (x1+x2,y1+y2) = (x2+x1,y2+y1) \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} (x1+x2,y1+y2) = (x1+x2,y1+y2) \end{eqnarray*}$ machen kann. Immerhin möchte ich ja zeigen, dass gilt: a+b=b+a.

Danke schonmal für eure Mühen!

28.10.2008, 02:46

moebius

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Ist das überhaupt insgesamt ein gültiger Beweis für die Kommutativität? Irgendwie sehe ich nur sehr schwer, wann etwas wirklich bewiesen ist unglücklich

28.10.2008, 09:31

klarsoweit

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Im Prinzip hast du das bewiesen, ist allerdings formal ungeschickt geschrieben. Am besten nimmt man sich die linke Seite der Behauptung und formt so lange um, bis man die rechte Seite erhält:

$\begin{eqnarray*} a + b = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_2 + x_1, y_2 + y_1) = (x_2, y_2) + (x_1, y_1) = b + a \end{eqnarray*}$

So einfach. Mache dir bei jedem Gleichheitszeichen klar, warum die vorgenommene Umformung gilt.

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