Körper mit x^3+y^3=(x+y)^3

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Algebrastudent Auf diesen Beitrag antworten »
Körper mit x^3+y^3=(x+y)^3
Sei K ein Körper mit mehr als 2 Elementen, der folgende Eigenschaft hat: Für alle x und y in K gilt x^3 + y^3 = (x+y)^3.
Zeige, dass in diesem Körper gilt, dass 1+1+1 = 0 ist.

Wenn ich x = y = 1 einsetze, erhalte ich 0 = (1+1)^3 - 1^3 - 1^3 = 6. Damit weiss ich, dass 1+1=0 oder 1+1+1=0 ist. Aber wie komme ich dann auf 3 = 0?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin beileibe kein Algebraiker, aber ich versuch's mal. Du hast ja IMHO schonmal richtig angefangen und x = y = 1 eingesetzt. Es ist also

.

Damit haben wir folgende Fälle:

(a)
(b)

Fall (b) folgt durch Division durch (1 + 1) in der obigen Gleichung. In Fall (a) hätte der Körper die Charakteristik 2, was wir ausschließen wollten. Also ist (b) der Fall. Wir multiplizieren den linken Ausdruck in (b) aus und erhalten

(b') .

Addition von -1 auf beiden Seiten zeigt die Behauptung.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

WebFritzis Lösung stimmt nicht. Denn der Fall Charakterstik 2 ist in den Voraussetzungen nicht ausgeschlossen, sondern er ist vielmehr als unmöglich nachzuweisen.

Es sei K ein Körper, in dem (x+y)³=x³+y³ für beliebige x,y aus K gilt. Speziell für y=1 erhält man nach Umformen mit dem binomischen Lehrsatz: 3x(x+1) = 0 (wobei 3 für das dreifache Addieren der Körper-Eins steht).

Hätte jetzt K die Charakteristik 2, so könnte man diese Gleichung auch so schreiben: x(x-1)=0. Jetzt wählen wir ein Element a aus K ungleich 0 oder 1 (ein solches gibt es wegen |K|>2). Jetzt ist a ungleich 0 und a-1 ungleich 0, also auch a·(a-1) ungleich 0. Das widerspricht aber "x(x-1)=0 für alle x aus K".

Damit hat K nicht die Charakteristik 2. Setzen wir jetzt x=1 in die obige Gleichung ein, so erhalten wir 3·2 = 0. Und da K nicht die Charakteristik 2 hat, muß 3=0 gelten.

siehe auch http://www.matheboard.de/thread.php?sid=...38309#post38309
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Lösung, Leopold. Besser hätt ich's (vorher) auch nicht machen können.
...
Nun schon:
Angenommen, der Körper hat nicht die Charakteristik 3. Dann kann man die Gleichung 3x(x+1) = 0 durch 3 teilen. Wegen der Größe des Körpers gibt es dann ein Element a ungleich 0 und ungleich -1. Dann ist aber a(a+1) ungleich 0. Widerspruch.

Auf diese Idee kam ich aber erst durch deine Lösung, ich hatte mir selbst vorher eine kompliziertere ausgedacht Gott

Gruss,
SirJective
Algebrastudent Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
Danke euch dreien!
Hätte ich die Charakteristik 2 ausschliessen koennen, waer ich selbst drauf gekommen.

Leopold: Die Umkehrung, auf die du verlinkt hast, kenn ich bereits (Frobenius-Homomorphismus für Koerper der Charakteristik p). Dass x^3+x^3=(x+y)^3 ist, wenn 1+1+1=0 ist.

Hab da noch ne Frage:

Diese Aufgabe muesste doch auch fuer beliebige Primzahlen p gelten, oder? Folgt aus x^p + y^p = (x+y)^p fuer alle x,y aus K (mit |K| > 2), dass die Chakteristik von K gleich p ist?
Ich denk schon, wuesste aber nciht, wie man das allgemein beweisen sollte.

Fuer p=5 haett ich ja dann
x^5 + y^5 = x^5 + 5 x^4 y + 10 x^3 y^2 + 10 x^2 y^3 + 5 x y^4 + y^5, also
0 = x y 5 (x^3 + 2 x^2 y + 2 x y^2 + y^3).
Setze ich y = 1, dann habe ich
0 = 5x (x^3 + 2x^2 + 2x + 1)
Wie mach ich da weiter?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Algebrastudent
Fuer p=5 haett ich ja dann
x^5 + y^5 = x^5 + 5 x^4 y + 10 x^3 y^2 + 10 x^2 y^3 + 5 x y^4 + y^5, also
0 = x y 5 (x^3 + 2 x^2 y + 2 x y^2 + y^3).

