Beweis der vollständigen Induktion (nein kein Fehler)

26.10.2008, 20:27

Odania

Beweis der vollständigen Induktion (nein kein Fehler)

Hallo ihr Lieben,

Ich soll das Prinzip der vollständigen Induktion beweisen und zwar mit der Definition der natürlichen Zahlen als Durchschintt aller induktiver Mengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Beh: Wenn $\begin{eqnarray*} 1 \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in A \end{eqnarray*}$ dann ist auch $\begin{eqnarray*} (n+1)\in A \end{eqnarray*}$

Bew:
In jeder Induktiven Menge ist das Element 1 vorhanden per Def.
Wenn wir jetzt annehmen n sein gleich eins
dann muss n+1 also 2 auch in der induktiven Menge liegen
dann können wir wieder annehmen n=2
dann liegt also n+1=drei wieder in der Menge usw.

Ich glaub nicht das das so ok ist. Aber wie geht es richtig?
Ist die Behauptung richtig?

27.10.2008, 02:58

WebFritzi

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RE: Beweis der vollständigen Induktion (nein kein Fehler)

Zitat:

Original von Odania
Ich soll das Prinzip der vollständigen Induktion beweisen [...]

Beh: Wenn $\begin{eqnarray*} 1 \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in A \end{eqnarray*}$ dann ist auch $\begin{eqnarray*} (n+1)\in A \end{eqnarray*}$

Das ist nicht das Prinzip der vollst. Induktion. Desweiteren lässt du total offen, was A überhaupt sein soll.

30.10.2008, 17:35

Odania

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Das liegt an meiner großen Unsicherheit was die Lösung anbelangt.

Ich probier noch mal,obwohl ich das Ergebnis der Übung schon hätte abgeben müssen.

zu Beweisen:
Es sei A(n) eine Aussage, die von der natürlichen Zahl n abhängig ist.
gilt 1. Es ist A(1) richtig.
2. Aus der Richtigkeit von A(n) folgt die Richtigkeit von A(n+1)

Damit ist die Aussage für A(n) für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ richtig.

Beweis:
Gelte: A(1) ist wahr $\begin{eqnarray*} A(n) \Rightarrow A(n+1) \end{eqnarray*}$ ist wahr

Zu zeigen:A gilt für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} B:=\{n \in \mathbb N \mid A(n) wahr\} \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$

A(1) $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1\in B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A(N) \Rightarrow A(n+1)) \Leftrightarrow (x\in B \Rightarrow (x+1) \in B) \end{eqnarray*}$

dann folgt aus $\begin{eqnarray*} (1\in B) \land (x\in B \Rightarrow (x+1) \in B) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ B ist induktive Menge

und man muss noch zeigen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \subset B \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig und wenn ja warum darf man das so machen und warum beweist das die Behauptung???

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