Warum sin und warum Betrag?

06.08.2006, 00:00	deBozz	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sin und warum Betrag? Hallo zusammen! Ich habe gleich zwei Fragen an euch, und zwar geht es um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene. Die Formel dazu lautet: sin(alpha) = (! Richtungsvektor * Normalvektor !) / (Länge Richtungsvektor * Länge Normalvektor) Es tut mir leid, wenn man das schlecht lesen kann, aber ich beherrsche das mit dem Quellcode nicht. Das Ausrufezeichen (!) soll ein Betragsstrich sein. Der Normalenvektor gehört zur Ebene und der Richtungsvektor zur Geraden. Nun ist meine Frage, warum der Zähler in Betragsstrichen stehen muss. Soll das einfach nur absichern, dass man keine negative Zahl auf der rechten Seite herausbekommt und man so die Umkerfunktion des Sinus nicht nehmen kann? Und zweitens wüsste ich gerne, warum es hier Sinus heißt. Möchte man den Schnittwinkel zwischen 2 Ebenen oder den Schnittwinkel zwischen 2 Geraden berechnen, so sieht die Formel nahezu gleich aus. Nur bei den beiden Fällen benutzt man den Cosinus. Warum also bei Ebene/ Gerade den Sinus? Möchte mich nochmal entschuldigen, wenn man die Formel so schlecht lesen kann, aber ich kann es nicht besser Bin für jeden Antwort dankbar! Gruß, deBozz
06.08.2006, 00:25	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Betragsstriche im Zähler verwendet man, weil man immer denselben Winkel berechnen will, egal welche Richtung die Vektoren haben. Denn je nach dem welche Richtung die Vektoren haben, kann das Skalaprodukt auch negativ sein, und dann zeigt der Taschenrechner bei der Berechnung des Winkels einen anderen Winkel an, genauer genommen, den Komplementärwinkel. Zum Sinus: Zuerst einmal berechnet man ja den Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ zwischen Gerade und Normalvektor der Ebene. Das geschieht mit der herkömmlichen Cosinus-Formel. Und der gesuchte Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist der zwischen Gerade und Ebene, also $\begin{eqnarray} \alpha = 90 - \varphi \end{eqnarray}$ . Und nun gilt $\begin{eqnarray} \cos \varphi = \cos ( 90 - \alpha ) = \sin \alpha \end{eqnarray}$ . Fertig ist die Zauberei. Ich weiss, dass es hierzu noch irgendnen Link gibt, find den momentan aber nicht. //edit: hab den Link doch noch gefunden: Hier klicken Ausserdem finde ich, dass das Thema besser in "Geometrie" passt. Ich verschiebs mal... *Verschoben*
06.08.2006, 13:25	deBozz	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Bei der Sache mit den Betragsstrichen muss ich mir nachher mal ne Vorstellung projezieren, das finde ich nicht so einfach. Aber das mit dem Sinus ist super, danke nochmal!
06.08.2006, 15:57	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Stell dir das mal so vor: Mit der dir bekannten Cosinus-Formel (ohne Betragsstriche) wird ja der Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zwischen zwei Geraden, oder besser gesagt, deren Richtungsvektoren bestimmt. Wir nehmen dabei an, dass das Skalaprodukt dieser beiden Vektoren positiv ist. So, wenn du jetzt einen der beiden Richtungsvektoren in die entgegengesetzte Richtung drehst, also einen negativen Richtungsvektor nimmst, dann wird auch das Skalaprodukt negativ und es kommt ein anderer Winkel raus. Grafisch sieht das mit dem umgedrehten Vektor so aus: Da der Vektor umgedreht ist, liegt nun nicht mehr der Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ sondern der Winkel $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ zwischen den beiden Vektoren. Und es gilt $\begin{eqnarray} \beta = 180 - \alpha \end{eqnarray}$ . Der Winkell $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ , der nun mit dem umgedrehten Vektor und dem daraus resultierenden negativen Skalaprodukt errechnet wird, ist also der Komplementärwinkel. Und damit immer ein gleiches, von der Orientierung der Vektoren unabhängiges Ergebnis rauskommt, hat man halt die Betragsstriche hinzugefügt.
09.08.2006, 13:29	deBozz	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Vielen Dank, habe alles verstanden! closed

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »