Integrationsaufgabe

05.08.2006, 17:50

gast123

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Integrationsaufgabe

Hi,

wollte folgende Aufgabe Lösen, komme aber nicht richtig voran:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{4x-2}{x^2-2x-63} ~dx \end{eqnarray*}$

Soweit ich weiß müsste ich jetzt erstmal Partialbruchzerlegung machen, weiß aber ehrlich gesagt nicht wie ich das hierbei machen kann, habe es bisher nur bei brüchen gemacht wo im zähler z.b. $\begin{eqnarray*} (x-1)(x+2) \end{eqnarray*}$ stand

hier wäre es ja $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 - 64=(x-1)(x-1)-64 \end{eqnarray*}$ so und was mache ich nun mit der -64???

gruß

Alex

05.08.2006, 17:53

JochenX

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Faktorisiere halt richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

z.B. ist 9 eine Nullstelle, also ist dein Nenner schon mal von der Form (x-9)*(....)

Die zweite Nullstelle auch noch suchen und du hast eine Form, wie du sie kennst.

05.08.2006, 17:54

Ben Sisko

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RE: Integrationsaufgabe
Bleib bei der Darstellung $\begin{eqnarray*} (x-1)^2-64 \end{eqnarray*}$ und beobachte, dass man die dritte binomische Formel anwenden kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.08.2006, 19:17

gast123

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RE: Integrationsaufgabe
ok habe jetzt mal versucht richtig zu faktorisieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also $\begin{eqnarray*} x^2-2x-63 = (x-9)(x+7) \end{eqnarray*}$

dann habe ich durch die partialbruchzerlegung für A $\begin{eqnarray*} 2\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ rausbekommen und für B $\begin{eqnarray*} 1\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

Das ganze dann wieder ins Intergral reingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \int~2\frac{1}{8} \frac{1}{x-9}+ 1\frac{7}{8}\frac{1}{x+7} dx= 2 \frac{1}{8}ln\mid x-9 \mid + 1 \frac{7}{8} ln\mid x+7 \mid \end{eqnarray*}$

ist das dann so richtig? und nach welcher regel geht das ganze dann, habe nur eine in etwa ähnliche aufgabe mit lösung gehabt bei der es heißt das aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-a} \end{eqnarray*}$ beim integrieren $\begin{eqnarray*} ln|x-a| \end{eqnarray*}$ wird

@Ben Sisko

wie könnte ich denn das in die binomische formel einsetzen? $\begin{eqnarray*} (x-1)^2-64 \end{eqnarray*}$ währen ja dann $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = ... \end{eqnarray*}$ sieht leicht aus habe aber irgendwie nicht den passenden lösungsweg....

So schon mal vielen Dank!

05.08.2006, 19:25

derkoch

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RE: Integrationsaufgabe

Zitat:

Original von gast123
$\begin{eqnarray*} (x-1)^2-64 \end{eqnarray*}$ währen ja dann $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = ... \end{eqnarray*}$ sieht leicht aus habe aber irgendwie nicht den passenden lösungsweg....

So schon mal vielen Dank!

Zitat:

Original von gast123
$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = ... \end{eqnarray*}$

pfui! ist doch nicht das 3. binom!!

$\begin{eqnarray*} a^2-b^2 = (a-b)\cdot (a+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2 = a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 64 = b^2 \end{eqnarray*}$

rest darfst du selber! Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.08.2006, 19:31

gast123

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RE: Integrationsaufgabe
$\begin{eqnarray*} (x-1)^2-64 \end{eqnarray*}$ währen ja dann $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = ... \end{eqnarray*}$
da hatte ich mich nur vertippt.... Hammer

Hammer

bin schon von dem hier ausgegangen:

$\begin{eqnarray*} a^2-b^2 = (a-b)\cdot (a+b) \end{eqnarray*}$

komme aber irgendwie nicht auf die lösung verwirrt

verwirrt

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05.08.2006, 19:33

gast123

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RE: Integrationsaufgabe
oooooooooohhhhhh man, bin ich blind

habe es jetzt

05.08.2006, 19:33

derkoch

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RE: Integrationsaufgabe

Zitat:

Original von gast123
$\begin{eqnarray*} (x-1)^2-64 \end{eqnarray*}$ währen ja dann $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = ... \end{eqnarray*}$
da hatte ich mich nur vertippt.... Hammer

Hammer

bin schon von dem hier ausgegangen:

$\begin{eqnarray*} a^2-b^2 = (a-b)\cdot (a+b) \end{eqnarray*}$

komme aber irgendwie nicht auf die lösung verwirrt

verwirrt

da gibt's nicht mehr viel zu machen außer aus $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ a und b zu bestimmen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.08.2006, 19:44

gast123

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RE: Integrationsaufgabe
ok, nach dem peinlichen auftitt habe ich aber noch eine aufgabe bei der ich noch weniger klarkomme:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{3x^2+7x-1}{x^3-3x-2} ~dx \end{eqnarray*}$

wie mache ich denn nun hierbei die partialbruchzerlegung???

