GLS mit Abhängigkeit

27.10.2008, 12:08

Angel87

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GLS mit Abhängigkeit

Hey,
mir fehlt momentan ein Denkansatz und hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe wieder mal helfen. Die Aufgabe lautet:
Geben Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ an:
$\begin{eqnarray*} \lambda a-b+2c=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a-b+c=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1a+2b-3c=3 \end{eqnarray*}$

Hab es jetzt in eine Matrix umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & -1& 2 &-2 \\ 1 & -1 & 1&-1 \\ -1& 2 & -3&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt wollte ich das Ganze in eine Dreiecksmatrix umschreiben. komme da aber nicht weiter, da mich das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ stört... Habe es dann nur bis hierhin geschafft unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & -1& 2 &-2 \\ 1 & -1 & 1&-1 \\ 0& 1 & -2&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe auch die Determinante bestimmt, da man glaube ich dadurch sagen, kann wann es keine eindeutige Lösung gibt. Kam hier zum Ergebnis $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 0.
LG

27.10.2008, 12:17

mYthos

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Lambda behandelst du wie eine ganz normale Zahl, das stört nicht. Also z.B die 2. (3.) Zeile mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ multiplizieren, usw. ...

Du musst allerdings anfangs auch den Fall behandeln, in dem $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ ist. In der Folge werden dann bei der Division ebenfalls Fallunterscheidungen nötig sein ...

mY+

27.10.2008, 12:37

Angel87

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verwirrt

irgendwie komme ich damit nicht zurecht... bin jetzt soweit gekommen, nur leider geht es jetzt wieder nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & -1& 2 &-2 \\ 0 & -1+\lambda & 2-\lambda&-2+\lambda \\ 0& 1 & -2&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.10.2008, 12:47

mYthos

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Vielleicht ist es einfacher, erst b und c zu eliminieren, weil der Parameter nur bei a vorkommt. Ansonsten muss man das Ganze nach der bereits bekannten Methode "durchziehen".

Hier kommt folgender Tipp: Addiere mal alle drei (Ausgangs-)Gleichungen!

mY+

27.10.2008, 13:42

Angel87

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hmm jetzt habe ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & -1& 2 &-2 \\ 1 & -1 & 1&-1 \\ -1& 2 & -3&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & -1& 2 &-2 \\ \lambda- 1 & 0 & 1&-1 \\ -1& 2 & -3&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hier habe ich 1.zeile + (-1)*2.zeile gerechnet

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & -1& 2 &-2 \\ \lambda- 1 & 0 & 1&-1 \\2\lambda -1& 0 & 1&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hier habe ich 2*(1.zeile)+3.zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & -1& 2 &-2 \\ \lambda- 1 & 0 & 1&-1 \\-\lambda & 0 & 0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ 2.zeile +(-1)*3.zeile

dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 0 und bin ich damit fertig? Kann ich sagen, dass es keine eindeutige Lösung gibt?

27.10.2008, 13:53

klarsoweit

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Die letzte Umformumg war "3. Zeile + (-1) * 2. Zeile". Überhaupt haben deine Umformungen formal mit dem Gauß-Verfahren nichts zu tun. Jedenfalls ist das Ziel des Verfahrens, eine Stufenmatrix zu erhalten, nicht erreicht. Aber ist in diesem Fall egal. Und sagen kannst du viel, ob es stimmt, ist eine andere Frage. smile

smile

Nun ja. Was für eine Matrix hast du für lambda = 0 ?

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27.10.2008, 14:09

Angel87

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Tut mir Leid ich weiss leider nicht was du meinst... Verstehe dieses Thema noch nicht so wirklich... wäre super, wenn du vllt genauer darauf eingehen könntest und mir das ganze mit Gauss eventuell näher bringen könntest, weil ein lambda bleibt doch immer stehen?? Ich weiss, dass ich mich dumm anstelle, aber ich hoffe ihr habt Nachsicht smile

smile

27.10.2008, 14:18

klarsoweit

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Um das richtige Gauß-Verfahren kümmern wir uns später. Wie wir an der letzten Zeile sehen, hat der Fall lambda = 0 etwas besonderes. Denn dann ist die 3. Gleichung, die sich aus der 3. Zeile ergibt, immer erfüllt. Also solltest du einfach mal alle lambdas in der Matrix mit Null ersetzen.

27.10.2008, 14:27

Angel87

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Ich hoffe ich habe das richtig verstanden:
$\begin{eqnarray*} -b+2c=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -a+c=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

27.10.2008, 14:41

klarsoweit

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RE: GLS mit Abhängigkeit
Eigentlich solltest du das in der Matrix machen. Aber von mir aus. Hättest du es in der Matrix gemacht, dann würde diese nach Vertauschung der 1. und 2. Zeile in Zeilenstufenform stehen. Als erstes brauchen wir eine spezielle Lösung. Setze dazu meinetwegen c = -1 und bestimme die anderen Variablen.

27.10.2008, 14:50

Angel87

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Das ist mir nicht so klar. Ich soll für c=-1 wählen oder die 2.zeile nach c auflösen? wenn ich c=-1 wähle(warum) dann bekomme ich für die anderen variablen 0 raus. löse ich nach c auf, so bleiben in der ersten zeile die variablen a und b stehen.

27.10.2008, 14:57

klarsoweit

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Mir scheint, du hast noch nie im Leben ein GLS mit Gauß-Verfahren oder sonst wie gelöst. Wenn du für c einen Wert setzt, mußt du natürlich nach den restlichen Variablen auflösen. Richtigerweise bekommst du dann a=b=0 raus.

