Mengen: Kann Beweis nicht nachvollziehen (1. Semester)

26.10.2008, 23:22

Mr. Ratlos

Mengen: Kann Beweis nicht nachvollziehen (1. Semester)

"Seien A, B und C Mengen. Beweisen Sie, dass gilt: $\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

Nun habe ich nach zwei Wochen Universitätsmathe gelernt, dass man solche Äquivalenzen mithilfe der Implikation beweist. Also: $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow B \longleftrightarrow ((A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)) \end{eqnarray*}$

Der Beweis sieht dann so aus:

Beweis: Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} x \in A \cap (B \cup C) \Rightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in A \cap (B \cup C) \Leftarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

Dann fängt man an mit " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \cap (B \cup C) \end{eqnarray*}$

Dann: $\begin{eqnarray*} x \in A \land x \in B \lor x \in C \end{eqnarray*}$

Soweit ist alles klar. Wie kommt man dann aber urplötzlich im nächsten Schritt auf:

$\begin{eqnarray*} x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$ ?

Also wieso wird aus "A UND B ODER C" = "(A UND B) ODER (A UND C)" Warum z. B. nicht "(A UND B) ODER (B UND C)", also warum nicht:

$\begin{eqnarray*} x \in (A \cap B) \cup (B \cap C) \end{eqnarray*}$ ?

Versteht ihr mein Problem?

Die andere Richtung verstehe ich noch weniger. Da fängt dann auf einmal eine Fallunterscheidung an.

Zu " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow x \in A \cap B \lor x \in A \cap C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (Def. \cup) \end{eqnarray*}$

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} x \in A \cap B \end{eqnarray*}$

Dann:

$\begin{eqnarray*} x \in A \land x \in B \end{eqnarray*}$

Und daher:

$\begin{eqnarray*} x \in A \land x \in B \cup C \end{eqnarray*}$

Und damit:

$\begin{eqnarray*} x \in A \cap (B \cup C) \end{eqnarray*}$

2. Fall:

$\begin{eqnarray*} x \in A \cap C \end{eqnarray*}$

Dann:

$\begin{eqnarray*} x \in A \land x \in C \end{eqnarray*}$

Und daher:

$\begin{eqnarray*} x \in A \cap (B \cup C) \end{eqnarray*}$

Was soll das denn nun? Warum auf einmal die Fallunterscheidung? Woher kommt die Menge C im 1. Fall ins Spiel, obwohl es da nur heißt: $\begin{eqnarray*} x \in A \cap B \end{eqnarray*}$ ? Das ist Stoff aus der allerersten Vorlesung im 1. Semester "Mathematik für Physiker" (Kapitel 0: Grundlagen). verwirrt

27.10.2008, 08:53

klarsoweit

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RE: Mengen: Kann Beweis nicht nachvollziehen (1. Semester)

Zitat:

Original von Mr. Ratlos
Dann: $\begin{eqnarray*} x \in A \land x \in B \lor x \in C \end{eqnarray*}$

Soweit ist alles klar. Wie kommt man dann aber urplötzlich im nächsten Schritt auf:

$\begin{eqnarray*} x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$ ?

Also wieso wird aus "A UND B ODER C" = "(A UND B) ODER (A UND C)" Warum z. B. nicht "(A UND B) ODER (B UND C)", also warum nicht:

$\begin{eqnarray*} x \in (A \cap B) \cup (B \cap C) \end{eqnarray*}$ ?

Versteht ihr mein Problem?

Erstmal muß es heißen: $\begin{eqnarray*} x \in A \land (x \in B \lor x \in C) \end{eqnarray*}$ .

Da also $\begin{eqnarray*} x \in B \lor x \in C \end{eqnarray*}$ ist, haben wir 2 Fälle:

a) $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ : dann ist auch $\begin{eqnarray*} x \in A \cap B \end{eqnarray*}$ und erst recht $\begin{eqnarray*} x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ : dann ist auch $\begin{eqnarray*} x \in A \cap C \end{eqnarray*}$ und erst recht $\begin{eqnarray*} x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

Egal, welcher Fall zutrifft, es ist immer $\begin{eqnarray*} x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht hilft dir das auch bei der Beantwortung deiner weiteren Fragen.

27.10.2008, 12:19

Mr. Ratlos

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Das mit der Klammer hilft wirklich ungemein. Das allein hat mich auch im Prinzip verwirrt. Der Prof. hat das aber wirklich so ohne Klammern geschrieben.

27.10.2008, 12:21

klarsoweit

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Ja die Profs vergessen gerne das eine oder andere und verwirren so die Leute. Augenzwinkern

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