Jo, und das ist

0 = xy.5(x+y)^3.

Du setzt dann x = y = 1. Es folgt

0 = 5(1+1)^3.

D.h., 5 = 0 oder 1+1 = 0. Du musst dann letzteres wieder ausschließen und bekommst die Behauptung 5 = 0.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von Algebrastudent
0 = x y 5 (x^3 + 2 x^2 y + 2 x y^2 + y^3).

Jo, und das ist
0 = xy.5(x+y)^3.


Off by one! :P Aber ich geb zu, ich hab den Fehler auch nicht gleich gesehen, dachte noch "warum bin ich da nicht drauf gekommen", bis Irrlicht sagte, dass das so leider nicht richtig ist.

OK, maple sagt:
0 = x y 5 (x^3 + 2 x^2 y + 2 x y^2 + y^3) = 5 x y (x+y) (y^2 + x y + x^2)

Fuer y=1 erhalten wir
0 = 5 x (x + 1) (1 + x + x^2)

Nun gibt es ein x, das ungleich 0 und ungleich -1 ist (wegen |K|>2).
Fuer dieses x gilt also
0 = (1 + x + x^2).
Diese Gleichung hat modulo 3 eine Loesung 1 - damit ist (1+1)^5 = 1^5 + 1^5 in F_3, die Behauptung ist also nicht immer richtig.

Die Gleichung 2^5 = 1^5 + 1^5 gilt also in jedem Koerper der Charakteristik 5 und in jedem Koerper der Charakteristik 3. Aber vielleicht gilt (1+x)^5 = 1 + x^5 nicht allgemein bei Charakteristik 3.

Gruss,
ratloser SirJective verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

*lol* Jau, wenn man 2 und 3 verwechselt... :P
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir doch einfach einmal den Nullring



mit



Jetzt gilt, wenn wir die n-malige Addition der Ring-Eins wie üblich ebenfalls mit n bezeichnen:



Also, lieber WebFritzi, du siehst, so falsch bist du gar nicht gelegen. Ich hoffe, das kann dir in deinem Kummer etwas Trost spenden.

Der Nullring hat übrigens einige interessante Eigenschaften, denn jedes von 0 und 1 verschiedene Element ist z.B. eindeutig in irreduzible Elemente zerlegbar (Allaussagen über der leeren Menge sind immer richtig). Damit ist der Nullring faktoriell. Und weitere Eigenschaften wären in einer Diplomarbeit zu untersuchen. Das könnte interessant werden.

(Oder ist bei einem faktoriellen Ring 0 ungleich 1 vorausgesetzt?)
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich weiss ist ein faktorieller Ring als spezieller Integritaetsring vorausgesetzt, ein Integritaetsring als spezieller Ring mit 1, und fuer einen Ring mit 1 wird 1 =/= 0 verlangt.

Also ist der Nullring nicht faktoriell, obwohl sich jede von 0 verschiedene Nichteinheit eindeutig faktorisieren laesst.

In obigem Beispiel muesste man nicht nur den F_2 und den F_3 ausschliessen, sondern auch den F_4.
Wenn ich die Elemente des F_4 mit 0, 1, a, a+1 bezeichne, dann gilt a^2 = a+1, also ist x=a eine Loesung von
0 = 5 x (x + 1) (1 + x + x^2)
im F_4.

Gruss,
SirJective
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, schade! Und ich dachte, ich hätte neue wesentliche Erkenntnisse zur Algebra gefunden. Aber da ja im Beitrag sowieso 0=1 gilt, könnt ihr ihn ebenso als geschrieben (1) wie auch als nicht geschrieben (0) betrachten. Es ist so, als wäre er gar nicht da ...
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

*lach* Kann etwas gleichzeitig sein und nicht sein?
Wo hat Schroedinger seine Katze gelassen?... Teufel
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Na guck mal im Karton. Denn wenn du hinguckst, hast du das Problem ja gelöst... Oder doch eher umgangen?? verwirrt
Augenzwinkern
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