Extremwertaufgaben - Seite 2

11.08.2006, 13:04

sonyejin

hallo loed...
danke dir zunächst für die informationen.. allerdings könnte ich diese abstandsformel jetzt nicht aufstellen... ich hab da jetzt einfach mal ein gleichschenkliges Dreieck eingezeichnet.. man hätte ja dann schon die eine Länge der Kathete .. wenn ich jetzt noch die Hypotenusenlänge hätte. könnte man das doch mit dem Satz des Pythagoras lösen oder?
oder wie geht das hier?

11.08.2006, 13:30

JochenX

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Satz des Pythagoras ist schon genau richtig.

Du hast den festen Punkt Q und den von x abhängenden Punkt P(x).
Allerdings hast du, wenn du x mal als fest ansiehst, auch beide Koordinaten von P.
Du hast dann beide Katheten.
Die Hypotenusenlänge ist ja gerade der gesuchte Abstand von Q zu P(x).

05.09.2006, 16:00

sonyejin

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tach..
muss mal wieder meinen thread nach oben pushen...

danke dir loed für deine hilfe.. ich hatte ne zeitlang analysis ad acta gelegt und muss mich jetzt wieder reinhängen, weil die klausur nun tatsächlich naht.. anyways..

ich muss aber ganz ehrlich gestehen, dass ich trotzdem nicht so genau weiter weiss, wie ich nun weiter fortfahre..

ich habe jetzt erstmal die hauptbedingung aufgestellt :

HB : $\begin{eqnarray*} d^2 = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

Die Nebenbedingung wäre ja dann : $\begin{eqnarray*} y= \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die beiden jetzt verbinde , steht dort :

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{x^2 + \sqrt{x}^2 } \end{eqnarray*}$

Wie gehts aber nun weiter? Wie bringe ich beide Koordinaten der beiden Katheten ins Spiel und wie lautet dann die Zielfunktion, die ich dann ableite, um das Minimum zu ermitteln..

Fragen über Fragen.. ich hoffe, dass ihr mir gute Ansätze sagen könnt..

05.09.2006, 19:16

JochenX

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hey, hallo zurück, haste wieder was ausgegraben Augenzwinkern

Zitat:

Original von sonyejin
HB : $\begin{eqnarray*} d^2 = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

das ist falsch, das ist der Abstand (hoch 2) vom URSPRUNG, das kannste auch mal durchrechnen, aber für x=0 ist dieser Abstand 0, da wirste nicht viel Freude mit haben.

Du willst doch Abstand von deinem Punkt (3/0), also muss der Ansatz anders aussehen (aber die Grundidee war schon richtig!).

05.09.2006, 19:48

sonyejin

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Hallo Loed..
ja genau ^^..

zur Aufgabe :
Ja stimmt.. die HB müsste dann also lauten : $\begin{eqnarray*} d^2 = (3-x)^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung denn : $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Zielfunktion :
$\begin{eqnarray*} d^2 = (3-x)^2+ x^2 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich nun weiter vor? ZF zunächst ausmultiplizieren?
hab dann dort stehen :

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{x^2-5x+9} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig? und wenn ja.. wie gehts dann weiter? Einfach die erste Ableitung von
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x^2-5x+9} \end{eqnarray*}$
und nach x auflösen?

05.09.2006, 20:06

JochenX

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du hast bei d^2 hinten auch noch x^2 statt x stehen, das ist ein Tippfehler, oder?

beachte: d extremal <=> d^2 extremal
du kannst also auch d^2 nach Extrema durchsuchen, das geht einfacher als d, da du dort Wurzeln hast!

Tatsächlich kannst du nun einfach d^2 ableiten und das Minimum suchen.....
Randextrema evtl. noch untersuchen.

Kannst dann noch die Probe machen:
sei (u/v) der berechnete Punkt. dann sollte die Gerade durch (u/v) und (3/0) senkrecht auf der Kurve in (u/v) stehen. Gute Übung und Kontrolle....

05.09.2006, 20:43

sonyejin

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@ Loed:

war in der Tat ein Tippfehler..

also steht da im Endeffekt folgendes :

$\begin{eqnarray*} d^2 = (3-x)^2 + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d^2 = x^2-5x+9 \end{eqnarray*}$

d^2 '= 2x-5

$\begin{eqnarray*} x = \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ ?? Ist das so richtig?

Und was meinst du mit Randextrema?
Danke im Voraus ^^

05.09.2006, 21:25

JochenX

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$\begin{eqnarray*} x=5/2 \end{eqnarray*}$ sollte stimmen.

Wie vorgeschlagen kannst du es ja mal prüfen.
Berechne die Tangentensteigung deiner Kurve an der Stelle x=2,5 und die Steigung der Geraden durch diesen Punkt und (3/0).

05.09.2006, 22:29

sonyejin

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roger that.. danke dir loed!

