Ebenengleichung in Normalenform aus 3 Punkten

27.10.2008, 17:41

p5ychia7er

Ebenengleichung in Normalenform aus 3 Punkten

Servus,
ich scheitere mal wieder an sicher recht einfach zu lösenden Problemstellungen.
Ich habe 3 Punkte gegeben und soll eine Ebenengleichung in Normalenform aufstellen.
geg. $\begin{eqnarray*} A(-2|8|0),~B(0|0|-2)~und~D(0|6|1) \end{eqnarray*}$
und ein mögliches Ergebnis: $\begin{eqnarray*} E: 2x_{1}+x_{2}-2x_{3}-4=0 \end{eqnarray*}$

Ich habe also zunächst die Geradengleichungen von $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AB} ~und~\overrightarrow{AD} \end{eqnarray*}$ aufgestellt

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + k*\begin{pmatrix} 2 \\ -8 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + k*\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann die Ebenengleichung in Parameterform mit dem Aufpunkt und den beiden Geraden:

$\begin{eqnarray*} E= A + k*~\overrightarrow{AB} + l*~\overrightarrow{AD} = \end{eqnarray*}$

und ab hier komme ich leider nicht weiter, da ich nicht weiß, was ich machen muss.
Ich habe mich schon an $\begin{eqnarray*} -2n_{1}-8n_{2}-2n_{3}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2n_{1}-2n_{2}+n_{3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1=n_{1} \end{eqnarray*}$ und ähnlichem frei gewählt versucht, aber außer ungleichungen kam nichts dabei heraus.

Könnt ihr mir bitte einen kleinen Denkanstoß in die richtige Richtung geben.

27.10.2008, 18:53

riwe

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RE: Ebenengleichung in Normalenform aus 3 Punkten
1)zunächst brauchst du keine geraden sondern nur die (richtungs)vektoren.
2) die 1. gleichung zur berechnung des normalenvektors ist falsch.
3) vielleicht solltest du einmal die grundrechenarten üben, wenn du nix raus bringst.

$\begin{eqnarray*} ( I)\quad{ }-n_1+4n_2+n_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (II)\quad{ }2n_1-2n_2+n_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (II)-(I)\to (III)\quad{ }3n_1-6n_2=0\to n_2=1\quad{ }n_1=2 \end{eqnarray*}$

27.10.2008, 19:07

Mathewolf

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RE: Ebenengleichung in Normalenform aus 3 Punkten
Die Parameterform ist schon fast mal richtig
Für die Bestimmung der Normalenform der Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ benötigst du den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ . Er ist der Vektor, der Senkrecht zur Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ steht.
Das bedeutet $\begin{eqnarray*} \vec{AB}\cdot\vec n=0 \end{eqnarray*}$ . Im Übrigen gilt dies nicht nur für bestimmte Punkte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , sondern für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , der auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ liegt.
Sei nun $\begin{eqnarray*} \vec a:=\vec{0A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec x:=\vec{0X} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} (\vec x-\vec a) \| E \end{eqnarray*}$ und es gilt
$\begin{eqnarray*} (\vec x-\vec a)\cdot\vec n = 0\ \Leftrightarrow\ \vec x\cdot\vec n = \vec a\cdot\vec n \end{eqnarray*}$
Jetzt mußt du nur noch $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ ermitteln. Hast du da vielleicht eine Idee?

27.10.2008, 20:54

p5ychia7er

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So, wie ich deine Erklärung verstanden habe, wäre z.B. das (Skalar?)produkt $\begin{eqnarray*} (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})~*~\overrightarrow{n}=0 \end{eqnarray*}$ (Bei uns gibts beim Skalarprodukt immer einen "Kringel" und nicht den normalen Malpunkt)

in meinem Fall also von $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AB}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -8 \\ -2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AD}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Damit komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} I.:2n_{1}-8n_{2}-2n_{3}=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} II.:2n_{1}-2n_{2}+1n_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Hier muss ich die $\begin{eqnarray*} I. \end{eqnarray*}$ noch durch 2 teilen um am Ende auf das richtige Ergebnis zu kommen - weil so weiterrechnend komme ich nur zu unbrauchbarem wie $\begin{eqnarray*} II.:2n_{1}-4n_{1}+6n_{1}=0 \end{eqnarray*}$ ...