Nachdem wir jetzt eine spezielle Lösung haben, müssen wir noich die allgemeine Lösung bestimmen. Dazu setzen wir die rechte Seite in dem GLS Null. Also:

$\begin{eqnarray*} -b+2c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -a+c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt setze für einen Parameter, meinetwegen t. Löse dann die Gleichungen wieder nach den anderen Variablen auf.

27.10.2008, 15:12

Angel87

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Danke für dein Bemühen Freude

Freude

, aber irgendwie steige ich da nicht hinter.

27.10.2008, 15:17

klarsoweit

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Weil du - wie schon gesagt - das noch nie im Leben gemacht hast. Oder irre ich mich da?

Also du wirst doch in den Gleichungen
$\begin{eqnarray*} -b+2c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -a+c=0 \end{eqnarray*}$
das c durch t ersetzen und dann nach a bzw. b auflösen können?

27.10.2008, 15:33

Angel87

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ja habe sowas noch nie gamacht! also so?
-b+2t=0
-a+t=0

b=2t
a=t

ich verstehe den Sinn leider nicht.

27.10.2008, 15:54

klarsoweit

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Dann frage ich mich, wie du an solche Aufgaben kommst. Ich meine, das ganze muß doch irgendwie einen Zusammenhang zum aktuellen Stoff aus irgendeiner Vorlesung haben.

Nun ja, fassen wir mal zusammen: Das GLS, wo die rechte Seite komplett aus Nullen besteht, wird von dem Vektor (t, 2t, t) bzw. t * (1, 2, 1) gelöst. t ist dabei ein belieber Wert aus dem zugrundliegenden Körper, also hier den reellen Zahlen. Man nennt diese Lösung auch Lösung des homogenen GLS. Die allgemeine Lösung des inhomogenen GLS (wo also rechts nicht nur Nullen stehen) ergibt sich aus der allgemeinen Lösung des homogenen GLS (das war t * (1, 2, 1) ) zuzüglich einer beliebigen Lösung des inhomogenen GLS (das war (0, 0, -1) ).

Zusammengefaßt haben wir also für lambda = 0 die Lösung t * (1, 2, 1) + (0, 0, -1)

Und jetzt mußt du den ganzen Spaß nochmal für den Fall lambda ungleich Null machen. smile

smile

27.10.2008, 16:16

mYthos

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Man kann das Verfahren entscheidend abkürzen, indem du den Tipp, der anfangs gegeben wurde, ausnützt:

Die Addition der drei Gleichungen liefert:

$\begin{eqnarray*} \lambda a = 0 \end{eqnarray*}$

Fall 1:

$\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$
----------------
sofort folgt leicht:

$\begin{eqnarray*} 0 a \ -b + 2c = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a - b + c = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a + 2b - 3c = 3 \end{eqnarray*}$
------------------------------------

Da dieses lGS unterbestimmt, weil abhängig, ist, kannst du eine Variable mittels eines Parameters (t) ausdrücken und z. B. nur mit den beiden letzten Gleichungen (2 und 3) weiterrechnen :

$\begin{eqnarray*} a = t \end{eqnarray*}$

Mittels der Gleichungen 2 und 3 folgen unmittelbar $\begin{eqnarray*} b = 2t \ \text{und} \ c = -1 + t \end{eqnarray*}$ .

Fall 2:

$\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$
--------------------
$\begin{eqnarray*} \to b = 0; \ \to \ c = -1 \end{eqnarray*}$

Wir sehen, dass die Lösung des Falles 2 ohnehin in der allgemeinen Lösung des Falles 1 enthalten ist (t = 0). Somit hat das lGS für alle Fälle die im 1. Fall errechnete Lösungsmenge. Sie besteht aus unendlich vielen Lösungstripeln (a; b; c), die sich beim Durchlaufen des Parameters t über alle reellen Zahlen ergeben.

mY+

27.10.2008, 16:54

Angel87

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@mythos
Kann man die drei Gleichungen immer addieren, oder passt das speziell für diese Aufgabe?
Dann verstehe ich nicht ganz, wie du

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a = t \end{eqnarray*}$ Mittels der Gleichungen 2 und 3 folgen unmittelbar $\begin{eqnarray*} b = 2t \ \text{und} \ c = -1 + t \end{eqnarray*}$ .

darauf kommst. Wenn ich für $\begin{eqnarray*} a - b + c = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a + 2b - 3c = 3 \end{eqnarray*}$ a = t setze ergibt sich bei mir folgendes:

t+c+1=b
-t+2b-3c=3

Ich hoffe ihr habt noch ein bisschen Geduld mit mir Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2008, 17:08

mYthos

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Natürlich geht das nicht immer so unmittelbar einfach, aber hier hat sich dieser Weg angeboten. Das Eliminationsverfahren (Additionsverfahren) "lebt" immer vom möglichst günstigen Kombinieren und Zuammenfassen der Koeffizienten, parallel dazu funktioniert ja auch gleichermaßen das Additionsverfahren beim "listigen" Umformen der Matrix.

----------

a = t

Gl. 2 + Gl. 3:... b - 2c = 2
Gl. 2: ......... t - b + c = -1
-------------------------------------
-> addieren -> c
c = -1 + t und b = 2t

Deine Gleichungen stimmen übrigens auch und liefern dasselbe Resultat.

mY+

27.10.2008, 18:04

Angel87

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Danke für eure Zeit!!!

27.10.2008, 18:12

mYthos

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Wenn du dies dabei letztendlich wirklich ganz verstanden hast, war es das wert!
smile

smile

mY+

27.10.2008, 19:11

klarsoweit

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Da habe ich meine Zweifel. Deswegen ging es mir eher darum, die prinzipielle Methodik zu erklären, statt hier einen zufälligerweise günstigen Umstand auszunützen.

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