4/9+5/9 = 1 aber 0,4p+0,5p = 0,9p

06.08.2006, 03:53

sushbone

4/9+5/9 = 1 aber 0,4p+0,5p = 0,9p

Hallo zusammen,

ich hatte mich vor langer Zeit mit einem Bekannten über ein (für uns Augenzwinkern

) mathematisches Problem unterhalten, das mir letztens wieder durch den Kopf gegangen ist. Wir haben damals keine Lösung dazu gefunden, vielleicht kann es mir einer von euch erklären (lernt man sicher im Mathematik-Studium).

Also folgende Situation:
4/9 = 0,4periode
5/9 = 0,5periode

So, nun ist
4/9 + 5/9 = 1
aber
0,4periode + 0,5periode = 0,9periode.

Die Ergebnisse der beiden Additionen sind also nicht identisch. Nah beieinander, aber eben nicht identisch. Obwohl sie es doch sein müssten. Wie kommt das Zustande bzw. wo steckt der Fehler bzw. wo kommt die Ungleichheit zustande?

Vielen Dank für Eure Hilfe, ich bin schon gespannt! Hammer

06.08.2006, 04:10

mercany

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Hallo.

Nehmen wir als Beispiel die rationale Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .
Überlegungen der Periodizität zeigen dir, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} = 0{,}\overline{3} \end{eqnarray*}$ .

Daher ist eine Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ völlig legitim und verändert die Gleichung nicht.

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot 0{,}\overline{3} = 0{,}\overline{9} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} 1 = 0{,}\overline{9} \end{eqnarray*}$ . Vielleicht etwa suspekt, aber wahr. smile

Gruß, mercany

06.08.2006, 11:13

sushbone

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Zitat:

Also $\begin{eqnarray*} 1 = 0{,}\overline{9} \end{eqnarray*}$ . Vielleicht etwa suspekt, aber wahr. smile

Das ist ja mein Problem... für mich steht da irgendwie nicht das gleiche ..... verwirrt

Suspekt trifft die Sache ganz gut. Augenzwinkern

06.08.2006, 11:24

2135354

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Wie wärs damit:
Du findest keine Zahl die zwischen $\begin{eqnarray*} 0{,}\overline{9} \end{eqnarray*}$ und 1 passt, also ist es das gleiche.

06.08.2006, 11:34

Trazom

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Zitat:

Original von sushbone

Zitat:

Also $\begin{eqnarray*} 1 = 0{,}\overline{9} \end{eqnarray*}$ . Vielleicht etwa suspekt, aber wahr. smile

Das ist ja mein Problem... für mich steht da irgendwie nicht das gleiche ..... verwirrt

Suspekt trifft die Sache ganz gut. Augenzwinkern

Was wäre denn die Differenz, die muss es ja geben, wenn es nicht das Gleiche ist?

06.08.2006, 12:09

Mathespezialschüler

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Siehe hier.

Gruß MSS

06.08.2006, 15:12

sushbone

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Siehe hier.

Gruß MSS

Danke für den Link, und auch die hier aufgeführten Argumente.
Ich kann sie nachvollziehen, und ich sehe irgendwo das Problem meiner Denkweise (der Schritt von "beliebig viel" nach "unendlich" bereitet mir wohl auch noch Probleme, ich sehe aber worauf die Argumentation hinausläuft.
Wenn ich mir eine Zahl mit beliebig vielen 9en im Nachkommabereich ausdenke (oder auch noch welche hinzufüge) habe ich mmer noch eine feste Zahl die "weit" davon entfernt ist oo zu werden. Naemlich so wie ich herangehe, naemlich Nachkomma 9en dranzuhaengen, nie. Dafür muss ich quasi erst noch einen "Schritt" weitergehen. Hmmm ich denke es lohnt sich für mich mit dem Begriff des Unendlichen mal auseinanderzusetzen.

Nur etwas frage ich mich jetzt:
Wenn ich mir das so ansehe würden mir folgende, vielleicht leicht philosophisch angehauchte, Aussagen einfallen:

- Die Differenz zwischen zwischen 0,9periode und 1 ist unendlich klein und existiert somit nicht.
oder:
- Nähert sich ein Wert einem Grenzwert an und erreicht ihn im Unendlichen, so sind die Werte identisch.

Was ist aber nun mit Werten die sich der 0 annähern und im Unendlichen erreichen? Diese müssten ja dann auch 0 sein?

PS: Wer sich wie ich für Astronimie und einige Phänomene (laienhaft) interessiert weiss auf welches Problem ich jetzt hinauswill Augenzwinkern

06.08.2006, 16:07

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Zitat:

Original von sushbone
Was ist aber nun mit Werten die sich der 0 annähern und im Unendlichen erreichen?

Das klingt wirklich nach Philosophie...
In der Mathematik gibt es dafür den sauber definierten Begriff des Grenzwertes, von dem du vermutlich noch nichts gehört hast. Mit dem erledigen sich nämlich viele deiner Kopfschmerzen. Augenzwinkern

07.08.2006, 13:10

brain man

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Hier wird der Begriff des Grenzwertes bzw. des Limes erklärt. Nicht nur der Grenzwert einer Folge sondern auch der Grenzwert einer Funktion usw. , falls es dich interessiert...

http://de.wikipedia.org/wiki/Limes_%28Mathematik%29

Oder begnüge dich mit Brüchen, die sind im allgemeinen genauer als Dezimalzahlen und dann musst dir keine Gedanken mehr über die Grenzwertigkeit machen, denn :

1/3 + 2/3 =1

08.08.2006, 17:29

Ambrosius

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während der Schulzeit muss man einfach glauben, das $\begin{eqnarray*} 0.\overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Mercanys Beitrag mit 1/3 find ich sehr gut. Werd ich mir als Erklärung für meine Nachhilfeschüler merken, denn da bin ich schon oft verzweifelt, wenn ich das gefragt wurde.

Relativ schnell kann man das mit der Dezimalentwicklung zeigen:

$\begin{eqnarray*} 0.\overline{9} = \sum_{n=1}^{\infty}~9 \cdot 10^{-n} = 9 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}~ 10^{-n} = 9 \cdot \Big(\sum_{n=0}^{\infty}~ (\frac{1}{10})^n - 1 \Big) = 9 \cdot \Big(\frac{1}{1 - \frac{1}{10}} - 1 \Big) = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn du dich allerdings nicht mit Reihen auskennst, wirst du davon natürlich erschlagen.

Eine Diskussion darüber ob man dazwischen noch Zahlen finden kann oder nicht, kann ewig gehen und hat wohl mehr mit Philosophie als Mathematik zu tun.

Du solltest dir wenn einfach nur merken, dass $\begin{eqnarray*} 0.\overline{9} \end{eqnarray*}$ nur eine andere Schreibweise für die 1 ist. Beide sind völlig identisch, woraus dann auch schon folgt, dass dazwischen keine Zahlen liegen. smile

Wie gesagt, das driftet stark in die Philosophie ab.

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4/9+5/9 = 1 aber 0,4p+0,5p = 0,9p

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