Gleichungssystem mit 4 Variablen

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Zelos Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem mit 4 Variablen
Hallo,
ich hänge gerade an einem Gleichungssystem (Grad 3), bei dem ich echt nicht weiter weiß.
Normalerweise konnte ich bis jetzt alles lösen, aber irgendwie komme ich hier nicht weiter:






(Ich weiß nicht genau,wie ich hier ein LGS mit Latex schreiben kann, tut mir leid.)

Laut http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...ungssysteme.htm ist die gesuchte Funktion f(x)=x³-3x, was laut Graph auch stimmt.
Allerdings komme ich nicht dorthin.

Ich kann machen, was ich möchte.
für b und d bekomme ich 0 raus, jedoch stimmen a und c dann nicht mehr.
Schon wenn ich den zweiten Schritt in das Script eingebe, kommen falsche Ergebnisse raus.
Wie fange ich hier am besten an?



// Ich kann, sobald ich b und d habe, die beiden Variablen in die ersten 4 Gleichungen einsetzen und erhalte die richtigen Ergebnisse.
Aber ich denke, das ist ja nicht Sinn der Sache.
Vor allem weiß ich mittendrin ja nicht, dass b und d richtig sind...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem mit 4 Variablen
Anscheinend soll ein Polynom konstruiert werden. Da wäre es gut, wenn du mal die komplette Aufgabe postest.
Zelos Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wär ich wohl wieder im falschen Forum... na gut.

Die Aufgabenstellung lautet einfach nur
"Finde eine ganzrationale Funktion."
Angegeben sind H(-1/2); W(0/0); T(1/-2).

Dann denke ich mal, ist die Annahme schon falsch, dass ich nur mit H und T arbeiten kann.
Ich wüsste aber nicht, wie ich das sonst lösen sollte, da das Polynom 3. Grades ja genau so aussieht wie die Zeichnung im Buch.
Ist der Grad doch höher?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn H, W, T für Hoch, Wende- und Tiefpunkt stehen, kann man sechs Gleichungen aufstellen.

Damit lässt sich eine Polynomfunktion fünften Grades bestimmen.
Zelos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Wenn H, W, T für Hoch, Wende- und Tiefpunkt stehen, kann man sechs Gleichungen aufstellen.

Damit lässt sich eine Polynomfunktion fünften Grades bestimmen.


Ich weiß aber, dass die Funktion f(x)=x³-3x sein soll, wie realisier ich das mit dem 3. Grad dann?
Das mit dem 5. habe ich schon bedacht.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ausdrücklich vorgegeben ist, dass der Grad der Funktion 3 sein soll, dann fallen offenbar einige Eigenschaften zusammen, weil sie dasselbe aussagen.

Am Ende bleibt genau die nötige Anzahl übrig, um die Funktion eindeutig zu bestimmen.


Kannst Du die Gleichungen nochmal überprüfen? Z. B. hast Du f(0) = 0 und f''(0) = 0 gar nicht umgesetzt.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Also wenn ausdrücklich vorgegeben ist, dass der Grad der Funktion 3 sein soll, dann fallen offenbar einige Eigenschaften zusammen, weil sie dasselbe aussagen.

So ist es wohl. Die Funktion f(x)=x³-3x ist punktsymmetrisch. Ist die Bedingung H(-1/2) erfüllt, dann auch T(1/-2). smile
Zelos Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, das hatte ich vergessen.
Durch die Bedingungen des Wendepunktes komme ich auf b=0 und d=0.
Setze ich das dann in die anderen Gleichungen ein, fallen 2 weg, da sie dann dasselbe aussagen.
Dann ist die Aufgabe wohl geklärt.

Ich bin mir noch nicht sicher, wie ich den 3. Grad erklären soll, aber ich denke, dass es beim 5. genau so laufen würde.
Es würden 2 Gleichungen wegfallen.
Kann man dadurch sagen, dass der Grad sich um 2 verringert, also der 3. reicht?