Mit dem durch 2 geteilten weiterrechnend komme ich dann auf
$\begin{eqnarray*} n_{1}=2;~ n_{2}=1;~und~n_{3}=-2; \end{eqnarray*}$
habe also

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und jetzt?

27.10.2008, 21:31

d77p

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RE: Ebenengleichung in Normalenform aus 3 Punkten

Zitat:

Original von p5ychia7er
ein mögliches Ergebnis: $\begin{eqnarray*} E: 2x_{1}+x_{2}-2x_{3}-4=0 \end{eqnarray*}$

Durch diese Koordinatenform hast du doch schon den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und kannst dir lästiges errechnen sparen.

Einen Stützpunkt/Aufpunkt hast du durch die Parameterform ja auch schon:
$\begin{eqnarray*} A = (-2|8|0) \end{eqnarray*}$ .

Wo liegt nun dein Problem?

27.10.2008, 21:43

p5ychia7er

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Naja, das Ergebnis ist ja nur zum Weiterrechnen der folgenden Aufgaben gegeben und darf ja nicht zur Berechnung des Normalenvektors benutzt werden. Für den muss schon der Rechenweg da stehen.
aber jetzt wo du es sagst, fällt mir erst auf, dass die $\begin{eqnarray*} n_{1};~n_{2};und ~n_{3} \end{eqnarray*}$ vom Normalenvektor dann ja die Faktoren vor $\begin{eqnarray*} x_{1};~x_{2};und ~x_{3} \end{eqnarray*}$ sind. Bleibt nur noch die Frage woher die -4? Einsetzen eines Aufpunkts z.B. A führt zu -4 - ist es auch der richtige Weg?

27.10.2008, 22:07

d77p

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Nehmen wir mal an Du würdest für deine Normalenform den Aufpunkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nehmen.

Um dann auf die Koordinatenform zu kommen nimmst du dann (wie Du schon richtig bemerkt hast) $\begin{eqnarray*} n_{1};~n_{2};und ~n_{3} \end{eqnarray*}$ vom normalenvektor als Faktoren vor $\begin{eqnarray*} x_{1};~x_{2};und ~x_{3} \end{eqnarray*}$ . Auf die $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ kommst du folgendermaßen:

Skalarprodukt aus dem Vektor des Aufpunktes und dem Normalenvektor der Normalenform. Hierbei kommt dann vermutlich $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ raus. Das kommt daher, dass man bei diesem Rechenweg sozusagen den Wert hinter dem $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ berechnet.

Die Koordinatenform würde dann also so aussehen: $\begin{eqnarray*} E: 2x_{1}+x_{2}-2x_{3}=4 \end{eqnarray*}$

27.10.2008, 22:58

riwe

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Zitat:

Original von p5ychia7er
So, wie ich deine Erklärung verstanden habe, wäre z.B. das (Skalar?)produkt $\begin{eqnarray*} (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})~*~\overrightarrow{n}=0 \end{eqnarray*}$ (Bei uns gibts beim Skalarprodukt immer einen "Kringel" und nicht den normalen Malpunkt)

in meinem Fall also von $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AB}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -8 \\ -2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{AD}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Damit komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} I.:2n_{1}-8n_{2}-2n_{3}=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} II.:2n_{1}-2n_{2}+1n_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Hier muss ich die $\begin{eqnarray*} I. \end{eqnarray*}$ noch durch 2 teilen um am Ende auf das richtige Ergebnis zu kommen - weil so weiterrechnend komme ich nur zu unbrauchbarem wie $\begin{eqnarray*} II.:2n_{1}-4n_{1}+6n_{1}=0 \end{eqnarray*}$ ...

Mit dem durch 2 geteilten weiterrechnend komme ich dann auf
$\begin{eqnarray*} n_{1}=2;~ n_{2}=1;~und~n_{3}=-2; \end{eqnarray*}$
habe also

$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und jetzt?

das stimmt nun, und damit rechnest du weiter, indem du den punkt B (das ist am einfachsten, genau: einen (bekannten) punkt der ebene) einsetzt:

$\begin{eqnarray*} 2x+y-2z=0+0-2\cdot(-2)=4 \end{eqnarray*}$
womit du bei deinem wunschresultat bist Freude

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