11.09.2006, 11:45

sonyejin

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noch eine weitere Extremwertaufgabe
Moin zusammen..
ich habe hier wiederum eine Extremwertaufgabe und wollte nur mal prüfen lassen, ob meine Zielfunktion so richtg ist:

Die Aufgabe lautet : Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} y= x^2+1 \end{eqnarray*}$
Skizzieren sie die funktion und die Umkehrrelation und berechnen sie den minimalen Abstand d zwischen funktion und umkehrrelation..

habe jetzt also folgendes gemacht:

Hauptbedingung:
$\begin{eqnarray*} d^2= (x-1)^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung:
$\begin{eqnarray*} y= x^2+1 \end{eqnarray*}$

Zielfunktion :
$\begin{eqnarray*} d^2= (x-1)^2 +(x^2+1)^2 \end{eqnarray*}$
.......
$\begin{eqnarray*} d^2= x^4+x^2-2x+2 \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierhin richtig? Wenn ja muss ich doch jetzt einfach nur noch die Zielfunktion ableiten und x bestimmen oder?
Danke im Voraus

11.09.2006, 11:59

JochenX

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Hallo, vielleicht solltest du mal neue Threads aufmachen, für Übersichtlchkeit, aber ich helfe dir auch gerne hier weiter.

Wenn ich aber ehrlich bin, dann verstehe ich deinen Ansatz überhaupt nicht..... das ist doch der Abstand (^2) zum Punkt (1/0), aber wieso willst du den benutzen!?

Sollt ihr eigentlich den Extremwertalgo benutzen?
Später würde ich dir dann nämlich oft sinnvolle geometrische Alternativen zeigen....

11.09.2006, 12:11

sonyejin

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hallo loed..
aso.. ich schreibe es extra immer in den gleichen thread, um nicht unnötig viele threads zu erstellen.. einige mögen das ja gar nicht ^^.. anyways..

hmm.. ich scheine das prinzip noch nicht verstanden zu haben.. habe es so ähnlich gemacht wie bei der letzten extremwertaufgabe.. ich habe ein dreieck eingezeichnet.. x und y sind ja dann aus der skizze ersichtlich und dann die hypotenuse ausgerechnet. aber wie gesagt.. ich habe das prinzip wohl nicht verstanden unglücklich

.. wie müsste man denn hier vorgehen?

was meinst du mit dem extremwertalgo? meinst du das mit der HB , NB etc?.. müssen wir nicht zwangsweise benutzen schätze ich.. alternativen hoere ich mir gerne an.. hauptsache ich verstehe es und kann es richtig umsetzen ^^

11.09.2006, 12:50

Bjoern1982

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Hallo

Bei deiner Aufgabe brauchst du eher die Formel zur Berechnung der Entfernung d zweier Punkte A(a1/a2) und B(b1/b2).

Sie lautet:

$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{(b1-a1)^2+(b2-a2)^2} \end{eqnarray*}$

Das Entscheidende ist es jetzt zu sehen welcher Zusammenhang zwischen dem Punkt der Ausgangsfunktion und deren Umkehrfunktion vorliegt...

Gruß Björn

11.09.2006, 13:22

sonyejin

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hallo bjoern.. danke dir zunächst für die Antwort..

aber was habe ich denn jetzt davon, wenn ich es nach der Formel berechne ?..

d= Wurzel 2

ich erkenne jetzt auch nicht den entscheidenden Zusammenhang zwischen den Punkt der Ausgangsfunktion und dem Punkt der Umkehrfunktion unglücklich

11.09.2006, 13:28

JochenX

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Zitat:

Original von sonyejin
d= Wurzel 2

so einfach sicher nicht

Zitat:

ich erkenne jetzt auch nicht den entscheidenden Zusammenhang zwischen den Punkt der Ausgangsfunktion und dem Punkt der Umkehrfunktion unglücklich

Der entschedende Trick ist: da das ganze symmetrisch ist, bekommst du den Punkt mit kleinstem Abstand zur Umkehrkurve auch, indem du den kleinsten Abstand zur ersten Winkelhalbierenden suchst und auf der anderen Seite genau den analogen Punkt wählst.

Insbesondere sind die beiden Punkte auf den Kurven, die den kleinsten Abstand haben "symmetrisch", also von der Form (u/v) und (v/u).

Damit bekommst du schon mal d(u,v) und DANN kannst du u,v in einen Zusammenhang bringen, da sie auf der Kurve liegen.

Natürlich kannst du am Ende wieder d^2 minimieren statt d.

11.09.2006, 13:35

Bjoern1982

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Hallo

Was meinst du denn mit d= Wurzel 2

Zitat:

ich erkenne jetzt auch nicht den entscheidenden Zusammenhang zwischen den Punkt der Ausgangsfunktion und dem Punkt der Umkehrfunktion

Wenn du eine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ zu einer Ausgangsfunktion f bildest vertauscht du ja quasi x und y.

Wenn durch die Ausgangsfunktion f ein Element x der Definitionsmenge auf ein Element y der Zielmenge abgebildet wird, dann wird durch die Umkehrfunktion dieses Element y wieder zurück auf x abgbildet.

Es gilt also f(x)=y <=> $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=x \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x))=x \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

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