//@klarsoweit
Genau so meinte ich das eigentlich.
Ich bin nicht gut im erklären. smile


Ich hätte dann noch eine Aufgabe mit der gleichen Aufgabenstellung:
TP(-1/-2); SP(0/0); HP(1/2)

Das sollte ja eine Funktion 5. Grades sein, wenn ich das richtig sehe.
Scheint aber wieder punktsymmetrisch zu sein.
Hierbei denke ich aber, dass der Grad mindestens 5 sein muss, ist das richtig?
Zelos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt plötzlich doch 7 Bedingungen raus...

Tiefpunkt:
Tiefpunkt Extr.:
Sattelpunkt:
Sattelpunkt Wende.:
Sattelpunkt Krit.:
Hochpunkt:
Hochpunkt Extr.:

Ich bin mir beim Kriterium für den Sattelpunkt nicht ganz sicher.
Aber wenn das so stimmt...
Ich bin mir durch die Zeichnung eigentlich sicher, dass die Funktion den Grad 5 hat.
Jetzt hätte sie aber den Grad 6, wenn ich das richtig sehe.
Aber ich muss das eh alles anders erklären...
Mit den Nullstellen in den Ableitungen. :/

// Bei der ersten Aufgabe dann wahrscheinlich so:
2 Extrema -> 2 Nullstellen in f'(x) -> Grad 3
1 Wendestelle -> 1 Nullstelle in f''(x) -> Grad 3

und bei der zweiten weiß ich's dann nicht.
2 Extrema -> Grad 3?
1 Sattelpunkt -> ?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

@ Zelos:

So genau steige ich da auch nicht durch, aber es scheint so zu sein: Das „Zusammenfallen“ von Eigenschaften kann dann passieren, wenn der Grad der Funktion vorgegeben ist!

Siehe voriges Beispiel:



Stellt man sich auf eine Funktion dritten Grades ein, dann ergeben sich bei den Eigenschaften folgende Gleichungen:

Hochpunkt H(-1|2):






Wendepunkt W(0|0)






Tiefpunkt T(1|-2)






Setzt man dann d = 0 und b = 0 überall ein, dann fallen die Hochpunkt-Gleichungen und die Tiefpunkt-Gleichungen zusammen. Bleiben vier Gleichungen, welche die Funktion dritten Grades eindeutig bestimmen.

Man kann sich das ja auch logisch erklären: Polynomfunktionen dritten Grades, die einen Wendepunkt im Ursprung haben, sind zwangsläufig punktsymmetrisch zum Ursprung, denn in der Vorschrift treten nur ungerade x-Potenzen auf.

Aus der Punktsymmetrie ergibt sich dann schon automatisch: Wenn bei +a ein Hoch-/Tiefpunkt liegt, dann ist bei -a ein Tief-/Hochpunkt.

Also man bekommt mit der Angabe von H und T nur überflüssige Informationen. Deswegen ist es hier eben so, dass man scheinbar sechs Gleichungen hat, in Wahrheit aber nur vier verschiedene (!).



Stellt man sich hingegen wie gewohnt auf eine Funktion fünften Grades ein, dann ist die Situation eine andere, es fallen dann keine Gleichungen zusammen:

Hochpunkt H(-1|2):






Wendepunkt W(0|0)






Tiefpunkt T(1|-2)







Also Du kannst Dir merken:

n Eigenschaften bestimmen eine Funktion vom Grad n-1. Es sei denn, es fallen Eigenschaften zusammen. Das kann dann passieren, wenn der Grad der Funktion ausdrücklich vorgegeben wird.

Auch wenn eine bestimmte Symmetrie vorgegeben wird, fallen scheinbar verschiedene Eigenschaften plötzlich zusammen, weil sie gleichwertig werden.
Zelos Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit habe ich das verstanden.
Ich weiß aber immer noch nicht, wie ich das ganze bei der zweiten Aufgabe mit den vorhandenen Nullstellen in den Ableitungen erklären soll.

Zitat:
2 Extrema -> Grad 3?
1 Sattelpunkt -> ?


Die Bedingungen stehen ja oben.
Ist der Grad 6 oder kann ich eine Sattelpunktbedingung nicht benutzen und er ist 5?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstellen der Ableitungen oder allgemein Nullstellen haben erstmal nicht viel zu sagen. Denn um davon auf den Grad schließen zu können, müsste man alle Nullstellen der Ableitung kennen!