05.08.2006, 19:49

mercany

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Genauso wie eben auch. Erstmal ne Faktorzerlegung.

05.08.2006, 20:27

gast123

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ok ich weiß das ist stoff aus der elf, aber ist auch schon etwas her bei mir....

komme bis $\begin{eqnarray*} (x-1)(x^2+x-2-\frac{4}{x-1}) \end{eqnarray*}$ bei der zerlegung des nenners verwirrt

verwirrt

05.08.2006, 20:31

JochenX

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Wie kommst du denn auch auf die (x-1)?
Wenn du eine Nennernullstelle findest (1 ist keine, aber versuch mal -1), dann kannst du (x-NST) abspalten und zwar ohne Rest.

Spalte hier also erst mal (x-NST) ab, nachdem du -1 als NST verifiziert hast also (x+1)

05.08.2006, 20:46

gast123

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scheiße ich kann mich nicht mehr konzentrieren, hatte die -1 als nullstelle, habe aber vergessen diese zu negieren bevor ich diese ausklammern wollte...... Habe Dienstag meine Klausur und komme irgendwie nicht voran....

ok bin jetzt auf dieseshier gekommen: (x+1)(x+1)(x-2)

aber wie würde damit die partialbruchzerlegung aussehen?

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1}+ \frac{B}{x+1} +\frac{C}{x-2} = \frac{3x^2+7x-1}{x^3-3x-2} \end{eqnarray*}$

so doch nicht oder??

05.08.2006, 20:52

mercany

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Nicht ganz. Wegen der doppelten Nullstelle muss es heißen

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1}+ \frac{B}{(x+1)^2} +\frac{C}{x-2} = \frac{3x^2+7x-1}{x^3-3x-2} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

05.08.2006, 21:01

gast123

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also sobald eine nullstelle doppelt ist, egal welche wird diese einmal ohne die potenz im nenner von einem summanden aufgestellt und einmal in der zweier potenz? hätte ich diese dreimal müsste ich dann dementschprechend auch eine mit ^3 haben?

05.08.2006, 21:19

mercany

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Zitat:

Original von gast123
also sobald eine nullstelle doppelt ist, egal welche wird diese einmal ohne die potenz im nenner von einem summanden aufgestellt und einmal in der zweier potenz? hätte ich diese dreimal müsste ich dann dementschprechend auch eine mit ^3 haben?

Korrekt!

Freude

05.08.2006, 23:05

MrPSI

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Ich hab mich auch mal mit der PBZ beschäftigt und dabei hat mich eben die letzte Frage des Gastes auch gestört, habs dann aber wieder vergessen.

Aber wenn man gerade dabei ist....

Wieso muss die doppelte Nullstelle einmal mit einem ^1 und einmal mit ^2 schreiben?

Kann man nicht gleich einen einzigen Bruch mit ^2 schreiben?

05.08.2006, 23:12

Mathespezialschüler

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Ja, dann muss der Zähler aber linear sein, also von der Form $\begin{eqnarray*} Ax+B \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

05.08.2006, 23:24

mercany

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@PSI

Diese Frage wurde hier schonmal gestellt und ausführlich diskutiert und erläutert. Ich finds nur gerade nicht mehr. Musst du eventuell mal nach suchen....

edit: Bitte sehr

Gruß, mercany

05.08.2006, 23:26

gast123

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In diesem Fall also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{Ax+B}{(x+1)^2} +\frac{C}{x-2} = \frac{3x^2+7x-1}{x^3-3x-2} \end{eqnarray*}$

oder habe ich das jetzt falsch verstanden?

habe nämlich solche formen schonmal gesehen und wusste nicht woher diese kommen....

05.08.2006, 23:33

mercany

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Okey, passt! Jetzt durchmultiplizieren mit $\begin{eqnarray*} (x^3-3x-2) \end{eqnarray*}$ .

Gruß, mercany

05.08.2006, 23:46

gast123

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alles klar vielen dank, hab die aufgabe jetzt so gut wie fertig und das ergebnis sieht auch verdammt richtig aus!

Noch mal danke an alle für eure Hilfe, ihr seid die besten!!!!!!

06.08.2006, 00:11

MrPSI

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Danke mercany, für den Link.
Also ich hab das so verstanden: macht man diese Zerlegung für mehrfachen Nullstellen deshalb, um sicher zu gehen, dass bei der Eliminierung des Hauptnenners das entstehende Polynom mindestens einen gleichgrossen Grad hat, wie das Zählerpolynom der Funktion. Damit ergibt sich immer ein lösbarer (und sinnvoller) Koeffizientenvergleich.

Ist das richtig so?

06.08.2006, 02:32

mercany

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Ja! Betrachte die PBZ einfach als eine Umkehrung der Hauptnennerbildung.

Gruß, mercany

06.08.2006, 10:05

MrPSI

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Gut, Danke sehr. Wieder ne störende Kleinigkeit weniger. smile

smile

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