Hier hat Deine Lehrerin eben Unrecht: Das Kriterium für den Grad ist nicht die Zahl der bekannten Extrempunkte. Denn wie gesagt: Man müsste dafür schon alle Extrempunkte kennen. Normalerweise ist aber nur eine Auswahl gegeben.

Genauso bei Nullstellen: Wenn zwei Nullstellen angegeben sind, heißt das noch lange nicht, dass es auch nur zwei gibt. Also man kann nicht auf den Grad 2 schließen -- zumal es ja auch „mehrfache Nullstellen“ geben kann, d. h. man müsste sogar noch die Vielfachheit jeder angegebenen Nullstelle kennen.


Kurzum: Extrempunkte und Ableitungen sind gewöhnliche Informationen wie Tangentensteigungen, bestimmte Funktionswerte u. s. w.

Du kannst Dir das ja auch an einem Beispiel überlegen: Was wäre denn, wenn gar kein Extrempunkt gegeben ist, aber vier verschiedene (!) andere Eigenschaften? Dann kannst Du kaum vom Grad 1 ausgehen, sondern eher vom Grad 3.


Zu Deiner zweiten Aufgabe: Du hast sieben Bedingungen, also gehe vom Grad 3 aus. [Zur Sattelpunkt-Frage: Sattelpunkt-Stellen sind Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion]
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Zu Deiner zweiten Aufgabe: Du hast sieben Bedingungen, also gehe vom Grad 3 aus. [Zur Sattelpunkt-Frage: Sattelpunkt-Stellen sind Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion]


Da liegt ein Kurzschluss vor. Man braucht ein Polynom vom Grad 5. Wegen des Sattelpunktes bei (0/0) sind ja die Koeffizienten der Potenzen <= 2 alle Null. Bei einem Polynom vom Grad 3 hätte man nur noch einen Koeffizienten für die verbleibenden Bedingungen.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hoppla, ich wollte eigentlich schreiben „Grad 6“.

Aber das sollte doch stimmen, nicht Grad 5. Ich habe es nochmal nachgeprüft.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Grad 6 oder 5 stimmt beides, je nachdem, ob man die Punktsymmetrie gleich verwendet oder nicht. Zum Schluss bleiben nur Koeffizienten ungleich Null bei den Potenzen und .
Zelos Auf diesen Beitrag antworten »

Dann funktioniert die Aufgabe im Grunde genommen genau so wie die andere, gut.

Das mit den Nullstellen habe ich schon verstanden, aber was sie sagte, war nicht, dass da durch der Grad festgelegt wird.
Sie sagte nur, dass wir dadurch wissen, welcher Grad mindestens vorhanden sein muss.
Der Grad wäre bei der ersten Aufgabe also beispielsweise mindestens 3, könnte aber höher sein, da wir ja nicht wissen, ob noch mehr Nullstellen vorhanden sind.
Ich finde das wieder sehr ungenau, da gefällt mir das mit der Anzahl der Bedingungen schon besser.
Was wir bei ihrer Methode herausbekommen ist also eigentlich nur ein Anhaltspunkt.
Stimmt dann doch etwas nicht, wäre der Grad eben falsch und wir müssten das nochmal rechnen. Eigentlich Schwachsinn.

Aber die Diskussion hatten wir ja schon... und wenn sie es so haben will, bitte.
Nur in der Klausur wird sie sich mit dem Schluss aus der Anzahl der Bedingungen zufriedengeben müssen.

Die Aufgabe ist dann auch klar.
Danke sehr. (:
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zelos

Das mit den Nullstellen habe ich schon verstanden, aber was sie sagte, war nicht, dass da durch der Grad festgelegt wird.
Sie sagte nur, dass wir dadurch wissen, welcher Grad mindestens vorhanden sein muss.


OK, das stimmt natürlich. Wobei das ja erstmal nicht viel heißt -- wie Du schon gesagt hast.



Also m. E. kann man nichts falsch machen, wenn man als Grad die Anzahl der Bedingungen - 1 wählt. Im schlimmsten Fall (=überflüssige Informationen) müsste sich der Grad dann bei der Berechnung „automatisch“ reduzieren, d. h. die Koeffizienten vor den höchsten Potenzen werden 0.
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